曲面积分习题课曲面积分习题课 如果曲面方程为以下三种：如果曲面方程为以下三种：第一类曲面积分 基本计算公式基本计算公式则则则则则则计算的关键是看所给曲面方程的形式！计算的关键是看所给曲面方程的形式！曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个变量所确定的坐标平面投影，得到积分区域。变量所确定的坐标平面投影，得到积分区域。第二类曲面积分其中符号当其中符号当取上侧时为正，下侧时为负。取上侧时为正，下侧时为负。其中符号当其中符号当取右侧时为正，左侧时为负。取右侧时为正，左侧时为负。其中符号当其中符号当取前侧时为正，后侧时为负。取前侧时为正，后侧时为负。注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .令令向量形式向量形式称为称为有向曲面元有向曲面元, , 两类关系高斯公式高斯公式设向量场设向量场P, Q, R, 在域在域G内有一阶内有一阶 连续连续 偏导数偏导数, 则则 向量场通过有向曲面向量场通过有向曲面 的通量为的通量为 2. 通量与散度通量与散度 G 内任意点处的内任意点处的散度散度为为 斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 2. 2. 旋度旋度解：由于 关于变量 x, y 轮换对称性 例例1 例例 题题解解由点到平面的距离公式由点到平面的距离公式,得得例例2得得例例3解解法1：用高斯公式用高斯公式.补面：补面： 取下面，取下面，取上面。取上面。则则 构成封闭曲面，且构成封闭曲面，且取外侧。取外侧。计算计算由高斯公式由高斯公式法2：例例4解解 利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系上侧上侧. .例例5. 计算曲面积分其中,解解:引申引申: 1.本题 改为椭球面 时, 应如何计算 ?应如何计算 ?2.若本题 改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，计算：其中：引申引申: 1然后用高斯公式 .引申引申: 2分两种情形情形1： 不包围原点的任意闭曲面。情形2： 包围原点的任意闭曲面。问题转化为与引申1类似的情形。例例6. 计算曲面积分中 是球面解解: 利用对称性用重心公式(曲面关于xoz面对称）选择题：