数数 学学新课标（新课标（SKSK） 九年级上册九年级上册2.52.5直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探究新知探究新知探究新知探究新知重难互动探究重难互动探究重难互动探究重难互动探究课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结新知梳理新知梳理新知梳理新知梳理第第2 2课时课时 圆的切线圆的切线2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探探 究究 新新 知知活动活动1 1知识准备知识准备 1 1直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆_，这条，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点2 2设设O O的半径为的半径为r r，圆心，圆心O O到直线到直线l l的距离为的距离为d d，那么直线，那么直线l l与与O O相切相切_ d dr r相切相切 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系活动活动2 2教材导学教材导学 探索直线与圆的判定方法探索直线与圆的判定方法如图如图2 25 51616所示，所示，A A为为O O上的一点，你能经过点上的一点，你能经过点A A画出画出O O的切线吗？的切线吗？ 图图2 25 516 16 第一步：连接第一步：连接OAOA； 第二步：过点第二步：过点A A作直线作直线llOAOA，即直线，即直线l l就是圆的切线，依就是圆的切线，依据是据是_ d dr r2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系知识链接知识链接 新知梳理新知梳理 知识点二知识点二 说明：说明：ACAC是是O O的切线的切线 尝试：如图尝试：如图2 25 51717所示，所示，ABAB是是O O的直径，的直径，ABCABC4545，ACACABAB. . 图图2 25 517 17 答案答案 ACACABAB，ABCABCACBACB4545，CABCAB9090. .又又OAOA是半径，是半径，ACAC是是O O的切线的切线 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系新新 知知 梳梳 理理知识点一切线的判定定理知识点一切线的判定定理 经过半径的经过半径的_并且并且_这条半径的直线是圆的切线这条半径的直线是圆的切线符号语言：如图符号语言：如图2 25 51818，点，点A A在圆上，且在圆上，且OAOAll于点于点A A，直线直线l l是是O O的切线的切线 图图2 25 518 18 说明说明 切线的判定定理是判定直线与圆相切的常用方法切线的判定定理是判定直线与圆相切的常用方法 外端外端 垂直于垂直于 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系知识点二切线的判定方法知识点二切线的判定方法 总的来说，判定直线与圆相切的方法有三种：总的来说，判定直线与圆相切的方法有三种：1 1根据定义，即和圆有唯一公共点的直线是圆的切线根据定义，即和圆有唯一公共点的直线是圆的切线2 2到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，这种方法多用到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，这种方法多用于未知切点时，可概括为于未知切点时，可概括为“未知切点，作垂直，证半径未知切点，作垂直，证半径”3 3切线的判定定理，如果已知直线过圆上某一点，则可作出切线的判定定理，如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于半径，即过这一点的半径，再证明直线垂直于半径，即“已知切点，连已知切点，连半径，证垂直半径，证垂直” 圆的切线圆的切线_经过切点的经过切点的_符号语言：如图符号语言：如图2 25 51919，直线直线l l切切O O于点于点A A，OAOAl. l. 图图2 25 519 19 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系知识点三切线的性质知识点三切线的性质 垂直于垂直于 半径半径 说明说明 在解答圆的切线有关问题时通常连接圆心与切点在解答圆的切线有关问题时通常连接圆心与切点 重难互动探究重难互动探究2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探究问题一已知切点证切线探究问题一已知切点证切线 例例1 1 如图如图2 25 52020所示，所示，ABAB是是O O的直径，的直径，AEAE平分平分BACBAC交交O O于点于点E E，过点，过点E E作作EDEDACAC，垂足为，垂足为D D. .直线直线EDED是是O O的切的切线吗？为什么？线吗？为什么？ 图图2 25 520 20 解析解析 连接连接OEOE，证明证明OEOEEDED即可即可 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系解：解：直线直线EDED是是O O的切线理由：连接的切线理由：连接OEOE. .因为因为OAOAOEOE，所以，所以OAEOAEOEAOEA. .又因为又因为AEAE平分平分BACBAC，所以，所以OAEOAEEACEAC，所以，所以EACEACOEAOEA，所以，所以OEOEACAC. .因为因为EDEDACAC，所以，所以EDEDOEOE. .又因为又因为点点E E在在O O上，所以直线上，所以直线EDED是是O O的切线的切线 归纳总结归纳总结 证明一条直线是圆的切线，必须同时满足两个证明一条直线是圆的切线，必须同时满足两个条件：一是此直线经过半径外端，二是此直线与这条半径垂条件：一是此直线经过半径外端，二是此直线与这条半径垂直二者缺一不可当已知直线过圆上某一点，则作出过这直二者缺一不可当已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径一点的半径，再证明直线垂直于这条半径 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探究问题二未知切点证切线探究问题二未知切点证切线 例例2 2 在在ABCABC中，中，ABABACAC，O O是是BCBC的中点，以的中点，以O O为圆心的为圆心的O O与与ACAC相切于点相切于点D D. .求证：求证：O O与与ABAB相切相切 解析解析 连接连接AOAO，ODOD，过点，过点O O作作OEOEABAB，根据，根据ABCABC是等腰三是等腰三角形，角形，O O是是BCBC边的中点，以及边的中点，以及ACAC是是O O的切线，角平分线的性的切线，角平分线的性质，得到质，得到OEOEODOD，说明，说明OEOE是是D D的一条半径，根据切线的判的一条半径，根据切线的判定定理证明定定理证明ABAB是是D D的切线的切线 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系证明：证明：如图如图2 25 52222，作，作OEOEABAB于点于点E E，连接，连接AOAO，ODOD. . ACAC是是O O的切线，的切线，ODODACAC. .ABABACAC，O O是是BCBC的中点，的中点，AOAO平分平分BACBAC. .又又ODODACAC，OEOEABAB，ODODOEOE，ABAB是是O O的切线的切线 图图2 25 522 22 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 归纳总结归纳总结 本题考查的是切线的判定，作垂直，证半径，说本题考查的是切线的判定，作垂直，证半径，说明明ABAB经过半径经过半径OEOE的外端，并且垂直于这条半径，即可得到的外端，并且垂直于这条半径，即可得到ABAB是是O O的切线的切线 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探究问题三切线性质的应用探究问题三切线性质的应用 例例3 3 如图如图2 25 52323所示，所示，ABAB为为O O的直径，的直径，ACAC为为O O的弦，的弦，ADAD平分平分BACBAC，交，交O O于点于点D D，DEDEACAC，交，交ACAC的延长线于点的延长线于点E E. .(1)(1)判断直线判断直线DEDE与与O O的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；(2)(2)若若AEAE8 8，O O的半径为的半径为5 5，求，求DEDE的长的长 图图2 25 523 23 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 解析解析 (1) (1)直线直线DEDE与与O O相切，理由：连接相切，理由：连接ODOD，由，由ADAD为角平分为角平分线得到一对角相等，再由线得到一对角相等，再由OAOAODOD，根据等边对等角得到一对角，根据等边对等角得到一对角相等，等量代换可得出一对内错角相等，根据内错角相等，两相等，等量代换可得出一对内错角相等，根据内错角相等，两直线平行得出直线平行得出ODODAEAE，由，由AEDAED为直角，得到为直角，得到ODEODE为直角，即为直角，即DEDEODOD，可得出，可得出DEDE为为O O的切线；的切线；(2)(2)过过D D作作DFDFABAB，交，交ABAB于点于点F F，又由，又由AEAEEDED，得到一对直角相，得到一对直角相等，再由等，再由ADAD为角平分线得到一对角相等，且为角平分线得到一对角相等，且ADAD为公共边，利用为公共边，利用AASAAS证明证明ADEADE与与ADFADF全等，根据全等三角形的对应边相等可全等，根据全等三角形的对应边相等可得出得出AEAEAFAF，DEDEDFDF，由，由AFAFOAOA求出求出OFOF的长，在的长，在RtRtODFODF中，中，由由ODOD及及OFOF的长，利用勾股定理求出的长，利用勾股定理求出DFDF的长，即为的长，即为DEDE的长的长 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系解：解：(1)(1)直线直线DEDE与与O O相切，理由如下：相切，理由如下：连接连接ODOD，如图，如图2 25 52424所示，所示，ADAD平分平分BACBAC，EADEADOADOAD. .OAOAODOD，ODAODAOADOAD，ODAODAEADEAD，EAEAODOD. .DEDEEAEA，DEDEODOD. .又又点点D D在在O O上，上，直线直线DEDE与与O O相切相切 图图2 25 524 24 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(2)(2)如图如图2 25 52525所示，连接所示，连接ODOD，作，作DFDFABAB，垂足为点，垂足为点F F. .DFADFADEADEA9090. .ADAD平分平分BACBAC，EADEADFADFAD. .又又ADADADAD，EADEADFADFAD( (AASAAS) )又又AEAE8 8，AFAFAEAE8 8，DFDFDEDE. .OAOAODOD5 5，OFOFAFAFOAOA8 85 53.3.在在RtRtDOFDOF中，中，ODOD5 5，OFOF3 3，根据勾股定理，得根据勾股定理，得DFDF4 4，则则DEDEDFDF4. 4. 图图2 25 525 25 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 归纳总结归纳总结 此题考查了切线的性质、勾股定理、全等三角形此题考查了切线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键的关键 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 备选题备选题 如图如图2 25 52626，PAPA切切O O于点于点A A，POPO交交O O于点于点B B，若，若PAPA6 6，PBPB4 4，则，则O O的半径是的半径是 ( () ) 图图2 25 526 26 A A 2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 归纳总结归纳总结 “见到切线想垂直见到切线想垂直”是关于切线问题的常用解是关于切线问题的常用解题思路题思路 课 堂 小 结2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系2.5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 反思反思 说明一条直线是圆的切线，必须同时满足切线的两个说明一条直线是圆的切线，必须同时满足切线的两个条件，缺一不可如条件，缺一不可如“过半径的外端的直线是圆的切线过半径的外端的直线是圆的切线”是是错误的，再如错误的，再如“与圆的半径垂直的直线是圆的切线与圆的半径垂直的直线是圆的切线”也是错也是错误的误的