第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 时间响应及其组成时间响应及其组成 典型输入信号典型输入信号 一阶系统一阶系统 二阶系统二阶系统 系统误差分析与计算系统误差分析与计算 利用利用MATLABMATLAB分析时间响应分析时间响应习题：习题：3.1 3.5 3.10 3.14 3.16 3.211引言引言 在建立系统的数学模型（在建立系统的数学模型（微分方程微分方程与与传递函数传递函数）之）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性，析系统的特性，时间响应分析时间响应分析（也称之为：（也称之为：时域分析时域分析）是重要的方法之一。是重要的方法之一。 时域分析时域分析给系统施加一输入信号，通过研究系给系统施加一输入信号，通过研究系统的输出（响应）来评价系统的性能。统的输出（响应）来评价系统的性能。 如何评价一个系统性能的好坏，有一些动态和稳态如何评价一个系统性能的好坏，有一些动态和稳态的的性能指标性能指标可以参考。可以参考。23.1 时间响应及其组成时间响应及其组成例例1 1按照微分方程解的结构理论，这一非齐次常微分方程的解由两按照微分方程解的结构理论，这一非齐次常微分方程的解由两部分组成，即：部分组成，即：是与其对应的齐次微分方程的通解是与其对应的齐次微分方程的通解是其一个特解是其一个特解12333.1 时间响应及其组成时间响应及其组成式代入式代入 式得：式得：3把把1化简得：化简得：于是于是 式得完全解为：式得完全解为：14为了求得系数为了求得系数A,B现将上式对现将上式对t求导。求导。代入 式即可得到系数A、B。如下：45543.1 时间响应及其组成时间响应及其组成由输入引起由输入引起的自由响应的自由响应由输入引起由输入引起的强迫响应的强迫响应系统的初态为系统的初态为0，仅有输，仅有输入引起的响应。入引起的响应。由初始条件引起的由初始条件引起的自由响应自由响应5此方程的解为通解此方程的解为通解 （即自由响应）与特解（即自由响应）与特解 （即强（即强迫响应）所组成，即：迫响应）所组成，即：3.1 时间响应及其组成时间响应及其组成63.1时间响应及其组成时间响应及其组成这是因为：这是因为：在定义系统的传递函数时，由于已指明了系统的在定义系统的传递函数时，由于已指明了系统的初态为零，故取决于系统的初态的零输入响应为零。初态为零，故取决于系统的初态的零输入响应为零。73.1时间响应及其组成（时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应瞬态响应与稳态响应）83.1时间响应及其组成时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应瞬态响应与稳态响应）3.1时间响应及其组成时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应瞬态响应与稳态响应）93.1时间响应及其组成时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应瞬态响应与稳态响应）103.1时间响应及其组成时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应瞬态响应与稳态响应）113.1时间响应及其组成时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应瞬态响应与稳态响应）123.1时间响应及其组成时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应瞬态响应与稳态响应）133.2 典型输入信号典型输入信号 控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两大类，为了求解系统的时间响应必须了解系统输指标两大类，为了求解系统的时间响应必须了解系统输入信号（即外作用）的解析表达式（也就是入信号（即外作用）的解析表达式（也就是确定性信号确定性信号），然而，在一般情况下，控制系统的外加输入信号具），然而，在一般情况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定，因此需要选择若干确定性信有随机性而无法预先确定，因此需要选择若干确定性信号作为典型输入信号。号作为典型输入信号。 何谓确定性信号呢？何谓确定性信号呢？就是其变量和自变量之间的就是其变量和自变量之间的关系能够用某一确定性函数描述的信号。关系能够用某一确定性函数描述的信号。14典型输入信号典型输入信号 1. 1. 阶跃函数阶跃函数 式中式中,R为常数为常数,当当R 1时时,xi(t)=1(t)为单位阶跃函数，其为单位阶跃函数，其拉氏变换的表达式为：拉氏变换的表达式为：3.2 典型输入信号典型输入信号阶跃函数的时域表达式为阶跃函数的时域表达式为: 153.2 典型输入信号典型输入信号2. 斜坡函数斜坡函数( (等速度函数等速度函数) )斜坡函数,也称等速度函数(见图)，其时域表达式为 式式中中, , R为为常常数数。当当R1, xi(t)=t为为单单位位斜斜坡坡函函数数。其拉氏变换的表达式为：其拉氏变换的表达式为： 通过观察，我们可以发现通过观察，我们可以发现 因为因为dx(t)/dt=R, 所以阶所以阶跃函数为斜坡函数对时间的导数。跃函数为斜坡函数对时间的导数。163.2 典型输入信号典型输入信号3. 3. 抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数(见图)的时域表达式为 式式中中，R为为常常数数。当当R1时时, , xi(t)=t2/2为为单单位位加加速速度度函函数数。其拉氏变换的表达式为：其拉氏变换的表达式为：通过观察，我们可以发现通过观察，我们可以发现因为因为dxi(t)/dt=Rt, 所以斜坡所以斜坡函数为抛物线函数对时间的导数。函数为抛物线函数对时间的导数。173.2 典型输入信号典型输入信号4. 4. 脉冲函数脉冲函数脉冲函数脉冲函数(见图见图)的时域表达式为的时域表达式为 式中，式中，h称为脉冲宽度称为脉冲宽度, , 脉冲的面积为脉冲的面积为1。若对脉冲若对脉冲的宽度取趋于零的极限的宽度取趋于零的极限, , 则有则有 称此函数为单位脉冲函数称此函数为单位脉冲函数(见图见图) 。其拉氏变换的表达式为：其拉氏变换的表达式为： 183.2 典型输入信号典型输入信号5. 正弦函数正弦函数正弦函数正弦函数(如图所示）的时域表达式为如图所示）的时域表达式为 式中式中, , A为振幅为振幅, , 为角频率。为角频率。当当A1时，其拉氏变换的表达式为：时，其拉氏变换的表达式为： 6.随机信号随机信号193.3 一阶系统一阶系统一阶系统：能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一阶系统：能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。（也称为一阶系统的特征参数），表达了一阶系（也称为一阶系统的特征参数），表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性。统本身的与外界作用无关的固有特性。20 如果将该指数曲线衰减到初值的如果将该指数曲线衰减到初值的2（或（或5）之前的过程定义为）之前的过程定义为过渡过程，则可算得相应的时间为过渡过程，则可算得相应的时间为4T（或（或3T）。称此时间（）。称此时间（4T/3T）为过渡过程时间或调整时间，记为为过渡过程时间或调整时间，记为ts 。 由此可见，系统得时间常数由此可见，系统得时间常数T愈小，则过渡过程的持续时间愈短。愈小，则过渡过程的持续时间愈短。这表明系统的惯性愈小，系统对输入信号反应的快速性能愈好。这表明系统的惯性愈小，系统对输入信号反应的快速性能愈好。（注意，在实际应用时，理想的脉冲信号是不可能得到的。）（注意，在实际应用时，理想的脉冲信号是不可能得到的。）3.3 一阶系统一阶系统213.3 一阶系统一阶系统几点重要说明：几点重要说明： 1. 在这里有两个重要的点：在这里有两个重要的点：A点点与与0点（点（都与时间常数都与时间常数T有密切有密切的关系的关系）。 2. 系统的过渡过程时间系统的过渡过程时间ts 。 223.3 一阶系统一阶系统一阶系统一阶系统 G（s）的实验求法：的实验求法： 通过以上分析可知，若要求用实验方法求一阶系统的传递函数，通过以上分析可知，若要求用实验方法求一阶系统的传递函数， （1）我们就可以先对系统输入一单位阶跃信号，并测出它的响应）我们就可以先对系统输入一单位阶跃信号，并测出它的响应曲线。曲线。 （2）然后从响应曲线上找出）然后从响应曲线上找出0.632xou（）处所对应点的时间处所对应点的时间t。这个这个t就是系统的时间常数就是系统的时间常数T。 或通过找到或通过找到t0时时xou（t）的切线斜率，这个斜率的倒数也是系统）的切线斜率，这个斜率的倒数也是系统的时间常数的时间常数T。 （3） 再参考再参考 （一阶系统单位脉冲响应函数）（一阶系统单位脉冲响应函数） ，求出，求出w（t）。）。 （4）最后再结合）最后再结合G（s）Lw(t)，求得，求得G（s），即得到一阶系），即得到一阶系统的传递函数。统的传递函数。233.3 一阶系统一阶系统稳态分量稳态分量tT也是一个斜坡也是一个斜坡函数，与输入信号斜率相同，函数，与输入信号斜率相同，但在时间上但在时间上滞后滞后一个时间常一个时间常数数T。对于一阶系统的单位斜坡响应，对于一阶系统的单位斜坡响应， ，说明一阶系统单位斜坡响应，说明一阶系统单位斜坡响应在过渡过程结束后存在常值误在过渡过程结束后存在常值误差，其值等于时间常数差，其值等于时间常数T。（跟踪单位斜坡输入信号时，（跟踪单位斜坡输入信号时，稳态误差为稳态误差为T。）。）24 对比一阶系统的单位响应、单位阶跃响应和单位对比一阶系统的单位响应、单位阶跃响应和单位斜坡响应，可知道他们之间的关系为：斜坡响应，可知道他们之间的关系为：通过观察其输入信号也有同样的关系。通过观察其输入信号也有同样的关系。 因此，在此一并指出：因此，在此一并指出：一个输入信号导数的时域一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号时域响应的导数；响应等于该输入信号时域响应的导数；一个输入信号一个输入信号积分的时域响应等于该输入信号时域响应的积分积分的时域响应等于该输入信号时域响应的积分。 基于上述性质，对于线性定常系统，只需讨论一基于上述性质，对于线性定常系统，只需讨论一种典型信号的响应，就可以推知另一种信号。种典型信号的响应，就可以推知另一种信号。3.3 一阶系统一阶系统253.3 一阶系统一阶系统例例1：已知某线性定常系统的单位斜坡响应为：已知某线性定常系统的单位斜坡响应为：试求其单位阶跃响应和单位脉冲响应函数。试求其单位阶跃响应和单位脉冲响应函数。解：解：因为单位阶跃函数、单位脉冲函数分别为单位斜坡函数的一因为单位阶跃函数、单位脉冲函数分别为单位斜坡函数的一阶和二阶导数，阶和二阶导数，故系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应函数分别故系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应函数分别为单位斜坡响应的一阶和二阶导数为单位斜坡响应的一阶和二阶导数。即：即：单位阶跃响应为：单位阶跃响应为：单位脉冲响应为：单位脉冲响应为：263.3 一阶系统一阶系统例例2:2:一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调节时间节时间t ts s，如果要求，如果要求t ts s=0.1=0.1秒，试问系统的反馈系数应秒，试问系统的反馈系数应如何调整？如何调整？解：解：系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：这是一个典型一阶系统，调节时间这是一个典型一阶系统，调节时间t ts s=3T=0.3=3T=0.3秒。秒。若要求调节时间若要求调节时间t ts s=0.1=0.1秒，可设反馈系数为秒，可设反馈系数为，则系统的闭环传递，则系统的闭环传递函数为：函数为：0.1Xo(sXo(s) )Xi(sXi(s) )27例例3 3：已知某元部件的传递函数为：已知某元部件的传递函数为： ，KH- -Xo(s)Xo(s)Xi(s)Xi(s)K0解：解：原系统的调节时间为原系统的调节时间为引入负反馈后，系统的传递函数为：引入负反馈后，系统的传递函数为：若将调节时间减至原来的若将调节时间减至原来的0.10.1倍，但倍，但总放大系数保持不变，则：总放大系数保持不变，则：采用图示方法引入负反馈，将调节时间减至原来的采用图示方法引入负反馈，将调节时间减至原来的0.1倍，但总放倍，但总放大系数保持不变，试选择大系数保持不变，试选择KH、K0的值。的值。3.3 一阶系统一阶系统283.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 凡是以凡是以二阶微分方程二阶微分方程作为运动方程的控制系统：作为运动方程的控制系统：称之为二阶系统。称之为二阶系统。 一般控制系统均为高阶系统，但在一定准确度一般控制系统均为高阶系统，但在一定准确度条件下，可以忽略某些次要因素近似的用一个二阶条件下，可以忽略某些次要因素近似的用一个二阶系统来表示。系统来表示。 也就是说，在一定条件下，高阶系统一般也可也就是说，在一定条件下，高阶系统一般也可以近似用二阶系统的以近似用二阶系统的性能指标性能指标来表征。来表征。293.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 一、二阶系统的各种状态一、二阶系统的各种状态 典型的二阶系统结构图如图所示，它是一个由惯性典型的二阶系统结构图如图所示，它是一个由惯性环节和积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。环节和积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为: 令令则系统闭环传递函数化则系统闭环传递函数化为如下标准形式：为如下标准形式：式中，式中， 称为阻尼比称为阻尼比, n称为无阻尼自然振荡角频率。称为无阻尼自然振荡角频率。二阶系统结构图二阶系统结构图30因因此此，系系统统结结构构图图可可化简为如下图所示：化简为如下图所示： 所以所以, , 系统的两个特征根系统的两个特征根( (极点极点) )为为 二阶系统的特征方程为：二阶系统的特征方程为：二阶系统结构简图二阶系统结构简图随着阻尼比随着阻尼比 取值不同取值不同, , 二阶系统特征根二阶系统特征根( (极点极点) )也不相同。也不相同。 3.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 31是一对共轭复数根是一对共轭复数根, , 如图所示。如图所示。 1. 欠阻尼状态欠阻尼状态(0 1)当当0 1时时, 两特征根为两特征根为 3.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 二阶系统闭环极点分布二阶系统闭环极点分布 323.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 2. 临界阻尼状态临界阻尼状态( =1) 当当 =1时时, , 特征方程有两个特征方程有两个相同的负实根相同的负实根, , 即即 s1,2= -n如图所示。如图所示。 二阶系统闭环极点分布二阶系统闭环极点分布 333.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 为两个不同的负实根为两个不同的负实根, , 如图如图所示：所示： 3. 过阻尼状态过阻尼状态( 1)当当 1时时, , 两特征根为：两特征根为： 二阶系统闭环极点分布二阶系统闭环极点分布 34二阶系统闭环极点分布二阶系统闭环极点分布 3.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 如图所示如图所示: 4. 4. 无阻尼状态无阻尼状态( =0)当当 =0时时, , 特征方程有特征方程有一对一对共轭纯虚数根共轭纯虚数根, , 即即: : 353.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 记：记：称称 为二阶系统的有阻尼固有频率为二阶系统的有阻尼固有频率363.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 373.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 当当 取不同值，二阶欠取不同值，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应如阻尼系统的单位脉冲响应如图所示。图所示。 欠阻尼系统的单位脉冲欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正玹振荡响应曲线是减幅的正玹振荡曲线，且曲线，且 愈小，衰减愈慢，愈小，衰减愈慢，振荡频率振荡频率 愈大。故欠阻尼愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于其幅值衰减的快慢取决于 ,因为其因为其倒数倒数称为时间衰减常称为时间衰减常数，记为数，记为 。383.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 1393.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 由 式，有：1403.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 413.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 由图可知，当由图可知，当 1时，二阶系时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的特统的过渡过程具有单调上升的特性。性。 从过渡过程的持续时间来看，从过渡过程的持续时间来看，在在无振荡无振荡单调上升的曲线中，在单调上升的曲线中，在 1时的过渡时间时的过渡时间ts最短。最短。在在欠阻尼系统欠阻尼系统中，当中，当 0.40.8时，不仅其过渡过程时间比时，不仅其过渡过程时间比 1时的更短，而且振荡不太严重。时的更短，而且振荡不太严重。42 因此，一般希望二阶系统工作在因此，一般希望二阶系统工作在 0.40.8的欠阻尼状态，的欠阻尼状态，因为这个工作状态有一个因为这个工作状态有一个振荡特性适度振荡特性适度而且而且过渡过程过渡过程持续时间又较持续时间又较短。短。3.4 二阶系统二阶系统（时域分析）时域分析） 在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，通常选择二阶系统。这是因为二阶系统容易得到相比，通常选择二阶系统。这是因为二阶系统容易得到较短的过较短的过渡过程时间（渡过程时间（ts) )，并且也能同时满足对振荡性能的要求。，并且也能同时满足对振荡性能的要求。 而且而且决定过渡过程特性决定过渡过程特性的是的是瞬态瞬态 响应响应这部分。选择合适的过渡这部分。选择合适的过渡过程实际上是选择合适的瞬态响应，也就是选择合适的特征参数：过程实际上是选择合适的瞬态响应，也就是选择合适的特征参数：433.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 三、二阶系统响应的性能指标三、二阶系统响应的性能指标 稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态过程稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。收敛时，研究系统的动态性能才有意义。 在许多情况下，系统所需要的性能指标一般以时域量值的形在许多情况下，系统所需要的性能指标一般以时域量值的形式给出。式给出。 通常，系统的性能指标，根据系统对通常，系统的性能指标，根据系统对单位阶跃输入单位阶跃输入的响应给出的响应给出？（1）产生阶跃输入比较容易，而且从系统对单位阶跃输入的响产生阶跃输入比较容易，而且从系统对单位阶跃输入的响应也比较容易求得对任何输入的响应。应也比较容易求得对任何输入的响应。（2）一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态，如一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态，如果系统在阶跃函数的作用下的动态性能满足要求，那么系统在其果系统在阶跃函数的作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也令人满足。他形式的函数作用下，其动态性能也令人满足。443.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 注意：注意：因为完全无振荡的单调过程的过渡过程时间太长，所以因为完全无振荡的单调过程的过渡过程时间太长，所以除了那些不允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，除了那些不允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，其目的是为了获得较短的过渡过程时间。其目的是为了获得较短的过渡过程时间。 这就是在设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼这就是在设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼 0.40.8状状态下工作的原因。态下工作的原因。 下面我们就以欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的过渡过程为例来下面我们就以欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的过渡过程为例来讨论二阶系统的性能指标。讨论二阶系统的性能指标。453.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 为了说明欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程的特性，为了说明欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程的特性，通常是采用下列性能指标来表示。通常是采用下列性能指标来表示。稳态值（期望值）稳态值（期望值）463.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 阶跃响应曲线从零第一次上升到稳阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所需的时间为上升时间。态值所需的时间为上升时间。注：注：称称 为二阶系统的有阻尼固有频率为二阶系统的有阻尼固有频率473.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 响应曲线达到第一峰值所需的时响应曲线达到第一峰值所需的时间定义为峰值时间。间定义为峰值时间。注：注：称称 为二阶系统的有阻尼固有频率为二阶系统的有阻尼固有频率用用求导数求导数极值法求解。极值法求解。483.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 阶跃响应曲线的最大值阶跃响应曲线的最大值阶跃响应曲线的稳态值阶跃响应曲线的稳态值阻尼比阻尼比越大，系统的超调量越小，响应平稳；阻尼比越大，系统的超调量越小，响应平稳；阻尼比越小，系越小，系统的超调量越大，响应的平稳性越差统的超调量越大，响应的平稳性越差 证明？493.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 就是系统曲线在振荡衰减过程中，就是系统曲线在振荡衰减过程中，系统的振荡范围达到规定的振荡系统的振荡范围达到规定的振荡范围时（范围时（2， 5），第一个），第一个点对应的时刻。点对应的时刻。（过渡过程时间过渡过程时间）503.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 所以在具体设计时，通常都是根据对最大超调量所以在具体设计时，通常都是根据对最大超调量Mp的要求的要求来确定阻尼来确定阻尼 。 故，二阶系统的特征参数故，二阶系统的特征参数Wn和和 决定了系统的调整时间决定了系统的调整时间ts，和最大超调量和最大超调量Mp;反过来，根据对反过来，根据对ts和和Mp的要求，也能确定二阶系的要求，也能确定二阶系统的特征参数统的特征参数wn， 。所以调整时间所以调整时间ts主要是根据系统的主要是根据系统的Wn来确定的。来确定的。513.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 在过渡过程时间在过渡过程时间0t ts内，阶内，阶跃响应曲线穿越其稳态值的次数的跃响应曲线穿越其稳态值的次数的一半定义为振荡次数。一半定义为振荡次数。523.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 在上述动态性能指标中，在上述动态性能指标中，tr和和tp放映了系统的放映了系统的响应速度响应速度，Mp和和N放映了系统的放映了系统的运行平稳性和阻尼程度运行平稳性和阻尼程度，一般认为，一般认为ts能同时放映能同时放映响应速度和阻尼程度响应速度和阻尼程度。53具体来说：具体来说： 1）阻尼比）阻尼比越大，系统的超调量越小，响应平稳；阻尼比越大，系统的超调量越小，响应平稳；阻尼比越小，越小，系统的超调量越大，响应的平稳性越差；当系统的超调量越大，响应的平稳性越差；当=0时，系统的响应为：为时，系统的响应为：为频率为频率为n的等幅振荡，系统无法进入平衡工作状态，不能正常工作。的等幅振荡，系统无法进入平衡工作状态，不能正常工作。另外，在另外，在一定时，一定时，n越大，系统的振荡频率越大，系统的振荡频率d越大，响应的平稳性越大，响应的平稳性较差。较差。故故大，大，n小，系统响应的平稳性好小，系统响应的平稳性好。 3.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 2）调节时间）调节时间ts的计算公式为近似表达式，事实上，的计算公式为近似表达式，事实上，小小，系统响，系统响应时收敛速度慢，调节时间长，若应时收敛速度慢，调节时间长，若过大过大，系统响应迟钝，调节时间，系统响应迟钝，调节时间也较长。也较长。因此因此应取适当的数值，应取适当的数值，=0.707时的典型二阶系统称为最佳时的典型二阶系统称为最佳二阶系统，此时超调量为二阶系统，此时超调量为4.3%,调节时间为调节时间为3/n。54例例1 1：设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系：设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的传递函数。统的传递函数。解：解：根据题意根据题意3.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 553.4 二阶系统二阶系统（性能指标性能指标） 解解 二阶系统闭环传递函数：二阶系统闭环传递函数：因因0 0)解：解：偏差传递函数为：偏差传递函数为：闭环系统是闭环系统是稳定的稳定的（1）（2）（3）3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算(准确性准确性) 673.6 系统误差分析与计算（系统误差分析与计算（与输入有关的稳态偏差与输入有关的稳态偏差） 设控制系统的开环传递函数为：设控制系统的开环传递函数为：其中：其中：K称为系统的称为系统的开环增益开环增益， 为系统串联积分环节的个数为系统串联积分环节的个数。=0，系统称为，系统称为0型系统，型系统，=1，系统称为，系统称为1型系统，型系统， =2，系统称为，系统称为2型系统，型系统，3.6.3 与输入有关的稳态偏差与输入有关的稳态偏差68有有系统的稳态偏差为：系统的稳态偏差为：（1 1）单位阶跃信号单位阶跃信号作用下系统的稳态偏差：对于稳定的系统，可用作用下系统的稳态偏差：对于稳定的系统，可用终值定理来求。终值定理来求。3.6 3.6 系统误差分析与计算（系统误差分析与计算（与输入有关的稳态偏差与输入有关的稳态偏差） 令令系统静态位置偏差系数系统静态位置偏差系数69则系统的稳态偏差为：则系统的稳态偏差为：(2)单位斜坡信号单位斜坡信号作用下系统的稳态偏差：对于稳定的系统，可用作用下系统的稳态偏差：对于稳定的系统，可用 终值定理来求。终值定理来求。系统静态速度偏差系数系统静态速度偏差系数有有令令3.6 3.6 系统误差分析与计算（系统误差分析与计算（与输入有关的稳态偏差与输入有关的稳态偏差） 70系统静态加速度偏差系数系统静态加速度偏差系数有有则系统的稳态偏差为：则系统的稳态偏差为：（3）单位加速度信号单位加速度信号作用下系统的稳态偏差：对于稳定的系统，可作用下系统的稳态偏差：对于稳定的系统，可用终值定理来求。用终值定理来求。令令3.6 3.6 系统误差分析与计算（系统误差分析与计算（与输入有关的稳态偏差与输入有关的稳态偏差） 713.6 系统误差分析与计算（系统误差分析与计算（与输入有关的稳态偏差与输入有关的稳态偏差） 2.从表中可看出：从表中可看出：0型系统型系统 对于单位阶跃输入是有差系统对于单位阶跃输入是有差系统, 并且无法跟并且无法跟踪斜坡信号、加速度信号；踪斜坡信号、加速度信号； 1.系统型次越高，系统型次越高，稳态偏差越小；稳态偏差越小；开环增益越大，开环增益越大，稳态偏差越小。稳态偏差越小。型系统型系统由于含有一个积分环节由于含有一个积分环节, 所以对于单位阶跃输入是无差的所以对于单位阶跃输入是无差的, 但对单位斜坡输入是有差的但对单位斜坡输入是有差的,并且无法跟踪加速度信号并且无法跟踪加速度信号; 型系统型系统由于含有两个积分环节由于含有两个积分环节, 所以对于单位阶跃输入和单位斜坡所以对于单位阶跃输入和单位斜坡输入都是无差的输入都是无差的, 但对单位加速度信号是有差的。但对单位加速度信号是有差的。723.根据线性系统的叠加原理，可知当输入控制信号是上述典型信号的线性组根据线性系统的叠加原理，可知当输入控制信号是上述典型信号的线性组合时，当系统输入信号为：合时，当系统输入信号为：输出量的稳态误差应是他们分别作用时稳态误差之和，即：输出量的稳态误差应是他们分别作用时稳态误差之和，即：系统的稳态偏差为：系统的稳态偏差为：3.6 系统误差分析与计算（系统误差分析与计算（与输入有关的稳态偏差与输入有关的稳态偏差） 73例例 2： 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 试求系统输入分别为试求系统输入分别为1(t), 10t, 3t2时时, , 系统的稳态误差。系统的稳态误差。得开环放大倍数得开环放大倍数K=2.5，由于此系统为，由于此系统为型系统型系统。3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算归一化处理归一化处理解解 由由劳斯稳定判据劳斯稳定判据分析可知分析可知, 该系统是稳定的该系统是稳定的(这里从略这里从略)。 首先将系统开环传递函数化为：首先将系统开环传递函数化为：74根据根据表表3-1得，得，当当r(t)=1(t)时时, , 稳态误差稳态误差ess=0；3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算 当当r(t)=10t时时, 稳态误差：稳态误差：当当r(t)= 时，稳态误差时，稳态误差ess=。75例例 3： 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 求当系统作用求当系统作用斜坡函数斜坡函数输入时，输入时，系统的稳态误差系统的稳态误差ess0.01时的时的K K值。值。得开环放大倍数为：得开环放大倍数为：K/5，由于此系统为，由于此系统为型系统型系统。3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算解解 由由劳斯稳定判据劳斯稳定判据分析可知分析可知, 该系统是稳定的该系统是稳定的(这里从略这里从略)。由于系统是单位反馈系统，所以：由于系统是单位反馈系统，所以： 首先将系统开环传递函数化为：首先将系统开环传递函数化为：在斜坡函数输入时：在斜坡函数输入时：76例例4 已知两个系统分别如图已知两个系统分别如图 (a)、(b)所示。输入均为所示。输入均为r(t)=4+6t+3t2，试分别计算两个系统的稳态误差。，试分别计算两个系统的稳态误差。3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算 解解:要计算系统在输入要计算系统在输入 下系统的稳态误差，下系统的稳态误差，可分别计算系统在输入可分别计算系统在输入r1(t)=4、输入、输入r2(t)=6t、输入输入r3(t)= 下的稳态误差下的稳态误差ess1、 ess2、 ess3、然后让其相、然后让其相加。加。(a)(b)77注意：注意： 标准的标准的加速度信号为加速度信号为t2/2, , 所以本题中的所以本题中的3t2是标准输入的是标准输入的6倍倍。3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算78例例5 已知单位反馈系统的闭环传递函数为：已知单位反馈系统的闭环传递函数为：求斜坡函数输入和抛物线函数输入时的稳态误差。求斜坡函数输入和抛物线函数输入时的稳态误差。解：将系统化为单位反馈系统的标准形式：解：将系统化为单位反馈系统的标准形式：相同相同3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算P12479所以，该系为所以，该系为II型系统型系统，其静态偏差系数分别为：，其静态偏差系数分别为：单位斜坡信号输入的稳态偏差为：单位斜坡信号输入的稳态偏差为：单位抛物线信号输入时的稳态偏差为：单位抛物线信号输入时的稳态偏差为：3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算803.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算 有干扰时系统有干扰时系统误差误差：3.6.4 与干扰有关的稳态偏差与干扰有关的稳态偏差813.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算 有干扰的系统有干扰的系统偏差偏差：3.6.4 与干扰有关的稳态偏差与干扰有关的稳态偏差82E1(s)E(s)3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算 83系统稳态误差为系统稳态误差为例例6 6：系统的负载变换往往主要是系统的干扰。对于图示系统，系统的负载变换往往主要是系统的干扰。对于图示系统，若扰若扰动为单位阶跃函数时动为单位阶跃函数时,试求该扰动试求该扰动N(s)N(s)对系统输出和稳态误差的影响。对系统输出和稳态误差的影响。3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算 xi(s)X0(s)- -N(s)+解：当解：当Xi(s)=0,N(s)=0时，时，系统误差为84若扰动为单位阶跃函数时若扰动为单位阶跃函数时,则：则：对于积分环节的个数大于和等于对于积分环节的个数大于和等于1的系统，的系统， G(0)H(0)，扰扰动不影响稳态响应，稳态误差为动不影响稳态响应，稳态误差为0。3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算 可见，开环传递函数可见，开环传递函数G(0)H(0)越大，越大，由阶跃扰动引起的稳态误差就越小。由阶跃扰动引起的稳态误差就越小。85r(s)E(s)C(s)-N(s)n(t)=1(t)n(t)=1(t)时，稳态偏差为：时，稳态偏差为：系统总的稳态偏差为系统总的稳态偏差为例例7 7：对于图示系统，试求对于图示系统，试求r(t)=tr(t)=t，n(t)=1(t)n(t)=1(t)时系统的稳态偏差。时系统的稳态偏差。解：解：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：在在r(t)=tr(t)=t，稳态偏差稳态偏差 在在扰动信号扰动信号作用下的误差表达式为：作用下的误差表达式为：3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算 系统为系统为1型二阶系统，是型二阶系统，是稳定稳定的。的。86一一. .用用MATLABMATLAB求系统时间响应求系统时间响应 例例1 1 已知系统框图如图所示已知系统框图如图所示3.8 3.8 利用利用MATLABMATLAB分析时间响应分析时间响应 系统方框图系统方框图其中，其中， 试用试用MATLABMATLAB程序，求得系统的单位阶跃响应曲线。程序，求得系统的单位阶跃响应曲线。 通通过过MATLAB提提供供的的函函数数step( )和和impulse( ), 可可以以方方便便地地求求出出各各阶阶系系统统在在单单位位阶阶跃跃函函数数和和单单位位脉脉冲冲函函数数作作用用下下的的输输出出响响应应。lsim()用于对生成对任意输入的时间响应。用于对生成对任意输入的时间响应。 87clear allnum=7 7;den=conv(conv(1 0,1 3 ),1 4 5);g=tf(num,den);gg=feedback(g,1,-1);y,t,x=step(gg);plot(t,y);系统的单位阶跃响应曲线系统的单位阶跃响应曲线3.8 利用利用MATLAB分析时间响应分析时间响应 MATLAB程序：程序：P69conv：可以用来实现多项式之间的乘法运算可以用来实现多项式之间的乘法运算88例例2 系统传递函数系统传递函数求系统在时间常数求系统在时间常数 不同取值时的单位脉冲响应、单位阶跃响应不同取值时的单位脉冲响应、单位阶跃响应和任意输入响应。和任意输入响应。接下来的主要工作：接下来的主要工作：0， 0.0125、 0.025时，分别应用时，分别应用impulse函数和函数和step函数可得系统单位脉冲响应和系统单位阶跃响应。函数可得系统单位脉冲响应和系统单位阶跃响应。1其次对于任意输入，例如在正弦输入作用下，应用其次对于任意输入，例如在正弦输入作用下，应用lsim函数函数可求得可求得 0.025时系统的时间响应。时系统的时间响应。23.8 利用利用MATLAB分析时间响应分析时间响应 89clear all;t=0:0.01:0.8; %仿真时间区域的划分仿真时间区域的划分%三种三种tao值下的系统模型值下的系统模型nG=50;tao=0;dG=0.05 1+50*tao 50;G1=tf(nG,dG);tao=0.0125;dG=0.05 1+50*tao 50;G2=tf(nG,dG);tao=0.025;dG=0.05 1+50*tao 50;G3=tf(nG,dG)%系统脉冲，阶跃时间响应系统脉冲，阶跃时间响应y1,T=impulse(G1,t);y1a,T=step(G1,t);y2,T=impulse(G2,t);y2a,T=step(G2,t);y3,T=impulse(G3,t);y3a,T=step(G3,t);1MATLAB程序：3.8 利用利用MATLAB分析时间响应分析时间响应 90%生成图形生成图形subplot(121),plot(T,y1,-,T,y2,-.,T,y3,-)legend(tao=0,tao=0.0125,tao=0.025)%标注图例标注图例xlabel(t(sec),ylabel(x(t);grid on;%标签，并增加网格标签，并增加网格subplot(122),plot(T,y1a,-,T,y2a,-.,T,y3a,-)legend(tao=0,tao=0.0125,tao=0.025)grid on;xlabel(t(sec),ylabel(x(t);3.8 利用利用MATLAB分析时间响应分析时间响应 913.8 利用利用MATLAB分析时间响应分析时间响应 92clear all;% 仿真时间区段划分及其输入。仿真时间区段划分及其输入。t=0:0.01:1;u=sin(2*pi.*t);%求系统模型求系统模型tao=0.025;nG=50;dG=0.05 1+50*tao 50;G=tf(nG,dG);%求系统响应求系统响应y=lsim(G,u,t);%产生图形。产生图形。plot(t,u,-.,t,y,-,t,u-y,-.,linewidth,1)legend(u(t),xo(t),e(t)grid;xlabel(t(sec),ylabel(x(t);3.8 利用利用MATLAB分析时间响应分析时间响应 2求正弦函数的输入响应。求正弦函数的输入响应。933.8 利用利用MATLAB分析时间响应分析时间响应 94例例3 系统传递函数系统传递函数求系统在时间常数求系统在时间常数 不同取值时的单位阶跃响应不同取值时的单位阶跃响应性能指标性能指标。0， 0.0125、 0.025时，时，3.8 利用利用MATLAB分析时间响应分析时间响应 953.8 利用利用MATLAB分析时间响应分析时间响应 MATLAB程序如下：程序如下： close all; t=0:0.001:1; %设置仿真时间区段和误差限设置仿真时间区段和误差限 yss=1;dta=0.02; %计算三种时间常数下，系统的单位阶跃响应计算三种时间常数下，系统的单位阶跃响应 nG=50; tao=0; dG=0.05 1+50*tao 50;G1=tf(nG,dG); tao=0.0125; dG=0.05 1+50*tao 50;G2=tf(nG,dG); tao=0.025; dG=0.05 1+50*tao 50;G3=tf(nG,dG); y1=step(G1,t); y2=step(G2,t); y3=step(G3,t); r=1; while y1(r)1-dta & y1(s)1+dta;s=s-1;end ts1=(s-1)*0.001; r=1;while y2(r)1-dta &y3(s)1+dta;s=s-1;end ts2=(s-1)*0.001; r=1;while y3(r)1-dta & y3(s)1+dta;s=s-1;end ts3=(s-1)*0.001 tr1 tp1 mp1 ts1;tr2 tp2 mp2 ts2;tr3 tp3 mp3 ts3 %显示显示97ans = 0.0640 0.1050 0.3509 0.3530 0.0780 0.1160 0.1523 0.2500 0.1070 0.1410 0.0415 0.18803.8 利用利用MATLAB分析时间响应分析时间响应 运行的结果：运行的结果：98谢谢 谢谢 ！99