第五节第五节 函数的微分函数的微分一、问题的提出一、问题的提出二、微分的定义二、微分的定义三、可微的条件三、可微的条件四、微分的几何意义四、微分的几何意义五、微分的求法五、微分的求法六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性七、七、* *微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用八、小结、作业八、小结、作业1/21一、问题的提出一、问题的提出近似计算问题近似计算问题实例：实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。正方形金属薄片受热后面积的改变量。2/21再如再如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题：问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数是否所有函数的改变量都有这样的线性函数(改变量的线性主要部分改变量的线性主要部分)？如果有，它是什么？如？如果有，它是什么？如何求？何求？3/21二、微分的定义二、微分的定义定义定义4/21三、可微的条件三、可微的条件定理定理证证 (1) 必要必要性性(2) 充分充分性性证毕证毕5/21例例1 1解解6/21四、微分的几何意义四、微分的几何意义MNT）C: y=f(x) 在在 M(x0, f(x0)的切线的切线T：y- f(x0)= f (x0)(x- x0) = f (x0) x P = dy7/21五、微分的求法五、微分的求法微分微分求法（求法（1 1）: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.8/211. 基本函数的微分公式基本函数的微分公式9/212. 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则微分求法（微分求法（2 2）：）： 转化为基本函数的微分。转化为基本函数的微分。10/21例例2 2解解例例3 3解解11/21结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性12/21微分求法（微分求法（3 3）：）： 利用微分的形式不变性。利用微分的形式不变性。例例4 4解解例例3 3解解13/21例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立使等式成立.14/21* *例例6 6 求由方程求由方程 cos(xy)=x2y2 所确定的所确定的 y=y(x) 微分及导微分及导数数. 解解15/21*七、微分在近似计算中的应用七、微分在近似计算中的应用例例7 7解解16/21例例8 8解解17/21八、小结八、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的近计算似问题函数的近计算似问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法，叫做求导数与微分的方法，叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学，做研究微分法与导数理论及其应用的科学，做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:18/21导数与微分的区别导数与微分的区别:19/21思考题思考题20/21练练 习习 题题21/21作 业习题2-5 4-(2)(4)(6)(8)