第十章第十章 数项级数数项级数1 1 级数问题的提出级数问题的提出一些数学问题和实际问题经常用到：无穷多个函数相 加或无穷多个数相加。例2.非初等函数的表示微分方程的解例3.例1.微分方程的解？和问题：1.无穷多项相加究竟是什么意思？加得起来吗？ 2.对这种无穷项相加的“无穷级数”，它的运算规律与“有限和”有什么异同？历史上：很多是“形式运算”，后来由于应用的深入和广泛，形式运算常出现矛盾：若把它写成若把它写成 则其则其“和和”为为0 0， 若把它写成若把它写成 则其则其“和和”为为1, 1, “和和”只能一个，矛盾只能一个，矛盾 。例：无穷项相加例：无穷项相加 无穷项函数相加，对每一个固定的 x，每一项便变成一个数，因此，我们从无穷个数相加谈起，这种级数称为数项级数，或简称为无穷级数。用加号把这些数依次连接起来所得的式子设有数列：称为无穷级数或数项级数，简称级数。这仅是一种形式上的相加。2 数项级数的收敛性及其基本性质数项级数的收敛性及其基本性质记为：引入一个新的数列称为级数的前n项部分和（简称部分和）称为级数的部分和数列。有极限存的部分和数列 在（设为S），则称级数 收敛 。S称为级数的和，记作： 此时也称级数 收敛到S。若部分和数列 没有极限存在，则称该数列发散，此时它没有和。 若级数一、数项级数的收敛一、数项级数的收敛讨论级数讨论级数因为因为 解：前解：前n项部分和为项部分和为 收敛，其和为收敛，其和为1，即，即 所以级数所以级数 的收敛性。的收敛性。 例例1解：前解：前n项部分和项部分和的收敛性。的收敛性。 发散。发散。 因此，级数因此，级数 讨论级数讨论级数 例例2此时级数收敛，其和为 （几何级数）讨论几何级数（几何级数）讨论几何级数即 这是中学学习过的。例例3 3例例3 3的收敛性，其中的收敛性，其中 r 为公比。为公比。解：解： 当 r = -1时， 当| r |1时,当 r = 1时， 两个子数列的极限不相等。因此级数发散。 当a0时，极限不存在，这是因为 特别地，当 a = 1 时级数就是 这是10.1中讨论过的级数，它发散，因此没有和。故说它的和即等于1又等于0的推理，前提是不正确的。 综合起来，对几何级数 得到的结论是： 当| r | 1 时,时收敛，当 | r |1时, 发散。 知这样就把 e 用一个无穷级数表示出来。 其中 0 1 时收敛，当时收敛，当 p 1 时发散。时发散。 证明：证明： 先证明先证明 p = 1 时级数发散。由定理时级数发散。由定理10.5，只需证明，只需证明的项的项第二项依次按第二项依次按部分部分和数列无上界。对任意正整数和数列无上界。对任意正整数 ，都有，都有正整数正整数 k，使，使 便得便得 例例1, 这时把部分和数列这时把部分和数列项组合起来，项组合起来，k可以取任意大，因而无上界。故可以取任意大，因而无上界。故 p = 1时，级数时，级数发散（级数发散（级数 也称为调和级数）。也称为调和级数）。 当当 p 1 时，设时，设 在在 p 1 时收敛。时收敛。 （比较判别法）设有两个正项级数（比较判别法）设有两个正项级数 若对充分大的若对充分大的 n（即存在（即存在 N, 当当 n N 时）有时）有 其中其中 c 0与与 n 无关，则无关，则 1) 当当 收敛时，收敛时， 发散。发散。 收敛；收敛； 2) 当当 发散时，发散时， 比较判别法比较判别法证明：证明： 从从n=1开始开始由定理由定理10.3，不妨假定，不妨假定 故当故当 （n=1,2,） 因此因此 由定理由定理10.5便推出定理便推出定理10.6的结论。的结论。无上界时，无上界时， 有上界时，有上界，当有上界时，有上界，当 成立，记成立，记另证：另证： 设给定两正项级数设给定两正项级数 若若 1. 把定理把定理10.7与与p级数结合；级数结合； 注：注： 则：则： 2. 定理定理10.7的应用：必须已知某正项级数的应用：必须已知某正项级数的收敛性的收敛性 。比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式通常：把判别级数和通常：把判别级数和几何级数，几何级数，p级数级数比较。比较。,而而 的收敛性。的收敛性。是收敛的。是收敛的。 判断级数判断级数 例例2例例3判断级数判断级数 的收敛性的收敛性 ，而调和级数是发散的。，而调和级数是发散的。 再证：再证： 设给定两正项级数设给定两正项级数 若当若当 n 充分大后有充分大后有 收敛；由收敛；由 收敛可推出收敛可推出 则由则由 取几何级数做标准，便得下面的判别法。取几何级数做标准，便得下面的判别法。发散。发散。 发散可推出发散可推出 比较判别法的另一种形式比较判别法的另一种形式证明：证明： 的每一项的每一项都不为都不为0，且满足，且满足 设正项级数设正项级数 收敛；收敛； 则则 （1） 当当时，级数时，级数 发散；发散； （2） 当当时，级数时，级数 （3） 当当时，需进一步判定。时，需进一步判定。 达朗贝尔（达朗贝尔（DAlembert）判别法）判别法证明要点证明要点（3）讨论）讨论 使使 时，取时，取 （1）当）当 当当 时，有时，有（2）当）当 时，取时，取 使使 讨论级数讨论级数 故收敛故收敛例例4例例5讨论级数讨论级数 满足满足 设正项级数设正项级数 收敛；收敛； 时，级数时，级数 则（则（1）当）当 时，需进一步判别。时，需进一步判别。 （3）当）当 （2）当）当 发散；发散； 时，级数时，级数 柯西（柯西（Cauchy）判别法）判别法时，取时，取 证明证明:当时当时 则则 1）当）当 讨论讨论 （用两边夹的极限不等式证明），则（用两边夹的极限不等式证明），则解解 ： 注意注意的收敛性，其中的收敛性，其中 例例6故当故当 时时,级数收敛，级数收敛，当当 x=1 时时,级数显然发散。级数显然发散。时，级数时，级数 则（则（1）当）当 的项满足的项满足 设正项级数设正项级数 收敛；收敛； （2）当）当 时，级数时，级数 发散。发散。 拉阿比（拉阿比（Raabe）判别法）判别法当当存在存在.则正项级数则正项级数 收敛的充分必要条件收敛的充分必要条件是极是极限限 连续，单调下降，连续，单调下降， 在在 若若 它在它在 取取 例：用积分判别法判别例：用积分判别法判别p级数的收敛性：级数的收敛性：当当 易知易知 且且 非负，连续递减。非负，连续递减。 时，发散。当时，发散。当 从而从而 时时 时，收敛。时，收敛。 柯西（柯西（Cauchy）积分判别法）积分判别法的收敛性，其中 讨论 解：取 它在 非负，单调下降，连续. 时， 而当 时，已知 当 故 时收敛，当 当 时 发散。 例例8 8其中其中 1. 交错级数交错级数4 一般项级数一般项级数满足：满足： 设交错级数设交错级数则该级数收敛则该级数收敛.证明：考察部分和数列证明：考察部分和数列 单调上升有上界，从而有极限单调上升有上界，从而有极限先证先证 的两个子列的两个子列 莱布尼兹判别法例例2. Cauchy收敛原理与绝对收敛收敛原理与绝对收敛现取现取 收敛的收敛的CauchyCauchy准则：准则： 数列数列 的部分和的部分和 则有关于级数收敛的则有关于级数收敛的CauchyCauchy定理：定理：为级数为级数 收敛收敛 （CauchyCauchy收敛原理）级数收敛原理）级数 有有 收敛收敛 发散发散 因此，可有：因此，可有：时时 由由Cauchy收敛原理可证：收敛原理可证：用用Cauchy收敛原理证明调和级数收敛原理证明调和级数 发散发散 例例1实际上：前面第九章实际上：前面第九章 用用Cauchy准则证明准则证明 也就是这里的证明。也就是这里的证明。发散发散 其中：其中：若若 收敛收敛.收敛，则收敛，则 注：定理注：定理10.15的逆不成立的逆不成立 的收敛性的收敛性讨论级数讨论级数例例2收敛，则称收敛，则称 若若 绝对收敛绝对收敛 ；发散，发散， 则称则称 条件收敛条件收敛.若若 收敛，而收敛，而 （绝对收敛，条件收敛）（绝对收敛，条件收敛） ：绝对收敛：绝对收敛 收敛收敛 总结一下：总结一下： 不可能不可能 收敛收敛 收敛收敛 收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散 发散发散 ：条件收敛：条件收敛 +达朗贝尔（达朗贝尔（DAlembert）判别法）判别法讨论级数讨论级数 的收敛性的收敛性 例例3当当 时，则时，则 (1) 绝对收敛绝对收敛 ；当当 时，则时，则 发散发散 。(2) 3.Dirichlet判别法与判别法与Abel判别法判别法求和数求和数 设有两组数设有两组数 变换：变换： 引进引进 29页图页图或或 解释：（解释：（1）几何解释：）几何解释： 变换变换 。 代入得：代入得： 于是于是 此上式称为此上式称为 引进引进 引进引进 引进引进 引进引进 （2）它和分部积分公式十分相似：考察）它和分部积分公式十分相似：考察比较：比较： 记记 设设 引理引理1则则 单调；单调； 有界，即有界，即 证明：有阿贝尔变换与有界知，证明：有阿贝尔变换与有界知，设：（设：（Dirichlet判别法）设：判别法）设：(i) 级数级数 要证要证 n 充分大，充分大， 的部分和的部分和 (ii) 数列数列 单调趋于单调趋于0。则级数。则级数 有界。即有界。即 能很小。而能很小。而 证明：（思路）用证明：（思路）用Cauchy收敛原理与收敛原理与Abel引理：引理：收敛收敛 另一方面：由另一方面：由 ,即可得。即可得。 有界和有界和 M 能很小也能得证能很小也能得证 很小很小,即下面定理：即下面定理： （Abel判别法）设判别法）设因此只要因此只要 收敛。收敛。 单调有界单调有界 。则级数。则级数 （ii）数列）数列 收敛；收敛； （i）级数）级数 当当 收敛知任给收敛知任给 由由 , 存在存在 N证明：用柯西收敛原理与阿贝尔引理证明。设证明：用柯西收敛原理与阿贝尔引理证明。设 收敛。收敛。 故级数故级数 对任意正整数对任意正整数 p，由，由阿贝尔引理，阿贝尔引理， 时，对任意正整数时，对任意正整数 p，有，有 说明：说明： Leibniz定理是定理是Dirichlet判别法的一个特例判别法的一个特例取取 则级数则级数 即为形如即为形如 的级数，它满足的级数，它满足Dirichlet判别法的条件。判别法的条件。 讨论级数讨论级数的敛散性。的敛散性。 解：取解：取 由由Dirichlet判别法知判别法知 ，对一切对一切 收敛收敛 例例4：则则 因此因此 同理可证：同理可证： 例例5：若：若 收敛则收敛则 都收敛。都收敛。 如果无穷级数收敛，则它有一个和。如果无穷级数收敛，则它有一个和。是否具有有限是否具有有限即是否满足：三律即是否满足：三律 （1）结合律。）结合律。 （2）交换律。）交换律。 （3）分配律。）分配律。 但这是无穷个数的和，但这是无穷个数的和，个数的和的性质：个数的和的性质：10.5无穷级数与代数运算无穷级数与代数运算一先看结合律一先看结合律即一个收敛级数即一个收敛级数 ，对其项任意加括号后，对其项任意加括号后所成级数仍为收敛，且其和不变。所成级数仍为收敛，且其和不变。证明：新级数的部分和数列为证明：新级数的部分和数列为 的子数列。的子数列。 注意：加括号后的级数为收敛时，不能断言注意：加括号后的级数为收敛时，不能断言原来未加括号的级数也收敛。原来未加括号的级数也收敛。二看交换律二看交换律定义：对于一个级数定义：对于一个级数 ，将它的项重新排列后所得，将它的项重新排列后所得到的到的级数级数绝对收敛级数绝对收敛级数 称为称为 的重排级数或更序级数的重排级数或更序级数 的重排级数的重排级数 仍绝对仍绝对收敛，且其和不变。收敛，且其和不变。(Riemann定理定理) 若若 条件收敛，则条件收敛，则 （1）适当重排，可使新级数发散；）适当重排，可使新级数发散；（2）对任意实数）对任意实数 ，可找到，可找到 的重排，的重排，使其和为使其和为 例例. 已知已知 条件收敛设其和为条件收敛设其和为 即即 将此级数作如下重排：按级数原有正项与负项的顺序：将此级数作如下重排：按级数原有正项与负项的顺序：一个正项两个负项交替排列：即一个正项两个负项交替排列：即假设此级数收敛。由定理假设此级数收敛。由定理10.19（结合律）对其加括号：（结合律）对其加括号：由此：重排级数即使收敛，其和与原级数的和也由此：重排级数即使收敛，其和与原级数的和也不一定相等。不一定相等。三看分配律三看分配律即两个无穷和的乘积：即两个无穷和的乘积： 例：给定两个收敛例：给定两个收敛的级数的级数，仿照有限和的乘积规则把所有，仿照有限和的乘积规则把所有可能的项可能的项写出来：写出来： （1）列成表。）列成表。（2）常见排列方式两种）常见排列方式两种 (Cauchy) 若级数 均绝对收敛，其和分别为 s, t，则它们各项之积 按任何方式排列所构成的 级数也绝对收敛切其和为 例1. 级数 在 时绝对收敛。 将这个级数自乘，按斜对角线法排列并项，可得 ：在 时成立。 内容小节一、数项级数的收敛判别法一、数项级数的收敛判别法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数收敛判别法必要条件不满足发 散满足比值收敛判别法根值收敛法收 敛发 散不定 比较收敛法用其它法判别积分判别法部分和极限3. 任意项级数收敛判别法为收敛级数Leibniz判别法判别法: 若且则交错级数收敛 ,概念概念:且余项若收敛 , 称绝对收敛若发散 , 称条件收敛二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 . 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和四、函数的幂级数和付式级数展开法四、函数的幂级数和付式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1. 将函数展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:1. 函数的幂级数展开法习题例例1. 若级数均收敛 , 且证明级数收敛 .证证: 则由题设收敛收敛收敛例2. 设正项级数和也收敛 .提示提示: 因存在 N 0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛, 证明级数当n N 时例3. 设级数收敛 , 且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .问级数提示提示: 对正项级数,由比较判别法可知级数收敛 ,收敛,级数发散 .例如, 取例例4. 求幂级数法法1 易求出级数的收敛域为例例5.解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数 = 其收敛半径注意: 补充题2. 设, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,的和. ( 01考研 )解解:于是并求级数解解: 原式=的和 .例2、 求级数解解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为而在x0例3、 求下列幂级数的和函数：级数发散,(4)作业P9:2.3P21:1.2.4.6P32:1.2.4.5.6