1第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系一一 空间点的直角坐标空间点的直角坐标二二 空间两点间的距离空间两点间的距离第二节第二节 向量及其加减法向量及其加减法 向量与数的乘法向量与数的乘法一一. . 向量的概念向量的概念二向量的加减法二向量的加减法三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法第十章第十章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数2第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系坐标轴坐标轴: x 轴轴 (横轴横轴), y 轴轴 (纵轴纵轴), z 轴轴 (竖轴竖轴).一一 空间点的直角坐标空间点的直角坐标右手系右手系坐标面坐标面:坐标原点坐标原点 o三个坐标面把空间分隔成八个部分三个坐标面把空间分隔成八个部分,每个部分称为每个部分称为卦限卦限.依次叫做第一至第八卦限依次叫做第一至第八卦限.3点点P, Q, R为点为点M 在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影,设设 M 为空间内一点，为空间内一点，称为称为点点M 的坐标的坐标.点点 M 的的横坐标横坐标, 纵坐标纵坐标, 竖坐标竖坐标.点点M 记为记为 例如例如 x 轴上的点，轴上的点， 坐标为坐标为 y 轴上的点，轴上的点， 坐标为坐标为Z 轴上的点，轴上的点，坐标为坐标为原点坐标原点坐标坐标面和坐标轴上的点坐标面和坐标轴上的点 , 其坐标各有其坐标各有一定的特点一定的特点,4第二卦限第二卦限: 第三卦限第三卦限: 第四卦限第四卦限: 第五卦限第五卦限: 第六卦限第六卦限: 第七卦限第七卦限: 第一卦限第一卦限: 第八卦限第八卦限: 5二二 空间两点间的距离空间两点间的距离设设6即即为等腰三角形为等腰三角形例例1解解求证以求证以三角形是一等腰三角形三角形是一等腰三角形.三点为顶点的三点为顶点的解解解得解得所求的点为所求的点为例例2在在 Z轴上求与两点轴上求与两点等距离的点等距离的点.由题意由题意即即7一一. . 向量的概念向量的概念既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量,称为称为向量向量(矢量矢量). 如速度如速度, 第二节第二节 向量及其加减法向量及其加减法 向量与数的乘法向量与数的乘法用用有向线段有向线段表示向量表示向量. 有向线段的长度表示有向线段的长度表示例如例如向量向量也可用一个字母表示也可用一个字母表示. 例如例如a, b, v, F 或或向量的向量的大小大小, 有向线段的方向表示向量的有向线段的方向表示向量的方向方向.加速度加速度, 力力, 位移等位移等.于点于点 O 的的向径向径. 常用常用 r 表示表示.原点原点 O 为起点为起点, M 为终点的向量为终点的向量 叫做点叫做点 M 对对1. 向量向量:2. 向量的表示向量的表示:3. 向径：向径：与起点无关的向量称为与起点无关的向量称为自由向量自由向量 (向量向量).若无特殊说明，只研究自由向量若无特殊说明，只研究自由向量4 .自由向量自由向量:8向量的大小叫做向量的大小叫做向量的模向量的模,记作记作模等于的向量叫做模等于的向量叫做单位向量单位向量.模等于零的向量叫做模等于零的向量叫做零向量零向量, 记作记作零向量的起点和终点重合，方向可任意零向量的起点和终点重合，方向可任意.两个非零向量方向相同或相反两个非零向量方向相同或相反, 称这两个向量称这两个向量零向量与任何向量都平行零向量与任何向量都平行.平行平行, 记记作作若若 大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 则称则称 相等相等5. 两个向量相等两个向量相等:6. 向量的模向量的模:7. 两向量平行两向量平行:规定：规定：8. 向量的夹角向量的夹角:垂直垂直9这种方法称为向量加法的这种方法称为向量加法的三角形法则。三角形法则。二向量的加减法二向量的加减法向量加法的规定：向量加法的规定：设向量设向量如图如图,作作规定向量规定向量另外，有向量加法的另外，有向量加法的平行四边形法则。平行四边形法则。(1) 交换律交换律 向量加法的运算规律向量加法的运算规律(2) 结合律结合律 10 由此可推得，由此可推得，n 个向量相加个向量相加, 做法为：做法为：将将 n 个向量首尾相接依次作出个向量首尾相接依次作出,的模相同而方向相反的向量叫做的模相同而方向相反的向量叫做两向量的差：两向量的差：负向量：负向量：然后从首向量的起点到末向量然后从首向量的起点到末向量引一向量即为和向量引一向量即为和向量.的终点的终点由此规定由此规定不难得到：不难得到：11三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法特别地特别地,向量与数的乘积的规定：向量与数的乘积的规定：运算规律运算规律: (1) 结合律结合律 (2) 分配律分配律定理定理1的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在唯一的唯一的12再证唯再证唯 一性一性.证证充分性是显然的充分性是显然的.下面证必要性下面证必要性.定理定理1的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在唯一的唯一的13求求解解已知已知 例例1MA注意：向量减法是 终点始点