2.3.4平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理文字文字语言言两个平面垂直两个平面垂直, ,则一个平面内一个平面内垂直于交垂直于交线的直的直线与另一个平面垂直与另一个平面垂直符号符号语言言,=,=l, ,a a,a,alaa图形形语言言 【思考思考】性质定理若去掉性质定理若去掉“一个平面内一个平面内(a(a)”,)”,定理是否成定理是否成立立? ?提示提示: :不一定成立不一定成立, ,如图如图a,a,这时也有这时也有aal, ,但但a a与与不垂直不垂直. .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)两个平面垂直两个平面垂直, ,其中一个平面内的任一条直线与另其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直一个平面一定垂直. .( () )(2)(2)若若,则则内的直线必垂直于内的直线必垂直于内的无数条直内的无数条直线线. . ( () )(3)(3)如果平面如果平面平面平面,平面平面平面平面,=,=l, ,那么那么l平面平面.( () )(4)(4)若两个平面互相垂直若两个平面互相垂直, ,一条直线与一个平面垂直一条直线与一个平面垂直, ,那那么这条直线在另一个平面内么这条直线在另一个平面内. . ( () )【提示提示】(1).(1).不一定不一定. .只有在一个平面内垂直于两平只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面面交线的直线才能垂直于另一个平面. .(2) . (2) . 若设若设=l,a,a ,b,b ,b,bl, ,则则ab,ab,故故内与内与b b平行的无数条直线均垂直于平行的无数条直线均垂直于内的任意直线内的任意直线. .(3).(3).设设=m,=n,=m,=n,在平面在平面内取一点内取一点P P不在不在m,nm,n上上, ,过过P P作直线作直线a,b,a,b,使使am,bn.am,bn.因为因为,am,am,则则a.a.所以所以aal, ,同理有同理有bbl. .又又ab=P,ab=P,l ,所以所以l.故正确故正确. .(4).(4).若若,l,在在内作内作a a与与,的交线垂直的交线垂直, ,则则a,a,所以所以aal. . 所以所以l或或l ,即直线即直线l与平面与平面平行或在平面平行或在平面内内. .2. 2. 在四棱柱在四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,已知平面已知平面AAAA1 1C C1 1CC平面平面ABCD,ABCD,且且AB=BC,AD=CD,AB=BC,AD=CD,则则BDBD与与CCCC1 1( () )A.A.平行平行B.B.相交相交C.C.异面且垂直异面且垂直D.D.异面且不垂直异面且不垂直【解析解析】选选C.C.如图所示如图所示, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中, ,因为因为AB=BC,AD=CD.AB=BC,AD=CD.所以所以BDAC. BDAC. 因为平面因为平面AAAA1 1C C1 1CC平面平面ABCD,ABCD,平面平面AAAA1 1C C1 1CC平面平面ABCD=AC,BDABCD=AC,BD 平面平面ABCD,ABCD,所以所以BDBD平面平面AAAA1 1C C1 1C.C.又又CCCC1 1 平面平面AAAA1 1C C1 1C,C,所以所以BDCCBDCC1 1. .3.3.如图所示如图所示, ,已知两个正方形已知两个正方形ABCDABCD和和DCEFDCEF不在同一平面不在同一平面内内,M,N,M,N分别为分别为AB,DFAB,DF的中点的中点. .若若CD=2,CD=2,平面平面ABCDABCD平面平面DCEF,DCEF,则线段则线段MNMN的长等于的长等于_._.【解析解析】取取CDCD的中点的中点G,G,连接连接MG,NG.MG,NG.因为因为ABCD,DCEFABCD,DCEF为正方形为正方形, ,且边长为且边长为2,2,所以所以MGCD,MG=2,NG= .MGCD,MG=2,NG= .因为平面因为平面ABCDABCD平面平面DCEF,DCEF,平面平面ABCDABCD平面平面DCEF=CD,DCEF=CD,所以所以MGMG平面平面DCEF,DCEF,由于由于GNGN 平面平面CDEF,CDEF,可得可得MGNG,MGNG,所以所以MN= MN= 答案答案: : 类型一用面面垂直的性质定理解证明问题类型一用面面垂直的性质定理解证明问题【典例典例】1.(20191.(2019枣庄高一检测枣庄高一检测) )已知互不重合的直已知互不重合的直线线a,b,a,b,互不重合的平面互不重合的平面,给出下列四个命题给出下列四个命题, ,正确正确命题的个数是命题的个数是( () )若若a,a,=b,a,a,=b,则则ab;ab;若若,a,b,a,b,则则ab;ab;若若,=a,=a,则则a;a;若若,a,a,则则a.a.A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.42.(20182.(2018北京高考改编北京高考改编) )如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底底面面ABCDABCD为矩形为矩形, ,平面平面PADPAD平面平面ABCD,PAPD.ABCD,PAPD.(1)(1)求证求证:DC:DC平面平面PAD.PAD.(2)(2)求证求证: :平面平面PABPAB平面平面PCD.PCD.【思维思维引引】1. 1. 根据线面平行的性质判断根据线面平行的性质判断; ;根据面根据面面垂直的性质定理判断面垂直的性质定理判断; ;根据面面平行的性质判断根据面面平行的性质判断. .2.(1)2.(1)依据平面依据平面PADPAD平面平面ABCDABCD和和ADDCADDC证明证明; ;(2)(2)转化为证明转化为证明PAPA平面平面PCD.PCD.【解析解析】1.1.选选C.C.依题意依题意, ,当当a,a,=ba,a,=b时时, ,根据线面平行的性质可得根据线面平行的性质可得ab,ab,故故正确正确; ;当当, , aa时时,a,a或或a a,又又b,b,所以所以ab,ab,故故正确正确; ;当当,=a,=a,则交线则交线a;a;故故正确正确; ;当当,a,a时时,a,a或或a a,故故错误错误. .正确的有正确的有3 3个个. .2.(1)2.(1)因为底面因为底面ABCDABCD是矩形是矩形, ,所以所以ADDC,ADDC,又因为平面又因为平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,平面平面PADPAD平面平面ABCD=AD,ABCD=AD,且且DCDC 平面平面ABCD,ABCD,所以所以DCDC平面平面PAD.PAD.(2)(2)由由(1)(1)得得DCDC平面平面PAD.PAD.又因为又因为PAPA 平面平面PAD,PAD,所以所以DCPA,DCPA,又因为又因为PAPD,DCPD=D,PAPD,DCPD=D,所以所以PAPA平面平面PCD,PCD,又又PAPA 平面平面PAB,PAB,所以平面所以平面PABPAB平面平面PCD.PCD.【类题类题通通】1.1.应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点(1)(1)一个意识一个意识若所给题目中有面面垂直的条件若所给题目中有面面垂直的条件, ,一般要利用面面垂直一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直的性质定理将其转化为线面垂直. .(2)(2)三个注意点三个注意点:两个平面垂直两个平面垂直, ,是前提条件是前提条件;直线直线必须在其中一个平面内必须在其中一个平面内;直线必须垂直于它们的交线直线必须垂直于它们的交线. .2.2.证明线面垂直的常用方法证明线面垂直的常用方法(1)(1)线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理; ;(2)(2)面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理; ;(3)(3)若若ab,a,ab,a,则则b(a,bb(a,b为直线为直线,为平面为平面););(4)(4)若若a,a,则则a(aa(a为直线为直线,为平面为平面).).【习练习练破破】(2019(2019芜湖高一检测芜湖高一检测) )如图如图, ,在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中, ,已知已知ABCABC是等腰直角三角是等腰直角三角形形,ABC=90,PAC,ABC=90,PAC是直角三角形是直角三角形, ,PAC=90,PAC=90,平面平面PACPAC平面平面ABC.ABC.求证求证: :平面平面PABPAB平面平面PBC.PBC.【证明证明】因为平面因为平面PACPAC平面平面ABC,ABC,且且PAAC,PAAC,所以所以PAPA平面平面ABC,ABC,所以所以PABC,PABC,又又BCBA,BCBA,所以所以BCBC平面平面PAB,PAB,所以平面所以平面PABPAB平面平面PBC.PBC.【加练加练固固】如图如图, ,在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中,E,F,E,F分别为分别为AC,BCAC,BC的中点的中点. .(1)(1)求证求证:EF:EF平面平面PAB.PAB.(2)(2)若平面若平面PACPAC平面平面ABC,ABC,且且PA=PC,PA=PC,ABC=90.ABC=90.求证求证: :平面平面PEFPEF平面平面PBC.PBC.【证明证明】(1)(1)因为因为E,FE,F分别为分别为AC,BCAC,BC的中点的中点, ,所以所以EFAB.EFAB.又又EFEF 平面平面PAB,ABPAB,AB 平面平面PAB,PAB,所以所以EFEF平面平面PAB.PAB.(2)(2)因为因为PA=PC,EPA=PC,E为为ACAC的中点的中点, ,所以所以PEAC.PEAC.又因为平面又因为平面PACPAC平面平面ABC,ABC,所以所以PEPE平面平面ABC,ABC,所以所以PEBC.PEBC.又因为又因为F F为为BCBC的中点的中点, ,所以所以EFAB.EFAB.因为因为ABC=90,ABC=90,所以所以BCEF.BCEF.因为因为EFPE=E,EFPE=E,所以所以BCBC平面平面PEF.PEF.又因为又因为BCBC 平面平面PBC,PBC,所以平面所以平面PBCPBC平面平面PEF.PEF.类型二用面面垂直的性质定理解计算问题类型二用面面垂直的性质定理解计算问题角度角度1 1 求空间角求空间角【典例典例】(2018(2018天津高考改编天津高考改编) )如图如图, ,在四面体在四面体ABCDABCD中中,ABC,ABC是等边三角形是等边三角形, ,平面平面ABCABC平面平面ABD,ABD,点点M M为棱为棱ABAB的中点的中点,AB=2,AD=2 ,BAD=90.,AB=2,AD=2 ,BAD=90.(1)(1)求证求证:ADBC.:ADBC.(2)(2)求直线求直线CDCD与平面与平面ABDABD所成角的正弦值所成角的正弦值. .【思维思维引引】(1)(1)由平面由平面ABCABC平面平面ABDABD想到在其中一个想到在其中一个平面内找两个平面交线的垂线平面内找两个平面交线的垂线, ,推出线面垂直进而推出推出线面垂直进而推出线线垂直线线垂直. .(2)(2)由平面由平面ABCABC平面平面ABDABD推出推出CMCM平面平面ABD,ABD,得到直线得到直线CDCD与平面与平面ABDABD所成角所成角. .【解析解析】(1)(1)因为平面因为平面ABCABC平面平面ABD,ABD,平面平面ABCABC平面平面ABD=AB,ADAB, ADABD=AB,ADAB, AD 平面平面ABD,ABD,所以所以ADAD平面平面ABC,ABC,故故ADBC.ADBC.(2)(2)连接连接CM.CM.因为因为ABCABC为等边三角形为等边三角形,M,M为为ABAB的中点的中点, ,故故CMAB,CM= .CMAB,CM= .又因为平面又因为平面ABCABC平面平面ABD,ABD,而而CMCM 平面平面ABC,ABC,故故CMCM平面平面ABD.ABD.所以所以,CDM,CDM为直线为直线CDCD与平面与平面ABDABD所成的角所成的角. .在在RtCADRtCAD中中,CD= =4.,CD= =4.在在RtCMDRtCMD中中,sinCDM= ,sinCDM= 所以所以, ,直线直线CDCD与平面与平面ABDABD所成角的正弦值为所成角的正弦值为 . . 【素养素养探探】在求空间角有关的问题中在求空间角有关的问题中, ,经常利用核心素养中的数学经常利用核心素养中的数学运算运算, ,通过用面面垂直的性质定理将通过用面面垂直的性质定理将“面面垂直面面垂直”转化转化为为“线面垂直线面垂直”, ,进而得到所求线面角或面面角进而得到所求线面角或面面角, ,并进并进行计算行计算. . 在本例的条件下在本例的条件下, ,计算二面角计算二面角A-BC-DA-BC-D的余弦值的余弦值. .【解析解析】取取BCBC的中点的中点N,N,连接连接AN,DN,AN,DN,因为因为AB=AC,AB=AC,所以所以BCAN,BCAN,由原例题解析可知由原例题解析可知BCAD,BCAD,又又ANAD=A, ANAD=A, 所以所以BCBC平面平面ADN,ADN,所以所以ANDAND是二面角是二面角A-BC-DA-BC-D的平面角的平面角, ,在在RtANDRtAND中中,AN= ,AD=2 ,DAN=90,AN= ,AD=2 ,DAN=90,所以所以DN= DN= 所以所以cosAND= cosAND= 角度角度2 2求体积求体积【典例典例】(2018(2018全国卷全国卷)如图如图, ,在在平行四边形平行四边形ABCMABCM中中,AB=AC=3,ACM,AB=AC=3,ACM=90,=90,以以ACAC为折痕将为折痕将ACMACM折起折起, ,使使点点M M到达点到达点D D的位置的位置, ,且且ABDAABDA(1)(1)证明证明: :平面平面ACDACD平面平面ABC.ABC.(2)Q(2)Q为线段为线段ADAD上一点上一点,P,P为线段为线段BCBC上一点上一点, ,且且BP=DQ= DA, BP=DQ= DA, 求三棱锥求三棱锥Q-ABPQ-ABP的体积的体积. .【思维思维引引】(1)(1)转化为证明转化为证明ABAB平面平面ACD.ACD.(2)(2)过过Q Q作作ACAC的垂线的垂线, ,得三棱锥得三棱锥Q-ABPQ-ABP底面底面ABPABP上的高上的高. .【解析解析】(1)(1)由已知可得由已知可得,BAC=90,BAC=90,则则BAAC.BAAC.又又BAAD,ADAC=A,BAAD,ADAC=A,所以所以ABAB平面平面ACD.ACD.又又ABAB 平面平面ABC,ABC,所以平面所以平面ACDACD平面平面ABC.ABC.(2)(2)由已知可得由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3 .,DC=CM=AB=3,DA=3 .又又BP=DQ= DA,BP=DQ= DA,所以所以BP=2 .BP=2 .作作QEAC,QEAC,垂足为垂足为E,E,则则QE= DC=1.QE= DC=1.由已知及由已知及(1)(1)可得可得DCDC平面平面ABC,ABC,所以所以QEQE平面平面ABC,ABC,因此因此, ,三棱锥三棱锥Q-ABPQ-ABP的体积为的体积为 = QE = QE = 1 32 sin 45=1. 1 32 sin 45=1.【类题类题通通】计算问题的解决方法计算问题的解决方法(1)(1)上述计算问题一般在三角形中求解上述计算问题一般在三角形中求解. .所给条件中的所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直面面垂直首先转化为线面垂直, ,然后转化为线线垂直然后转化为线线垂直. .往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题. .(2)(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法求几何体的体积时要注意应用转换顶点法, ,求线段求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点换顶点( (等体积等体积) )法法. .提醒提醒: :证明线面垂直的问题时证明线面垂直的问题时, ,要注意以下三点要注意以下三点: :(1)(1)两个平面垂直两个平面垂直. .(2)(2)直线必须在其中一个平面内直线必须在其中一个平面内. .(3)(3)直线必须垂直于它们的交线直线必须垂直于它们的交线. .【习练习练破破】1.(20191.(2019九江高一检测九江高一检测) )如图如图,AB,AB,AC,AC, BAD=CAD=45, BAD=CAD=45,则则BAC=BAC=( () )A.90A.90B.60B.60C.45C.45D.30D.30【解析解析】选选B.B.在在ABAB上任意找一点上任意找一点F,F,过点过点F F作作ADAD的垂线的垂线EF,EF,垂足为垂足为E,E,再过点再过点E E作作EGAD,EGEGAD,EG交交ACAC于点于点G.G.如图所示如图所示. .因为因为BAD=CAD=45,BAD=CAD=45,EFAE,EGAD,EFAE,EGAD,所以所以EF=AE=EG,EF=AE=EG,所以根据三角形的勾股所以根据三角形的勾股定理可知定理可知,AF,AF2 2=AE=AE2 2+FE+FE2 2, ,FGFG2 2=FE=FE2 2+EG+EG2 2,AG,AG2 2=AE=AE2 2+EG+EG2 2, ,所以所以AF=AG=FG,AF=AG=FG,所以所以AFGAFG是等边三角形是等边三角形, ,则则BAC=60. BAC=60. 2.(20192.(2019汕头高一检测汕头高一检测) )如图如图, ,三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, , CA=CB,AB=AACA=CB,AB=AA1 1,BAA,BAA1 1=60.O=60.O为为ABAB的中点的中点. .(1)(1)证明证明:AB:AB平面平面A A1 1OC.OC.(2)(2)若若AB=CB=2,AB=CB=2,平面平面ABCABC平面平面A A1 1ABBABB1 1, ,求三棱柱求三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的体积的体积. .【解析解析】 (1) (1)连接连接A A1 1B.,B.,因为因为CA=CB,OA=OB,CA=CB,OA=OB,所以所以OCAB,OCAB,因为因为AB=AAAB=AA1 1,BAA,BAA1 1=60,=60,所以三角形所以三角形AAAA1 1B B为等边三角形为等边三角形, ,所以所以AAAA1 1=A=A1 1B,B,又又OA=OB,OA=OB,所以所以OAOA1 1AB,AB,又又OCOAOCOA1 1=O,=O,所以所以ABAB平面平面A A1 1OC.OC.(2)(2)由题可知由题可知,ABC,ABC与与AAAA1 1B B是边长为是边长为2 2的等边三角形的等边三角形, ,得得OAOA1 1= ,= ,因为平面因为平面ABCABC平面平面A A1 1ABBABB1 1, ,平面平面ABCABC平面平面A A1 1ABBABB1 1=AB,=AB,由由(1)OA(1)OA1 1AB,OAAB,OA1 1 平面平面A A1 1ABBABB1 1, ,所以所以OAOA1 1面面ABC,ABC,所以所以OAOA1 1三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的高的高, ,所以所以 =S=SABCABCOAOA1 1=3.=3.【加练加练固固】如图如图, ,在三棱台在三棱台ABCABC- -DEFDEF中中, ,平面平面BCFEBCFE平面平面ABC,ACB=ABC,ACB= 90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. 90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)(1)求证求证:BF:BF平面平面ACFD.ACFD.(2)(2)求二面角求二面角B B- -ADAD- -F F的平面角的平面角的余弦值的余弦值. .【解析解析】(1)(1)延长延长AD,BE,CFAD,BE,CF相交于一点相交于一点K,K,如图所示如图所示, ,因为平面因为平面BCFEBCFE平面平面ABC,ABC,且且ACBC,ACBC,所以所以ACAC平面平面BCFE,BCFE,所以所以BFAC,BFAC,又因为又因为EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以所以BCKBCK为等边三角形为等边三角形, ,且且F F为为CKCK的中点的中点, ,则则BFCK,BFCK,又因为又因为CKAC=C,CKAC=C,所以所以BFBF平面平面ACFD.ACFD.(2)(2)过点过点F F作作FQAK,FQAK,连接连接BQ.BQ.因为因为BFBF平面平面ACK,ACK,所以所以BFAK,BFAK,则则AKAK平面平面BQF,BQF,所以所以BQAK.BQAK.所以所以BQFBQF是二面角是二面角-D-F-D-F的平面角的平面角. .在在RtACKRtACK中中,AC=3,CK=2,AC=3,CK=2,得得FQ= FQ= 在在RtQFRtQF中中,FQ= ,BF= ,FQ= ,BF= ,得得cosBQF= .cosBQF= .所以二面角所以二面角-D-F-D-F的平面角的余弦值为的平面角的余弦值为 . .类型三折叠问题类型三折叠问题【典例典例】如图如图, ,在多边形在多边形PABCDPABCD中中,ADBC,ABAD, ,ADBC,ABAD, PA=AB=AD=2BC,PAD=60,MPA=AB=AD=2BC,PAD=60,M是线段是线段PDPD上的一点上的一点, ,且且DM=2MP,DM=2MP,若将若将PADPAD沿沿ADAD折起折起, ,得到几何体得到几何体P-ABCD.P-ABCD.(1)(1)证明证明:PB:PB平面平面AMC.AMC.(2)(2)若若BC=1,BC=1,且平面且平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,求三棱锥求三棱锥P-ACMP-ACM的体积的体积. .【思维思维引引】(1)(1)用线面平行的判定定理证明用线面平行的判定定理证明. .(2)(2)一方面要注意由平面一方面要注意由平面PADPAD平面平面ABCDABCD推出推出BABA平面平面PAD;PAD;另一方面要注意另一方面要注意V VP-ACMP-ACM=V=VC-PAMC-PAM. .【解析解析】(1)(1)连接连接BD,BD,交交ACAC于点于点O,O,连接连接MO. MO. 因为因为ADBC,ADBC,所以所以BCO DAO, BCO DAO, 因为因为AD=2BC ,AD=2BC ,所以所以DO=2BO,DO=2BO,因为因为DM=2MP , DM=2MP , 所以所以PBMO,PBMO,因为因为PBPB 平面平面AMC,MOAMC,MO 平面平面AMC,AMC,所以所以PB PB 平面平面AMC.AMC.(2)(2)因为因为 平面平面 PADPAD平面平面ABCD,ABCD,平面平面PAD PAD 平面平面 ABCD=AD ,ABCD=AD ,ABAB 平面平面ABCD, ABAD ,ABCD, ABAD ,所以所以BABA平面平面PAD.PAD.因为因为BCAD ,BCAD ,BCBC 平面平面PAD, ADPAD, AD 平面平面PAD,PAD,所以所以BCBC平面平面PAD,PAD,则三棱锥则三棱锥 C-PAM C-PAM 的高等于点的高等于点B B到平到平面面PADPAD的距离的距离, ,即即BA=2 ,BA=2 ,因为因为S SPAMPAM= S= SPADPAD= APADsin60= APADsin60= ,= ,所以所以V VP-ACMP-ACM=V=VC-PAMC-PAM= S= SPAMPAMBA= .BA= .【内化内化悟悟】折叠后折叠后, ,若两个平面互相垂直若两个平面互相垂直, ,则应注意什么问题则应注意什么问题? ?提示提示: :折叠问题折叠问题, ,即由平面图形经过折叠成为立体图形即由平面图形经过折叠成为立体图形, ,在立体图形中解决有关问题在立体图形中解决有关问题. .折叠后折叠后, ,若两个平面互相若两个平面互相垂直垂直, ,一方面要注意抓住折叠前后的变量与不变量一方面要注意抓住折叠前后的变量与不变量, ,另另一方面要注意面面垂直性质定理和面面垂直定义的应一方面要注意面面垂直性质定理和面面垂直定义的应用用. .【类题类题通通】解决折叠问题的策略解决折叠问题的策略(1)(1)抓住折叠前后的变量与不变量抓住折叠前后的变量与不变量, ,一般情况下一般情况下, ,在折线在折线同侧的量同侧的量, ,折叠前后不变折叠前后不变,“,“跨过跨过”折线的量折线的量, ,折叠前后折叠前后可能会发生变化可能会发生变化, ,这是解决这类问题的关键这是解决这类问题的关键. .(2)(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况征的变化情况, ,注意相应的点、直线、平面间的位置关注意相应的点、直线、平面间的位置关系系, ,线段的长度线段的长度, ,角度的变化情况角度的变化情况. .【习练习练破破】1.1.如图所示如图所示, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=3,BC=4,E,F,AB=3,BC=4,E,F分别在线段分别在线段BC,ADBC,AD上上,EFAB,EFAB,将矩形将矩形ABEFABEF沿沿EFEF折起折起, ,记折起后的矩记折起后的矩形为形为MNEF,MNEF,且平面且平面MNEFMNEF平面平面ECDF.ECDF.在线段在线段BCBC上是否存上是否存在一点在一点E,E,使得使得NDFC,NDFC,若存在若存在, ,求出求出ECEC的长并证明的长并证明; ;若不若不存在存在, ,请说明理由请说明理由. .【解析解析】EC=3EC=3时符合时符合. .证明如下证明如下: :连接连接ED,ED,交交FCFC于点于点O,O,如图所示如图所示. .因为平面因为平面MNEFMNEF平面平面ECDF,ECDF,且且NEEF,NEEF,平面平面MNEFMNEF平面平面ECDF=EF,NEECDF=EF,NE 平面平面MNEF,MNEF,所以所以NENE平面平面ECDF.ECDF.因为因为FCFC 平面平面ECDF,ECDF,所以所以FCNE.FCNE.因为因为EC=CD,EC=CD,所以四边形所以四边形ECDFECDF为正方形为正方形, ,则则FCED.FCED.又因为又因为EDNE=E,ED,NEEDNE=E,ED,NE 平面平面NED,NED,所以所以FCFC平面平面NED.NED.因为因为NDND 平面平面NED,NED,所以所以NDFC.NDFC.2.2.如图如图,E,E是矩形是矩形ABCDABCD中中ADAD边上的点边上的点,F,F为为CDCD边的中点边的中点, , AB=AE= AD=4,AB=AE= AD=4,现将现将ABEABE沿沿BEBE边折至边折至PBEPBE的位置的位置, ,且平面且平面PBEPBE平面平面BCDE.BCDE.(1)(1)求证求证: :平面平面PBEPBE平面平面PEF.PEF.(2)(2)求四棱锥求四棱锥P-BEFCP-BEFC的体积的体积. .【解析解析】(1)(1)因为因为AB=AE= AD=4,AB=AE= AD=4,所以所以DE= AD= AB=2,DE= AD= AB=2,因为因为F F为为CDCD边的中点边的中点, ,所以所以DE=DF,DE=DF,又又DEDF,DEDF,所以所以DEF=45,DEF=45,同理同理AEB=45,AEB=45,所以所以BEF=90,BEF=90,即即EFBE,EFBE,又平面又平面PBEPBE平面平面BCDE,BCDE,平面平面PBEPBE平面平面BCDE=BE,BCDE=BE,所以所以EFEF平面平面PBE,EFPBE,EF 平面平面PEF,PEF,所以平面所以平面PBEPBE平面平面PEF.PEF.(2)(2)取取BEBE的中点的中点O,O,连接连接OP,OP,因为因为PB=PE,PB=PE,所以所以POBE,POBE,又平面又平面PBEPBE平面平面BCDE,BCDE,平面平面PBEPBE平面平面BCDE=BE,BCDE=BE,所以所以POPO平面平面BCDE,BCDE,即即POPO为棱锥为棱锥P-BEFCP-BEFC的高的高,PO=2 ,PO=2 ,S S四边形四边形BEFCBEFC=S=S四边形四边形ABCDABCD-S-SABEABE-S-SDEFDEF= =64- 44- 22=14,64- 44- 22=14,则则V= V= S S四边形四边形BEFCBEFCh= 142 = .h= 142 = .【加练加练固固】如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=3 ,BC=3,AB=3 ,BC=3,沿对角线沿对角线BDBD把把BCDBCD折起折起, ,使使C C移到移到C,C,且且CC在平面在平面ABDABD内的射影内的射影O O恰恰好落在好落在ABAB上上. .(1)(1)求证求证:ACBC.:ACBC.(2)(2)求求ABAB与平面与平面BCDBCD所成的角的正弦值所成的角的正弦值. .(3)(3)求二面角求二面角C-BD-AC-BD-A的正切值的正切值. .【解析解析】(1)(1)由题意由题意, ,知知COCO平面平面ABD,ABD,因为因为COCO 平面平面ABC,ABC,所以平面所以平面ABCABC平面平面ABD.ABD.又因为又因为ADAB,ADAB,平面平面ABCABC平面平面ABD=AB,ABD=AB,所以所以ADAD平面平面ABC.ABC.所以所以ADBC.ADBC.因为因为BCCD,ADCD=D,BCCD,ADCD=D,所以所以BCBC平面平面ACD.ACD.所以所以BCAC.BCAC.(2)(2)因为因为BCBC平面平面ACD,BCACD,BC 平面平面BCD,BCD,所以平面所以平面ACDACD平面平面BCD.BCD.作作AHCDAHCD于于H,H,则则AHAH平面平面BCD,BCD,连接连接BH,BH,则则BHBH为为ABAB在在平面平面BCDBCD上的射影上的射影, ,所以所以ABHABH为为ABAB与平面与平面BCDBCD所成的角所成的角. .又在又在RtACDRtACD中中,CD=3 ,AD=3,CD=3 ,AD=3,所以所以AC=3 .AC=3 .所以所以AH= .AH= .所以所以sinABH= ,sinABH= ,即即ABAB与平面与平面BCDBCD所成角的所成角的正弦值为正弦值为 . .(3)(3)过过O O作作OGBDOGBD于于G,G,连接连接CG,CG,则则CGBD,CGBD,则则CGOCGO为二面角为二面角C-BD-AC-BD-A的平面角的平面角. .在在RtACBRtACB中中,CO= ,CO= 在在RtBCDRtBCD中中,CG= ,CG= 所以所以OG= OG= 所以所以tanCGO= tanCGO= 即二面角即二面角C-BD-AC-BD-A的正切值为的正切值为2 .2 .