球球2021/3/251二、球与多面体的接、切二、球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体， 这个球是这个多面体的这个球是这个多面体的外接球外接球。定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个多面体的这个球是这个多面体的内切球内切球。一、复习一、复习球体的体积与表面积球体的体积与表面积解决解决“接切接切”问题的关键是画出正确的问题的关键是画出正确的截面截面，把空间把空间“接切接切”转化为平面转化为平面“接切接切”问题问题2021/3/252正方体的内切球正方体的内切球2021/3/253正方体的正方体的内切内切球球的半径是棱的半径是棱长的一半长的一半2021/3/254正方体的外接球正方体的外接球2021/3/255正方体的正方体的外接外接球球半径是体对半径是体对角线的一半角线的一半ABCDD1C1B1A1O2021/3/256正方体的棱切球正方体的棱切球2021/3/2572021/3/2582021/3/259正方体的正方体的棱棱切球切球半径是半径是面对角线长面对角线长的一半的一半2021/3/2510球与正方体的“接切”问题典型典型典型典型：有三个球：有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切一球切于正方体的各侧棱于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求求这三个球的体积之比这三个球的体积之比.2021/3/25111. 已知长方体的长、宽、高分别是已知长方体的长、宽、高分别是 、 、1 ，求长方体的，求长方体的外接球的体积。外接球的体积。变题：变题：2. 已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四点，且四点，且PA、PB、PC两两两两互相垂直，若互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。，求这个球的表面积和体积。ACBPO2021/3/2512四面体与球的“接切”问题典型典型典型典型：正四面体：正四面体ABCD的棱长为的棱长为a，求，求其内切球半径其内切球半径r与外接球半径与外接球半径R.思考思考思考思考：若正四面体变成正三棱锥，方法：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？是否有变化？1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合不重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法、体积分割是求内切球半径的通用做法2021/3/2513O1ABEOO1ABEO1例例 、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。面积和球的表面积。过侧棱过侧棱AB与球心与球心O作截面作截面( 如图如图 )在正三棱锥中，在正三棱锥中，BE 是正是正BCD的高的高O1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 为斜高为斜高2021/3/2514O1ABEOO1ABEO1例例 、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。面积和球的表面积。设内切球半径为设内切球半径为 r，则，则 OA = 1 r作作 OF AE 于于 FF Rt AFO Rt AO1E 2021/3/2515O1ABEO1在在 Rt AO1E 中中在在 Rt OO1E 中中例例 、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。面积和球的表面积。2021/3/2516例例 、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。面积和球的表面积。OABCD设球的半径为设球的半径为 r，则，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD2021/3/2517球的表面积与体积球的表面积与体积 变题变题2021/3/2518作业作业2021/3/25192021/3/2520球的表面积与体积球的表面积与体积 2021/3/2521【思路点拨】根据球截面性质找出球半径与截面圆半径和球心到截面距离的关系，求出球半径2021/3/25222021/3/25232021/3/25242021/3/25252021/3/25262021/3/25272021/3/2528【思路点拨】(1)利用特征三角形求斜高即可；(2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离相等求球的半径2021/3/25292021/3/25302021/3/25312021/3/2532Thank you!2021/3/2533