上海大学机电工程与自动化学院工工 程程 控控 制制 原原 理理2. 数学模型与传递函数主讲：彭艳主讲：彭艳 办办 公公 室：室：机械楼机械楼205室室 电子邮件电子邮件： 办公电话：办公电话：56334137上海大学机电工程与自动化学院比例环节 惯性环节微分环节典型环节传递函数积分环节振荡环节延时环节上海大学机电工程与自动化学院2.5 系统的方框图及其联接系统的方框图及其联接 系系统统方方框框图图是是系系统统数数学学模模型型的的图图解解形形式式。可可以以形形象象直直观观地地描描述述系系统统中中各各元元件件间间的的相相互互关关系系及及其其功功能能以以及及信信号号在在系系统统中的传递、变换过程。中的传递、变换过程。 2. 数学模型与传递函数上海大学机电工程与自动化学院2.5.1 方框图的结构要素方框图的结构要素 2.5 系统的方框图及其联接系统的方框图及其联接 (1) 信信信信号号号号线线线线：带带有有箭箭头头的的直直线线，箭箭头头表表示示信信号号的的传传递递方方向向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。直线旁标记信号的时间函数或象函数。 (2) 信信信信号号号号引引引引出出出出点点点点( (线线线线) )：表表示示信信号号引引出出或或测测量量的的位位置置和和传传递递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 (3) 函函函函数数数数方方方方框框框框( (环环环环节节节节) )：方方框框代代表表一一个个环环节节，箭箭头头代代表表输输入入输出。表示输入到输出单向传输间的函数关系。输出。表示输入到输出单向传输间的函数关系。 (4) 求求求求和和和和点点点点( (比比比比较较较较点点点点、综综综综合合合合点点点点) )：两两个个或或两两个个以以上上的的输输入入信信号进行加减比较的元件。号进行加减比较的元件。上海大学机电工程与自动化学院2.5.1 方框图的结构要素方框图的结构要素 相邻分支点可以互换；相邻分支点可以互换；相邻分支点可以互换；相邻分支点可以互换；G(s)xo(t)xi(t)Xi(s)Xo(s)G1(s)P(s)Xi(s)P(s)G2(s)Xo(s)信号线信号线方框方框分支点分支点T2(s)+T1(s)T1(s) + T2(s)+求和点求和点 进进进进行行行行相相相相加加加加减减减减的的的的量量量量，必必必必须须须须具具具具有相同的量纲（量纲和谐）；有相同的量纲（量纲和谐）；有相同的量纲（量纲和谐）；有相同的量纲（量纲和谐）； 相邻求和点可以互换、合并、分解；相邻求和点可以互换、合并、分解；相邻求和点可以互换、合并、分解；相邻求和点可以互换、合并、分解； 求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。上海大学机电工程与自动化学院2.5.1 方框图的结构要素方框图的结构要素用方框图表示系统的优点用方框图表示系统的优点用方框图表示系统的优点用方框图表示系统的优点 只只要要依依据据信信号号的的流流向向，将将各各环环节节的的方方框框连连接接起起来来，便便可组成整个系统，简便，直观。可组成整个系统，简便，直观。 通过方框图，可揭示和评价每一个环节对系统的影响。通过方框图，可揭示和评价每一个环节对系统的影响。 由由各各环环节节的的方方框框组组成成的的系系统统框框图图，可可以以进进一一步步将将系系统统框图简化，便于写出整个系统的传递函数。框图简化，便于写出整个系统的传递函数。上海大学机电工程与自动化学院2.5.1 方框图的结构要素方框图的结构要素绘制系统框图的一般步骤绘制系统框图的一般步骤绘制系统框图的一般步骤绘制系统框图的一般步骤 写写出出系系统统中中每每一一部部件件的的运运动动方方程程。要要考考虑虑相相互互连连接接部件之间的负载效应。部件之间的负载效应。 根根据据部部件件的的运运动动方方程程，进进行行拉拉氏氏变变换换，写写出出相相应应的的传传递递函函数数。一一个个部部件件用用一一个个方方框框表表示示，框框内内填填写写相相应应的的传传递递函函数。数。 根根据据信信号号的的流流向向，将将各各方方框框单单元元依依次次连连接接起起来来，并并把把系系统统的的输输入入量量置置于于整整个个系系统统框框图图的的最最左左端端，输输出出量量置置于于整整个个系统框图的最右端。系统框图的最右端。G(s)xo(t)xi(t)Xi(s)Xo(s)上海大学机电工程与自动化学院绘制系统框图绘制系统框图例题例题1 绘制系统方框图。绘制系统方框图。阻容电路阻容电路阻容电路阻容电路RCi(t)ui (t)uo(t)解：解：Uo(s)+Ui(s)I(s)- -1/ /R+Ui(s)I(s)- -1/ /R1/ /CsUo(s)1/ /CsI(s)Uo(s)拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏变换上海大学机电工程与自动化学院绘制系统框图绘制系统框图例例题题2 绘绘制制RC网网络络系系统统方框图。方框图。解：解：UC1(s)+Ui(s)I1(s)- -1/ /R1R1C2i1(t)ui (t)uo(t)C1i2(t)R2UC2(s)+UC1(s)I2(s)- -1/ /R2上海大学机电工程与自动化学院绘制系统框图绘制系统框图I2(s)+I1(s)UC1(s)- -1/ /C1sI2(s)Uo(s)1/ /C2sUC1(s)+Ui(s)I1(s)- -1/ /R1Uo(s)+UC1(s)I2(s)- -1/ /R2+Ui(s)I1(s)- -1/ /R1+UC1(s)- -1/ /C1s+I2(s)- -1/ /R2Uo(s)1/ /C2s上海大学机电工程与自动化学院绘制系统框图绘制系统框图例例题题3 绘绘制制放放大大电电路系统方框图。路系统方框图。解：解：R1C2i1(t)ui (t)uo(t)C1i2(t)R2KuK(t)+Ui(s)I1(s)- -1/ /R1UC1(s)1/ /C1s+I2(s)- -1/ /R2Uo(s)1/ /C2sK上海大学机电工程与自动化学院2.5.1 方框图的结构要素方框图的结构要素系统框图的等效变换系统框图的等效变换系统框图的等效变换系统框图的等效变换 对系统框图进行等效变换目的：对系统框图进行等效变换目的： 由系统框图直接写出其闭环传递函数由系统框图直接写出其闭环传递函数 系统框图等效变换的基本规则：系统框图等效变换的基本规则： 变换前后各变量之间的传递函数保持不变变换前后各变量之间的传递函数保持不变上海大学机电工程与自动化学院2.5.2 环节的基本联系方式环节的基本联系方式2.5 系统的方框图及其联接系统的方框图及其联接 (1) 串联串联串联串联： 前一环节的输出量是后一环节的输入量前一环节的输出量是后一环节的输入量Xi(s)G1(s)G2(s)Xo(s)G3(s)X2(s)X1(s)Xi(s)G1(s)G2(s)G3(s)Xo(s)上海大学机电工程与自动化学院2.5.2 环节的基本联系方式环节的基本联系方式 结结论论：由由串串联联环环节节所所构构成成的的系系统统，在在没没有有负负载载效效应应时时（负负载载效效应应是是指指一一个个元元件件的的输输出出受受到到其其后后面面一一个个元元件件存存在在的的影响），它的总传递函数等于各环节传递函数的乘积。即影响），它的总传递函数等于各环节传递函数的乘积。即： 上上式式可可理理解解为为n个个环环节节串串联联而而成成为为一一个个环环节节，其其传传递递函函数数为为G(s)。也可看成一个环节分解成。也可看成一个环节分解成n个串联环节。个串联环节。上海大学机电工程与自动化学院2.5.2 环节的基本联系方式环节的基本联系方式 (2) 并联并联并联并联： 并联各环节的输入信号相同并联各环节的输入信号相同Xi(s)G1(s)G2(s)Xo(s)G3(s)X2(s)X1(s)+X3(s)+Xi(s)G1(s) + G2(s) + G3(s)Xo(s)上海大学机电工程与自动化学院2.5.2 环节的基本联系方式环节的基本联系方式 结结论论：并并联联环环节节的的总总传传递递函函数数等等于于各各环环节节传传递递函函数数之之和和（或或差差）。若若把把并并联联处处都都看看成成相相加加，而而把把可可能能有有的的减减号号移移到到环节传递函数中去，则环节传递函数中去，则n个环节并联后总传递函数为：个环节并联后总传递函数为：上海大学机电工程与自动化学院2.5.2 环节的基本联系方式环节的基本联系方式 (3) 反馈联接反馈联接反馈联接反馈联接： 前前向向通通道道的的输输出出量量被被反反馈馈到到相相加加点点或或比比较较环环节节，并并与与输输入量进行加减运算后，入量进行加减运算后， 作为前向通道的输入。作为前向通道的输入。Xi(s)G(s)Xo(s)H(s)+- -AE(s)B(s) 各信号之间的关系如下：各信号之间的关系如下：上海大学机电工程与自动化学院2.5.2 环节的基本联系方式环节的基本联系方式 闭环传递函数闭环传递函数闭环传递函数闭环传递函数： 闭环传递函数定义为闭环系统输出与输入之比。闭环传递函数定义为闭环系统输出与输入之比。 分分母母为为 1+G(s)H(s) 表表示示负负反反馈馈的的情情况况，若若为为正正反反馈馈，分分母母则则为为 1- -G(s)H(s)，我我们们主主要要研研究究负负反反馈馈，分分母母一一般般取取1+G(s)H(s)。分分母母中中的的G(s)H(s)在在控控制制理理论论的的研研究究中中起起着着很很重重要要的的作用，为此给出以下定义作用，为此给出以下定义上海大学机电工程与自动化学院2.5.2 环节的基本联系方式环节的基本联系方式 开环传递函数开环传递函数开环传递函数开环传递函数： 开开环环传传递递函函数数定定义义为为闭闭环环系系统统的的前前向向通通道道传传递递函函数数与与反反馈通道传递函数的乘积。即：馈通道传递函数的乘积。即： 注注意意：开开环环传传递递函函数数（不不是是开开环环系系统统传传递递函函数数）是是闭闭环环系系统统中中相相对对闭闭环环传传递递函函数数而而言言的的。可可以以认认为为相相当当于于上上图图闭闭环环系系统统中中从从粉粉色色处处断断开开，则则B(s)与与E(s)之之比比即即为为开开环环传传递递函函数数。或或说说的的全全面面一一些些，Go称称为为闭闭环环系系统统的的开开环环传传递递函函数数。对对于于开开环环系系统统，系系统统的的传传递递函函数数不不能能称称为为开开环环传传递递函函数数，而而称称为为开开环环系系统统传传递递函函数数。开开环环传传递递函函数数是是无无量量纲纲的的，因因为为H(s)的的量量纲是纲是G(s)量纲的倒数。量纲的倒数。上海大学机电工程与自动化学院2.5.2 环节的基本联系方式环节的基本联系方式 单位反馈系统单位反馈系统单位反馈系统单位反馈系统： H(s)=1时时的的负负反反馈馈闭闭环环系系统统称称为为单单位位反反馈馈系系统统，其其闭闭环环传递函数为：传递函数为： 以以上上引引入入了了开开环环传传递递函函数数Go(s)及及闭闭环环传传递递函函数数 (s)的的概概念念，这这都都是是对对闭闭环环系系统统而而言言的的。若若不不加加特特别别说说明明，当当研研究究整整个个系系统统时时，不不论论是是开开环环系系统统还还是是闭闭环环系系统统，均均可可用用G(s)来来表表示整个系统的传递函数。示整个系统的传递函数。Xi(s)G(s)Xo(s)+- -E(s)上海大学机电工程与自动化学院2.5.2 环节的基本联系方式环节的基本联系方式 干扰作用下的闭环系统干扰作用下的闭环系统干扰作用下的闭环系统干扰作用下的闭环系统： 上上图图是是干干扰扰作作用用下下的的闭闭环环系系统统。干干扰扰N(s)也也是是一一种种输输入入，例例如如：系系统统参参数数的的变变化化、系系统统中中的的电电器器噪噪声声、输输入入量量的的误误差差等等都都以以干干扰扰的的形形式式输输入入系系统统。当当输输入入量量和和干干扰扰量量同同时时作作用用于于线线性性系系统统时时，可可以以对对每每个个量量单单独独进进行行处处理理，然然后后再再将将两两个个输输出量叠加起来，得到总的输出量。出量叠加起来，得到总的输出量。Xi(s)G1(s)Xo(s)+- -N(s)G2(s)+H(s)上海大学机电工程与自动化学院2.5.2 环节的基本联系方式环节的基本联系方式 在只有原输入在只有原输入Xi(s)作用下作用下【N(s)=0】，系统的输出，系统的输出Xo1为为： 在只有在只有N(s)作用下作用下【Xi(s)=0】，系统的输出，系统的输出Xo2为：为： 在在N(s)与与Xi(s)共同作用下，系统的输出共同作用下，系统的输出Xo为：为：上海大学机电工程与自动化学院2.5.2 环节的基本联系方式环节的基本联系方式 根据以上公式表达，若设计成：根据以上公式表达，若设计成： 由于由于 很小，所以由干扰引起的误差较小。很小，所以由干扰引起的误差较小。 若为开环系统，若为开环系统，H(s)=0，干扰引起的输出为：，干扰引起的输出为： 由干扰作用引起的系统输出由干扰作用引起的系统输出Xo2为：为： G2(s)一一般般不不是是很很小小的的，所所以以Xo2(s)比比较较大大。干干扰扰对对开开环环系系统统精度影响较大。精度影响较大。二、方框图的等效变换与简化二、方框图的等效变换与简化 对系统框图进行等效变换对系统框图进行等效变换目的目的： 由系统框图直接写出其闭由系统框图直接写出其闭环传递函数。环传递函数。 系统框图等效变换的基本系统框图等效变换的基本规则规则：变换前后输入输出关系保：变换前后输入输出关系保持不变。持不变。 1 1、方框图的等效变换、方框图的等效变换（1 1）分支点移动）分支点移动1/G(s)注意注意：分支点在一个支路中前移时，必须在另一分支路：分支点在一个支路中前移时，必须在另一分支路中串联具有相同传递函数的方框；分支点在一个支路中中串联具有相同传递函数的方框；分支点在一个支路中后移时，必须在另一分支路中串联具有相同传递函数的后移时，必须在另一分支路中串联具有相同传递函数的倒数的方框。由分支点分出的信号，其数值相同。倒数的方框。由分支点分出的信号，其数值相同。上海大学机电工程与自动化学院 1 1、方框图的等效变换、方框图的等效变换（2 2）综合点移动）综合点移动X1G(s)+-X2X3+X1G(s)+-X2X31/G(s)+X1G(s)+-X2X3+X1G(s)-X2X3G(s)注意注意：综合点在一个支路中前移时，必须在另一个支路中串联具有综合点在一个支路中前移时，必须在另一个支路中串联具有相同传递函数倒数的方框；综合点在一个支路中后移时，必须在另相同传递函数倒数的方框；综合点在一个支路中后移时，必须在另一个支路中串联具有相同传递函数的方框。由相加点进入和出去的一个支路中串联具有相同传递函数的方框。由相加点进入和出去的信号，其量纲必须是相同的，否则就不能相加减。信号，其量纲必须是相同的，否则就不能相加减。 2 2、方框图的简化、方框图的简化 对于复杂系统，往往是多回路系统，形成回路交错或相套，为对于复杂系统，往往是多回路系统，形成回路交错或相套，为便于计算和分析，常将复杂的方框图简化为较简单的方框图。便于计算和分析，常将复杂的方框图简化为较简单的方框图。Xo+XiG1-H1G2G3H2+-Xo+XiG1-H1G2G3+-H2/G1+Xo+XiG1G2/(1-G1G2H1)-G3-H2/G1Xo+XiG1-H1G2G3+-H2/G1+Xo+XiG1G2/(1-G1G2H1)-G3-H2/G1Xo+XiG1G2G3/(1-G1G2H1+G2G3H2)-E(s)B(s)Xo+XiG1G2G3/(1-G1G2H1+G2G3H2)-E(s)B(s)XoXiG1G2G3/(1-G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3)XoXiG1G2G3/(1-G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3) 不要因为以上的表示形式而误认为原系统是开环系不要因为以上的表示形式而误认为原系统是开环系统，而是闭环系统简化的结果。即原系统的闭环传递函统，而是闭环系统简化的结果。即原系统的闭环传递函数为：数为： 上式分母中的上式分母中的“- -G1 1G2 2H1 1+ +G2 2G3 3H2 2+ +G1 1G2 2G3 3”也不能也不能看作是原闭环系统的开环传递函数。闭环系统的开环传看作是原闭环系统的开环传递函数。闭环系统的开环传递函数应根据其定义及具体方框图来确定。递函数应根据其定义及具体方框图来确定。 该闭环系统的开环传递函数应由上图确定。即：该闭环系统的开环传递函数应由上图确定。即：Xo+XiG1G2G3/(1-G1G2H1+G2G3H2)-E(s)B(s)上海大学机电工程与自动化学院 方框图是一种很有用的图示法。对于复杂方框图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方框图的简化过程仍较复杂，且的控制系统，方框图的简化过程仍较复杂，且易出错。易出错。MasonMason提出的信号流图，既能表示系提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。工程中也被广泛地应用。 上海大学机电工程与自动化学院2.6 控制系统的信号流图控制系统的信号流图信号流图信号流图 Mason Mason用图示法描述一个或一组线性代数方程式：用图示法描述一个或一组线性代数方程式：上海大学机电工程与自动化学院控制系统的信号流图控制系统的信号流图上海大学机电工程与自动化学院控制系统的信号流图控制系统的信号流图用信号流图分析系统时一些术语的解释用信号流图分析系统时一些术语的解释节点：用节点：用“ ”表示表示代表系统中的变量；代表系统中的变量；变量等于所有流入该节点的信号之和；变量等于所有流入该节点的信号之和；自节点流出的信号不影响该节点变量的值。自节点流出的信号不影响该节点变量的值。支路：用支路：用“ ” ”表示表示其方向表示系统中变量之间的因果关系；其方向表示系统中变量之间的因果关系；其方向表示信号的流向。其方向表示信号的流向。输出节点（源点）：输出节点（源点）：表示系统的输入；表示系统的输入；代表自变量；代表自变量；只有输出支路，没有信号的流入。只有输出支路，没有信号的流入。上海大学机电工程与自动化学院控制系统的信号流图表示控制系统的信号流图表示上海大学机电工程与自动化学院控制系统的信号流图表示控制系统的信号流图表示上海大学机电工程与自动化学院信号流图与方框图的对应关系信号流图与方框图的对应关系 信号流图信号流图 方框图方框图 源点源点 输入信号输入信号 阱点阱点 输出信号输出信号 混合节点混合节点 比较点，引出点比较点，引出点 支路支路 环节环节 支路增益支路增益 环节传递函数环节传递函数 前向通路前向通路 回路回路 互不接触回路互不接触回路上海大学机电工程与自动化学院信号流图的性质：信号流图的性质： 1 1、信号流图仅适用于线性系统；、信号流图仅适用于线性系统；2 2、支路表示其相连的两个信号之间的函数关系或传、支路表示其相连的两个信号之间的函数关系或传 递关系；信号只能沿着支路箭头的方向传递；递关系；信号只能沿着支路箭头的方向传递；3 3、在节点上可以把所有输入支路的信号相加，并把、在节点上可以把所有输入支路的信号相加，并把 相加后的信号传送到所有输出支路；相加后的信号传送到所有输出支路；4 4、对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。、对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。由系统方框图转化成信号流图的一些特殊处理由系统方框图转化成信号流图的一些特殊处理（1 1）比较环节的处理）比较环节的处理 将比较环节的将比较环节的+ +（或（或- -）号移到环节传递函数中。）号移到环节传递函数中。上海大学机电工程与自动化学院画出系统方块图的信号流图画出系统方块图的信号流图（2 2）用小圆圈表示各变量对应的节点）用小圆圈表示各变量对应的节点（3 3）在比较点之后的引出点只需在比较点后设置一个节点便）在比较点之后的引出点只需在比较点后设置一个节点便 可。也可以与它前面的比较点共用一个节点。可。也可以与它前面的比较点共用一个节点。 （4 4）在比较点之前的引出点）在比较点之前的引出点B B，需设置两个节点，分别表示，需设置两个节点，分别表示 引出点和比较点，注意图中的引出点和比较点，注意图中的 上海大学机电工程与自动化学院上海大学机电工程与自动化学院上海大学机电工程与自动化学院信号流图的等效变换信号流图的等效变换MasonMason（梅逊）公式（梅逊）公式G( (s)-)-系统总传递函数；系统总传递函数；n- -前向通路的条数；前向通路的条数；Pk- -第第k条前向通路的总增益条前向通路的总增益; ;- -信号流图的特征式；信号流图的特征式；k- -第第k条前向通路的余子式。条前向通路的余子式。MasonMason（梅逊）公式（梅逊）公式：所有不同回路的回路增益之和；：所有不同回路的回路增益之和；：两两互不接触回路的回路增益乘积之和；：两两互不接触回路的回路增益乘积之和；：互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘：互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘 积之和；积之和；：把与第：把与第k条前向通路接触的回路去除，剩余回路构条前向通路接触的回路去除，剩余回路构 成的子特征式。成的子特征式。上海大学机电工程与自动化学院求图所示信号流图的总传递函数上海大学机电工程与自动化学院上海大学机电工程与自动化学院求图所示系统的闭环传递函数。解：前向通路有3个 某系统的信号流图 例上海大学机电工程与自动化学院4个单独回路互不接触上海大学机电工程与自动化学院上海大学机电工程与自动化学院上海大学机电工程与自动化学院作业：2-9、 2-11、 2-12