第一课时等差数列的前n项和2.2等差数列的前n项和理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点三考点二第一章数列知识点一知识点二2.2 等差数列的前等差数列的前n项和项和 200多年前，德国著名数学家高斯的算术老师提多年前，德国著名数学家高斯的算术老师提出了下面的问题：出了下面的问题： 123100？ 问题问题1：我们都知道高斯很快便计算出来了，他：我们都知道高斯很快便计算出来了，他是怎样算出来的呢？是怎样算出来的呢？提示：提示：S12310010099321，2S100(1100)(299)(398)(1001)101100，S100101505 050. 问题问题2：从这个算法中得到启发，如何计算：从这个算法中得到启发，如何计算1,2,3，n，的前的前n项和呢？项和呢？ 问题问题3：根据上面的启发，有一堆钢管，最上层：根据上面的启发，有一堆钢管，最上层4根，最下层根，最下层11根，共根，共8层，每一层比上一层多层，每一层比上一层多1根，问根，问这堆钢管共多少根？这堆钢管共多少根？等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式已知条件已知条件首项首项a1与末项与末项an首项首项a1与公差与公差d选用公式选用公式 Sn Sn 已知等差数列已知等差数列an，首项为，首项为a1，公差为，公差为d. 问题问题1：在数列中，依次每：在数列中，依次每4项之和项之和a1a2a3a4，a5a6a7a8，a9a10a11a12，能否构成等差数列能否构成等差数列？那么依次每？那么依次每k项之和呢？项之和呢？ 提示：提示：(a5a6a7a8)(a1a2a3a4)16d，(a9a10a11a12)(a5a6a7a8)16d，依此类推可，依此类推可知，等差数列中每知，等差数列中每4项之和能构成等差数列同理，依次项之和能构成等差数列同理，依次每每k项之和也能构成等差数列项之和也能构成等差数列第一课时等差数列的前第一课时等差数列的前n项和项和 思路点拨思路点拨运用方程的思想，根据已知条件建立运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换法二：法二：由由S55a340，得，得a38.所以所以a2a5a3da32d2a3d16d19.得得d3.所以所以a10a37d87329. 一点通一点通a1，n，d称为等差数列的三个基本量，称为等差数列的三个基本量，an和和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中项和公式中“知三求二知三求二”的问题，一般是通过通项公式和的问题，一般是通过通项公式和前前n项和公式联立方程项和公式联立方程(组组)求解，这种方法是解决数列求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用的联系及整体代换思想的运用1(2012济南高二检测济南高二检测)已知等差数列已知等差数列an满足满足a2a44， a3a510，则它的前，则它的前10项的和项的和S10 () A138B135 C95 D23答案：答案：C2设设Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和，项和，S414，S10S7 30，则，则S9_.答案：答案：543等差数列等差数列an中，已知中，已知d2，S10010 000，求，求an，Sn. 例例2等差数列等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若S1284，S20460，求，求S28. 思路点拨思路点拨(1)利用基本运算，列出方程组求出利用基本运算，列出方程组求出a1，d，即可求，即可求S28；(2)灵活应用性质求解灵活应用性质求解 一点通一点通对于等差数列前对于等差数列前n项和项和Sn的性质应用问题，的性质应用问题，其思路灵活又多变，使用性质解题，既灵活又高效其思路灵活又多变，使用性质解题，既灵活又高效 (1)前前n项和为项和为SnAn2Bn的数列一定为等差数列，的数列一定为等差数列，且公差为且公差为2A，记住这个结论，如果已知数列的前，记住这个结论，如果已知数列的前n项和可项和可以直接写出公差以直接写出公差答案：答案：A5在项数为在项数为2n1的等差数列的等差数列an中，所有奇数项的中，所有奇数项的 和为和为165，所有偶数项的和为，所有偶数项的和为150，则，则n () A9 B10 C11 D12答案：答案：B6已知数列已知数列an是等差数列，且是等差数列，且a1a2a10 10， a11a12a2020，求，求a41a42a50.法二：法二：设设b1a1a2a10，b2a11a12a20，b3a21a22a30，b4a31a32a40，b5a41a42a50.数列数列an是等差数列，是等差数列，数列数列bn也成等差数列，也成等差数列，其中其中b110，公差，公差Db2b1201010.a41a42a50b51041050. 例例3(12分分)等差数列等差数列an中，中，Sn为前为前n项和，且项和，且a125，S17S9，请问数列前多少项和最大？，请问数列前多少项和最大？ 思路点拨思路点拨解答本题可用多种方法，根据解答本题可用多种方法，根据S17S9找出找出a1与与d的关系，转化为的关系，转化为Sn的二次函数求最值，也可的二次函数求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点，再求解以用通项公式找到通项的变号点，再求解法三：法三：S17S9，a10a11a170. (4分分)a10a17a11a16a13a140. (8分分)a1250，当当n13时时an0，当，当n14时，时，an0.S13最大最大 (12分分)7已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为an2n37，则，则Sn取最取最 小值时小值时n的值为的值为 () A17B18 C19 D20解析：解析：an2n37，an1an20，an为递增数列由为递增数列由an2n370n18.5.a180，a190.S18最小最小答案：答案：B答案：答案：C9等差数列等差数列an中，中，a10，a10，则，则Sn有最小值；有最小值；若若d0，则，则Sn有最大值有最大值 (2)主要方法：主要方法： 二次函数法用求二次函数的最值方法二次函数法用求二次函数的最值方法(配方法配方法)来求其前来求其前n项和的最值，但要注意的是项和的最值，但要注意的是nN. 图像法利用二次函数图像的顶点及对称性来确定图像法利用二次函数图像的顶点及对称性来确定 通项法当通项法当a10，d0时，时，SnSn1，即递增；，即递增；当当an0时，时，SnSn1，即递减类似地，当，即递减类似地，当a10时，则时，则n为使为使an0成立的最大正整数时，成立的最大正整数时，Sn最小最小