4.4 数字特征与极限定理 在前面的在前面的课程中，我程中，我们讨论了随机了随机变量量及其分布，假及其分布，假设知道了随机知道了随机变量量X的概率分的概率分布，那么布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. f (x)xoxP(x)o 然而，在然而，在实践践问题中，概率分布普通中，概率分布普通是是较难确定的确定的. 而在一些而在一些实践运用中，人践运用中，人们并不需求知道随机并不需求知道随机变量的一切概率性量的一切概率性质，只需知道它的某些数字特征就只需知道它的某些数字特征就够了了.某型号某型号电视机的平均寿命机的平均寿命18000小小时200小小时 因此，在因此，在对随机随机变量的研量的研讨中，确定某中，确定某些数字特征是重要的些数字特征是重要的 .我我们先引先引见随机随机变量的数学期望量的数学期望.在在这些数字特征中，最常用的是些数字特征中，最常用的是期望和方差期望和方差 随机随机变量的数学期望是概率量的数学期望是概率论中最中最重要的概念之一重要的概念之一. 它的定它的定义来自来自习惯上的上的平均概念平均概念.我我们从离散型随机从离散型随机变量的数学期望开量的数学期望开场.一、离散型随机一、离散型随机变量的数学期望量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入： 某某车间对工人的消工人的消费情况情况进展展调查. 车工小工小张每天消每天消费的的废品数品数X是一个随机是一个随机变量量. 如何定如何定义X的平均的平均值呢？呢？ 某交某交换台每天台每天8:00-9:00收到的呼叫数收到的呼叫数X是是一个随机一个随机变量量. 如何定如何定义X的平均的平均值即即该交交换台每天台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？收到的平均呼叫数呢？我我们来看第一个来看第一个问题.假假设统计100天天, 例例1 某车间对工人的消费情况进展调查某车间对工人的消费情况进展调查. 车工车工小张每天消费的废品数小张每天消费的废品数X是一个随机变量是一个随机变量. 如如何定义何定义X的平均值呢？的平均值呢？32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;可以得到可以得到这100天中天中 每天的平均每天的平均废品数品数为这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？可以想象，假可以想象，假设另外另外统计100天，天，车工小工小张不出不出废品，出一件、二件、三件品，出一件、二件、三件废品的天数品的天数与前面的与前面的100天普通不会完全一天普通不会完全一样，这另外另外100天每天的平均天每天的平均废品数也不一定是品数也不一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.可以得到可以得到n天中每天的平均天中每天的平均废品数品数为(假定小假定小张每天至多出每天至多出三件三件废品品) 普通来普通来说,假假设统计n天天,这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均由由频率和概率的关系率和概率的关系 不不难想到，在求想到，在求废品数品数X的平均的平均值时，用概率替代，用概率替代频率，得平均率，得平均值为这是这是以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数得到一个确定的数. 我我们就用就用这个数作个数作为随机随机变量量X的平均的平均值 .这样做能否合理呢？做能否合理呢？ 无妨把小无妨把小张消消费中出中出废品的情形品的情形用一个球箱模型来描画用一个球箱模型来描画:2230003111220 0 033111 有一个箱子，里面装有有一个箱子，里面装有10个个大小，外形完全一大小，外形完全一样的球，号的球，号码如如图. 规定从箱中恣意取出一个球，定从箱中恣意取出一个球，记下球上的号下球上的号码，然后把球放，然后把球放回箱中回箱中为一次一次实验. 记X为所取出的球的号所取出的球的号码(对应废品数品数) . X为随机随机变量，量，X的概率函数的概率函数为2230003111对实验次数次数(即天数即天数)n,及小及小张的消的消费情况情况进展展统计，统计他不出他不出废品，出一件、二件、三品，出一件、二件、三件件废品的天数品的天数n0,n1,n2,n3 , 并并计算算与与进展比展比较.2230003111那么那么对X作一系列察看作一系列察看(实验)，所得，所得X的的实验值的平均的平均值也是随机的也是随机的.由此引入离散型由此引入离散型r.vX的数学期望的定的数学期望的定义如下如下: 对于一个随机于一个随机变量，假量，假设它能它能够取的取的值是是X1, X2, , 相相应的概率的概率为 p1, p2, , 但是，假但是，假设实验次数很大，出次数很大，出现Xk的的频率会率会接近于接近于pk，于是可期望，于是可期望实验值的平均的平均值接近接近定定义1 设X是离散型随机是离散型随机变量，它的概率函数量，它的概率函数是是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,也就是也就是说,离散型随机离散型随机变量的数学期望是一量的数学期望是一个个绝对收收敛的的级数的和数的和.假设假设有限有限,定义定义X的数学期望的数学期望例例1 某某人人的的一一串串钥匙匙上上有有n把把钥匙匙，其其中中只只需需一一把把能能翻翻开开本本人人的的家家门，他他随随意意地地试用用这串串钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门. 假假设每每把把钥匙匙试开开一一次次后除去，求翻开后除去，求翻开门时试开次数的数学期望开次数的数学期望.解解: 设试开次数开次数为X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,nE(X) 于是于是二、延二、延续型随机型随机变量的数学期望量的数学期望 设X是延是延续型随机型随机变量，其密度函数量，其密度函数为f (x),在数在数轴上取很密的分点上取很密的分点x0 x1x2q,p+q=1.为了了补偿乙的不利位置，另行乙的不利位置，另行规定两人下的定两人下的赌注不注不相等，甲相等，甲为 a, 乙乙为b, ab. 如今的如今的问题是：是：a终究究应比比b大多少，才干做到公正？大多少，才干做到公正？解：解：设甲甲赢的的钱数数为X，乙，乙赢的的钱数数为Y，依依题意意解：设甲赢的钱数为解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为，乙赢的钱数为Y，为对双方公正双方公正,应有有依题意依题意E(X)=bp+(-a)q, E(Y)=aq+(-b)pbp-aq=aq-bp=0, 故故 期望与期望与风险并存数学家从期望并存数学家从期望值来察看来察看风险，分析，分析风险，以便作出正确，以便作出正确的决策的决策 例如，有一家个体例如，有一家个体户，有，有资金一笔，如金一笔，如运运营西瓜，西瓜，风险大但利大但利润高高(胜利的概率利的概率为0.7，获利利2000元元)； 如运如运营工工艺品，品，风险小但小但获利少利少(95会会赚，但利，但利润为1000元元)终究究该如何决策？如何决策？所以所以权衡下来，情愿衡下来，情愿“搏一搏一记，去运，去运营西西瓜，因它的期望瓜，因它的期望值高高于是于是计算期望算期望值：假假设运运营西瓜，期望西瓜，期望值E1=0.72000=1400元元而运而运营工工艺品期望品期望值E20.951000950元元 我我们引引见了随机了随机变量的数学期望，它量的数学期望，它反映了随机反映了随机变量取量取值的平均程度，是随机的平均程度，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 接下来我接下来我们将向大家引将向大家引见随机随机变量另量另一个重要的数字特征：一个重要的数字特征：方差方差 我我们曾曾经引引见了随机了随机变量的数学期望，量的数学期望，它表达了随机它表达了随机变量取量取值的平均程度，是随的平均程度，是随机机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 但是在一些但是在一些场所，所，仅仅知道平均知道平均值是是不不够的的. 例如，某零件的真例如，某零件的真实长度度为a，现用甲、用甲、乙两台乙两台仪器各丈量器各丈量10次，将丈量次，将丈量结果果X用坐用坐标上的点表示如上的点表示如图： 假假设让他就上述他就上述结果果评价一下两台价一下两台仪器的器的优劣，他以劣，他以为哪台哪台仪器好一些呢？器好一些呢？ 甲仪器丈量结果甲仪器丈量结果乙仪器丈量结果乙仪器丈量结果较好较好丈量丈量结果的果的均均值都是都是 a由于乙由于乙仪器的丈量器的丈量结果集中在均果集中在均值附近附近又如又如,甲、乙两甲、乙两门炮同炮同时向一目的射向一目的射击10发炮炮弹，其落点距目的的位置如，其落点距目的的位置如图：他以他以为哪哪门炮射炮射击效果好一些呢效果好一些呢?甲炮射甲炮射击结果果乙炮射乙炮射击结果果乙炮乙炮由于乙炮的由于乙炮的弹着点着点较集中在中心附近集中在中心附近 . 中心中心中心中心 为此需求引此需求引进另一个数字特征另一个数字特征,用它用它来度量随机来度量随机变量取量取值在其中心附近的离在其中心附近的离散程度散程度.这个数字特征就是我个数字特征就是我们要引要引见的的方差方差一、方差的定一、方差的定义 采用平方是为了保证一切采用平方是为了保证一切差值差值X-E(X)都起正面的作用都起正面的作用 由于它与由于它与X具有一具有一样的度量的度量单位，在位，在实践践问题中中经常运用常运用. 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为规范差称为规范差设X是是一一个个随随机机变量量，假假设E(X-E(X)2，那么称，那么称D(X)=EX-E(X)2 (1)为为X的方差的方差.假假设X的取的取值比比较分散，分散，那么方差那么方差较大大 .假假设方差方差D(X)=0,那么那么r.v X 以概率以概率1取常数取常数值 . 方差刻划了随机方差刻划了随机变量的取量的取值对于其数学于其数学期望的离散程度期望的离散程度 .假假设X的取的取值比比较集集中，那么方差中，那么方差较小；小；D(X)=EX-E(X)2X为离散型，为离散型，P(X=xk)=pk 由定由定义知，方差是随机知，方差是随机变量量X的函数的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望的数学期望 .X为延续型，为延续型，Xf(x)二、二、计算方差的一个算方差的一个简化公式化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质请本人用此公式本人用此公式计算常算常见分布的方差分布的方差.例例1 设r.v X服从几何分布，概率函数服从几何分布，概率函数为P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,，n其中其中0p0,或或 由切比雪夫不等式可以看出，假设由切比雪夫不等式可以看出，假设 越小，那么事件越小，那么事件|X-E(X)| 的概率越的概率越大，即随机变量大，即随机变量X集中在期望附近的能够集中在期望附近的能够性越大性越大.由此可领会方差的概率意义：由此可领会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度它刻划了随机变量取值的离散程度.如下图如下图当方差知时，切比雪夫不等式给出了当方差知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏向不小于与它的期望的偏向不小于 的概率的估计的概率的估计式式 .如取如取 可见，对任给的分布，只需期望和方差可见，对任给的分布，只需期望和方差 存在，那么存在，那么 r.v X取值偏离取值偏离E(X)超越超越 3 的概率小于的概率小于0.111 .例例3 知正常男性成人血液中，每一毫升白知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是胞数平均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用切利用切比雪夫不等式估比雪夫不等式估计每毫升白每毫升白细胞数在胞数在52009400之之间的概率的概率 .解：解：设每毫升白每毫升白细胞数胞数为X依依题意，意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) =P(5200-7300 X-7300 9400-7300) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P |X-E(X)| 2100由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P |X-E(X)| 2100即估即估计每毫升白每毫升白细胞数在胞数在52009400之之间的的概率不小于概率不小于8/9 . 例例4 在每次在每次实验中，事件中，事件A发生的概率生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需求多大需求多大时，才干使得在才干使得在n次独立反复次独立反复实验中中, 事件事件A出出现的的频率在率在0.740.76之之间的概率至少的概率至少为0.90?解：解：设X为n 次次实验中，事件中，事件A出出现的次数，的次数，E(X)=0.75n, 的最小的的最小的n .那么那么 XB(n, 0.75)所求所求为满足足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n) = P |X-E(X)| 0.01n P(0.74n X0.76n )可改写为可改写为在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，那么，那么 = P |X-E(X)| 0.01n解得解得依题意，取依题意，取 即即n 取取18750时，可以使得在，可以使得在n次独立反复次独立反复实验中中, 事件事件A出出现的的频率在率在0.740.76之之间的的概率至少概率至少为0.90 .我我们引引见了随机了随机变量的方差量的方差. 它是刻划随机它是刻划随机变量取量取值在其中心附近离在其中心附近离散程度的一个数字特征散程度的一个数字特征 .下面我下面我们将引将引见刻划两刻划两r.v间线性相关程度的性相关程度的一个重要的数字特征：一个重要的数字特征：相关系数相关系数 概率概率论与数理与数理统计是研是研讨随机景象随机景象统计规律性的学科律性的学科. 随机景象的随机景象的规律性只需在一律性只需在一样的条件下的条件下进展大量反复展大量反复实验时才会呈才会呈现出出来来. 也就是也就是说，要从随机景象中去，要从随机景象中去寻求必然求必然的法那么，的法那么，应该研研讨大量随机景象大量随机景象. 研研讨大量的随机景象，大量的随机景象，经常采用极限常采用极限方式，由此方式，由此导致致对极限定理极限定理进展研展研讨. 极极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种种:与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理下面我下面我们先引先引见大数定律大数定律 大量的随机景象中平均大量的随机景象中平均结果的果的稳定性定性 大数定律的客大数定律的客观背景背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母运用频率字母运用频率消费过程中的消费过程中的废品率废品率