5.3 5.3 实数与向量的积实数与向量的积（一）（一）yyyy年年M月月d日星期日星期黄冈中学网校达州分校教学目标：教学目标： 1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；几何意义； 2.掌握实数与向量的积的运算律；掌握实数与向量的积的运算律； 3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行件判定两向量是否平行.教学重点：教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件向量共线的充要条件教学难点：教学难点：对向量共线的充要条件的理解对向量共线的充要条件的理解黄冈中学网校达州分校向量的加法向量的加法( (三角形法则三角形法则) )如如图图, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b,b,作向量作向量a+b. . ab作法作法:在在平面中任取一平面中任取一点点O,O, aAbBa+b过过O作作OA= a则则OB= a+b.过过A作作AB= bo一、复一、复 习习 引引 入：入：黄冈中学网校达州分校向量的加法向量的加法(平行四边形法则平行四边形法则)如如图图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a+b. ao aAbBba+bCOC= OC= a+ +b黄冈中学网校达州分校向量的减法向量的减法(三角形法则）三角形法则）如如图图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a- -b. abo aAbB a-bBA= BA= a- -b黄冈中学网校达州分校试试作出：作出： a+a+a 和和 (-a)+(-a)+(-a)已知非零向量已知非零向量 a （如图）如图）aaaaOOA AB BC C-a-a-aP PQQMMN N相同向量相加以后，相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？和的长度与方向有什么变化？黄冈中学网校达州分校一般地，实数一般地，实数与向量与向量a的的积积是一个是一个向量向量，这种运，这种运算叫做算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作a，它的，它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1) |a|=| |a|(2) 当当0时时,a的方向与的方向与a方向相同；方向相同； 当当0时时,a的方向与的方向与a方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当=0或或a=0时时, a=0黄冈中学网校达州分校(1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)和和(6a) (a为非零向量为非零向量)，并进行比较。，并进行比较。(2) 已知向量已知向量 a,b，求作向量求作向量2(a+b)和和2a+2b，并进行比较。并进行比较。=黄冈中学网校达州分校设设设设a,ba,b为任意向量，为任意向量，为任意向量，为任意向量，,为任意为任意为任意为任意实数实数实数实数，则有：，则有：，则有：，则有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b黄冈中学网校达州分校例例1：计算：计算: (1) (3)4a (2) 3(a+b)-2(ab)-a (3)(2a+3bc)-(3a2b+c)解：解：(1)原式原式(34)a 12a(2)原式原式 3a+3b2a+2b-a5b(3)原式原式2a+3bc 3a+2bca+5b2c黄冈中学网校达州分校例2:若32，3，其中，是已知向量，求，. .分析：此题可把已知条件看作向量、的方程，通过方程组的求解获得、.解：记32 3得 得11. 将代入有： 评析：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积评析：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致方法一致.黄冈中学网校达州分校对于向量对于向量 a (a0), b ，以及实数以及实数,问题问题1：如果：如果 b=a , 那么，向量那么，向量a与与b是否共线？是否共线？问题问题2：如果：如果 向量向量a与与b共线共线 那么，那么，b=a ？向量向量 b 与非零向量与非零向量 a 共线共线当且仅当当且仅当有且只有一个实数有且只有一个实数，使得使得 b=a 黄冈中学网校达州分校(证明：(1)必要性向量a与b共线，a0,设|b|:|a|=当a与b同方向时，有b=a当a与b反方向时，有b=a令=|=则b= a(2)充分性：对于向量a(a0)、b 有一个实数，使 b= a 由实数与向量积的定义，得a与b共线，由(1)(2)可得，命题成立。向量向量 b 与非零向量与非零向量 a 共线共线当且仅当当且仅当有且只有一个实数有且只有一个实数，使得使得 b=a 黄冈中学网校达州分校ABDEC黄冈中学网校达州分校例例4：所示，所示，黄冈中学网校达州分校AC与与AB有公共点有公共点A黄冈中学网校达州分校所示，所示， 1、黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校 2、 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，点中，点M是是AB中点，点中点，点N在线段在线段BD上，且有上，且有BN= BD，求证：求证：M、N、C三点共线。三点共线。提示：设提示：设提示：设提示：设AB = AB = a a BC = BC = b b则则则则MN= = MN= = a +a + b b MC= = MC= = a+a+ b b黄冈中学网校达州分校小结回顾小结回顾一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0) b=a 向量向量a与与b共线共线 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 1. 证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2. 2. 证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: AB=: AB= BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线 3. 3. 证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行: : AB= AB= CD ABCD ABCDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCD黄冈中学网校达州分校