1.3 极限概念极限概念(limit(limit) 极限概念是微积分的基本概极限概念是微积分的基本概念。极限是一种非初等运算念。极限是一种非初等运算, ,也也是微积分学研究的基本工具是微积分学研究的基本工具. .后后面将要介绍的函数的连续性、面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概念，都是导数、积分等重要概念，都是以极限为基础的。以极限为基础的。极限是高等数学中的一种重要的研究方法。极限是高等数学中的一种重要的研究方法。大学数学 极限 极限是以发展的眼光分析事物极限是以发展的眼光分析事物(变量变量)的变化规律的变化规律,通过极限我们通过极限我们可以深入到函数的局部去了解函可以深入到函数的局部去了解函数数,并且体会如何在运动的过程并且体会如何在运动的过程中把握变化的事物中把握变化的事物,从而深化对从而深化对客观世界的认识。客观世界的认识。1.3.1 数列的极限数列的极限(limit of sequence)数列的定义：数列的定义：大学数学 极限 按照一定规律有次序排列的无按照一定规律有次序排列的无穷多个数称为穷多个数称为数列数列。记作记作称为称为通项通项( (一般项一般项) .) .大学数学 极限 数列的极限数列的极限 数列极限的定义，请同学们回忆一下。数列极限的定义，请同学们回忆一下。 中国古代的极限思想：中国古代的极限思想：“一尺之椎，日取其半，万世不竭。一尺之椎，日取其半，万世不竭。”考察当考察当n+时，通项时，通项xn的变化趋势。的变化趋势。数列极限的实质：数列极限的实质：大学数学 极限例例如如,趋势不定趋势不定大学数学 极限数列数列数列当项数数列当项数n无限变大时无限变大时的极限定义：的极限定义：数列的各项数列的各项数值向一个数值向一个常数常数无限靠近，无限靠近，则称常数则称常数为该数列的极限。为该数列的极限。记作记作或或大学数学 极限 如果一个数列的极限存在如果一个数列的极限存在, ,则称该则称该数列是数列是收敛收敛(converge)(converge)； 如果一个数列的极限不存在如果一个数列的极限不存在, ,则称该则称该数列是数列是发散发散(diverge)(diverge)。大学数学 极限常数常数 0 称为此数列的极限称为此数列的极限记作：记作：大学数学 极限例如例如,收收 敛敛大学数学 极限趋势不定趋势不定发发 散散大学数学 极限记作：记作：大学数学 极限例例1.1. 已知已知证明证明证证: :大学数学 极限时，时，可以无限变小可以无限变小故故大学数学 极限函数函数随着自变量的变化而变化随着自变量的变化而变化,研究研究函数的极限函数的极限,就是研究当自变量就是研究当自变量按照某种按照某种方式变化时所对应的方式变化时所对应的1.3.21.3.2函数的极限函数的极限(limit of function)函数值的变化趋势。函数值的变化趋势。大学数学 极限二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种自变量变化过程的六种形式形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 : :大学数学 极限1. 时时,函数函数f(x)的极限的极限大学数学 极限定定义义：设设函函数数y=f(x)在在 x大大于于某某个个正正数数a时时有有定定义义,A是是某某确确定定常常数数,如如果果当当自自变变量量x 趋趋于于 时时，f(x)与与A的的距距离离任任意意小小,则则称称函函数数f(x)在在 时时以以A为极限，为极限，1. 时时,函数函数f(x)的极限的极限记为记为大学数学 极限指数函数指数函数大学数学 极限如如大学数学 极限例如例如. 同理同理: :大学数学 极限正弦函数正弦函数大学数学 极限余弦函数余弦函数大学数学 极限对数函数对数函数大学数学 极限大学数学 极限2.时时,函数函数f(x)的极限的极限大学数学 极限定定义义：设设函函数数y=f(x)在在点点x0的的某某空空心心邻邻域域内内有有定定义义，A是是某某确确定定常常数数，如如果果当当自自变变量量x趋趋近近于于x0时时，f(x)与与A的的距距离离任任意意小小,则则称称函函数数f(x)在在x趋趋于于x0时时以以A为极限，为极限，2.时时,函数函数f(x)的极限的极限记为记为大学数学 极限大学数学 极限正弦函数正弦函数大学数学 极限余弦函数余弦函数大学数学 极限 可以证明：可以证明：以下的极限均成立以下的极限均成立大学数学 极限3.3.单侧极限单侧极限- - 左极限与右极限左极限与右极限大学数学 极限左极限左极限 :如果当如果当 从从的的左侧无限趋近左侧无限趋近时时,记着记着函数函数f(x)无限趋近于一个确定的常无限趋近于一个确定的常数数A, 则称则称A为函数为函数f(x)当当时的左极限。记作时的左极限。记作大学数学 极限类似可定义类似可定义右极限右极限 :函数的左极限和右极限函数的左极限和右极限统称为单侧极限。统称为单侧极限。大学数学 极限对数函数对数函数大学数学 极限例如：例如：大学数学 极限定理定理1.11.1：当当 时时, ,函数函数 极限存在的极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，充要条件是左、右极限存在且相等，即即大学数学 极限例例6. 设函数设函数讨论讨论 时时的极限是否存在的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 因为因为大学数学 极限显然显然所以所以不存在不存在 .大学数学 极限例例7 7 问问a a为何值时为何值时, ,所给函数所给函数x x=2=2处极限处极限存在。存在。解解：左极限左极限右极限右极限大学数学 极限欲函数在欲函数在x x=2=2处极限存在，必须左极限处极限存在，必须左极限等于右极限，等于右极限，即即a=a=8 8大学数学 极限思考：思考：1)1)研研究究函函数数极极限限时时, ,是是否否要要考考虑虑f f( (x x) )在在x x= =x x0 0时的性态？为什么？时的性态？为什么？2)2)若若f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)都都存存在在, ,当当x x趋趋于于x x0 0时时, ,f f( (x x) )的极限存在吗？的极限存在吗？3)3)如如何何利利用用f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)来来判判断断当当x x趋于趋于x x0 0 时时, ,f f( (x x) )的极限不存在？的极限不存在？大学数学 极限4)4)若极限若极限是否一定有是否一定有？大学数学 极限常用的极限结果：常用的极限结果：大学数学 极限极限不存在的有：极限不存在的有：大学数学 极限练习：练习：设设求：求：大学数学 极限作业作业NO.13:(3) 分析分析 的复合结构的复合结构.解解:由由复合而成的复合而成的.大学数学 极限作业作业NO.13:(4) 分析分析 的复合结构的复合结构.解解:由由复合而成的复合而成的.大学数学 极限NO14. 解：解：左极限左极限右极限右极限大学数学 极限NO18. 设函数设函数解解: 大学数学 极限此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！感谢你的支持，我们会努力做得更好！