HOHAI UNIVERSITYCh9 Ch9 弯曲内力弯曲内力9-1 概概 述述外力特点：垂直于杆轴线外力，或作用在包含轴线平面内的外力偶。外力特点：垂直于杆轴线外力，或作用在包含轴线平面内的外力偶。变形特点：杆的轴线弯成曲线，且杆的横截面相对转动一角度。变形特点：杆的轴线弯成曲线，且杆的横截面相对转动一角度。Fq(x)Me纵向对称面纵向对称面2021/7/11HOHAI UNIVERSITY以弯曲变形为主要变形的杆件称为以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁梁。工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此面内，工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此面内，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生平面弯平面弯曲曲。平面弯曲是杆件的一种基本变形。平面弯曲是杆件的一种基本变形。Fq(x)Me2021/7/12HOHAI UNIVERSITY按梁的支承情况，梁有三种基本形式。按梁的支承情况，梁有三种基本形式。梁的分类：梁的分类：1.1.简支梁：简支梁：一端为固定铰支座，另一端为一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁。可动铰支座的梁。2.2.外伸梁：外伸梁：简支但一端或两端具有外伸部简支但一端或两端具有外伸部分的梁。分的梁。3.3.悬臂梁：悬臂梁：一端固定，另一端为自由的梁。一端固定，另一端为自由的梁。静定梁：静定梁：可由静力可由静力平衡方程平衡方程求出所有求出所有支座反力支座反力的梁。的梁。超静定梁：仅用静力平衡方程不能求出全部支座反力的梁。超静定梁：仅用静力平衡方程不能求出全部支座反力的梁。梁两支座间的距离称为跨度，其长度称为梁两支座间的距离称为跨度，其长度称为跨长跨长。2021/7/13HOHAI UNIVERSITYABqF1F2F1F2ABABq(x)ABqCF16.52021/7/14HOHAI UNIVERSITY9-2 弯曲内力弯曲内力1.1.剪力用剪力用FQ表示表示, ,单位单位N, kN。 弯矩用弯矩用M表示表示, ,单位单位Nm, kNm。 2.2.符号规定符号规定: :剪力剪力: :作用于横截面上的剪力使研究对象有作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转顺时针转动趋势动趋势的为正的为正, ,反之为负。反之为负。FQFQFQFQ+ +- -剪力和弯矩剪力和弯矩2021/7/15HOHAI UNIVERSITY弯矩弯矩: :作用于横截面上的弯矩使研究对象产生作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸下凸趋势趋势的为正的为正, ,反之为负。反之为负。MMMM+ +- -2021/7/16HOHAI UNIVERSITYAF1FRAammxxMFQycABF1F2ammx 1)1). 梁上任一横截面梁上任一横截面上的剪力，在数值上上的剪力，在数值上等于该截面一侧所有等于该截面一侧所有外力沿横截面方向投外力沿横截面方向投影的代数和。影的代数和。2)2). 梁上任一横截梁上任一横截面上的弯矩，在数面上的弯矩，在数值上等于该截面一值上等于该截面一侧所有外力对该截侧所有外力对该截面形心力矩的代数面形心力矩的代数和。和。截面法截面法2021/7/17HOHAI UNIVERSITY剪力剪力: :作用于横截面上的剪力使研究对象有作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转动趋势顺时针转动趋势的为的为正正, ,反之为负。反之为负。FQFQFQFQ+ +- -弯矩弯矩: :作用于横截面上的弯矩使研究对象产生作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸趋势下凸趋势的为的为正正, ,反之为负。反之为负。MMMM+ +- -2021/7/18HOHAI UNIVERSITY例例1 1 求解图示梁指定截面的内力。求解图示梁指定截面的内力。2mABq = 2kN/m1m1m112233xy解：解：1.1.求支座反力求支座反力MAFAy2.2.求截面内力求截面内力2021/7/19HOHAI UNIVERSITYA11xMAFAyA11xMAFAy22解：解： 1.1.求支座反力求支座反力2.2.求截面内力求截面内力1-11-1截面截面2-22-2截面截面3-33-3截面截面M1FQ1M2FQ2M3FQ3A11xMAFAy2233q = 2kN/m此题可否不求解约束力此题可否不求解约束力? ?2021/7/110HOHAI UNIVERSITY例例2 2 求解图示梁指定截面的内力。求解图示梁指定截面的内力。ABF3311225544M = 4Faaaa解：解：1.1.求支座反力求支座反力2.2.求截面内力求截面内力2021/7/111HOHAI UNIVERSITYABlFabCq作业题：作业题： 求求A A截面右侧、截面右侧、C C截面左侧和右侧的内力。截面左侧和右侧的内力。第十七次课结束处2021/7/112HOHAI UNIVERSITY5-3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图FQ=FQ(x) 剪力方程剪力方程 以平行于梁轴线的坐标轴为以平行于梁轴线的坐标轴为x轴轴, ,表示横截面的位置；以表示横截面的位置；以垂直于梁轴线的坐标轴为垂直于梁轴线的坐标轴为FQ轴或轴或M轴轴, ,FQ以向上为正以向上为正，M以向以向下为正下为正，画出的图形称为剪力图或弯矩图。，画出的图形称为剪力图或弯矩图。M=M(x) 弯矩方程弯矩方程将各截面的剪力和弯矩表示为截面位置的函数将各截面的剪力和弯矩表示为截面位置的函数二、剪力图和弯矩图：二、剪力图和弯矩图：一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程2021/7/113HOHAI UNIVERSITY例例3 3简支梁受均布荷载作用，如图所示。试列出剪力方程简支梁受均布荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。ABqlx解：解：1.1.求支座反力求支座反力2.2.列剪力方程、弯矩方程列剪力方程、弯矩方程FAyFRBx截面截面2021/7/114HOHAI UNIVERSITY3.3.画剪力图、弯矩图画剪力图、弯矩图ABqlxFQ+xM+2021/7/115HOHAI UNIVERSITY例例4 4 一简支梁受集中荷载作用，如图所示。试列出剪力方一简支梁受集中荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。ABlxFabC解：解：1.1.求支座反力求支座反力2.2.列剪力方程、弯矩方程列剪力方程、弯矩方程FAyFRB3.3.画剪力图、弯矩图画剪力图、弯矩图2021/7/116HOHAI UNIVERSITYxFQxMABlFabC+2021/7/117HOHAI UNIVERSITY例例5 5 一简支梁受均布荷载及集中荷载作用，如图所示。试一简支梁受均布荷载及集中荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。ABlxFabCq2021/7/118HOHAI UNIVERSITY例例6 6 一简支梁受集中力偶作用，如图所示。试列出剪力方一简支梁受集中力偶作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。ABMablxC分段点：集中力、集中力偶、分布荷载起止，剪力方程、弯分段点：集中力、集中力偶、分布荷载起止，剪力方程、弯矩方程要分段；剪力图、弯矩图有突变，为控制截面处。由矩方程要分段；剪力图、弯矩图有突变，为控制截面处。由此可见剪力图、弯矩图与荷载图之间存在一定的关系。此可见剪力图、弯矩图与荷载图之间存在一定的关系。17.52021/7/119HOHAI UNIVERSITYABq(x)Fx9-4 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系设一段梁受力如图设一段梁受力如图x处取微段处取微段dx，微段受力如图，微段受力如图由该微段的平衡方程由该微段的平衡方程Fiy=0 即即FQ(x)-FQ(x)+dFQ(x) +q(x)dx=0dxxq(x)dxM(x)FQ(x)M (x) +dM (x)FQ (x) +dFQ (x)C2021/7/120HOHAI UNIVERSITYdFQ(x)dx=q(x)得得dFQ(x)=q(x)dxM(x)FQ(x)M (x) +dM (x)FQ (x) +dFQ (x)q(x)dxCMC=0M(x)+FQ(x)dx-M(x)+dM(x)+q(x)dx =0dx2 2dM(x)dx=FQ(x)得得dM(x)=FQ(x)dx d2M(x)dx2=q(x)从而从而2021/7/121HOHAI UNIVERSITY1. q(x)=0讨论：讨论：该梁段内该梁段内FQ(x)=常数常数。故剪力图是平行于。故剪力图是平行于x轴的直线；轴的直线；弯矩是弯矩是x的一次函数的一次函数，弯矩图是斜直线。，弯矩图是斜直线。2. q(x)=常数常数该梁段内该梁段内FQ(x)为线性函数为线性函数。故剪力图是斜直线；。故剪力图是斜直线；弯矩是弯矩是x的二次函数的二次函数，弯矩图是二次抛物线。，弯矩图是二次抛物线。剪力为正，弯矩图向下倾斜；剪力为负，弯矩图向上倾斜。剪力为正，弯矩图向下倾斜；剪力为负，弯矩图向上倾斜。q(x)为正，剪力图向上倾斜，弯矩图为上凸曲线；为正，剪力图向上倾斜，弯矩图为上凸曲线；q(x)为负，剪力图为负，剪力图向下倾斜，弯矩图为下凸曲线。向下倾斜，弯矩图为下凸曲线。2021/7/122HOHAI UNIVERSITY例例7 7 作如图所示外伸梁的剪力图和弯矩图。作如图所示外伸梁的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求支座反力求支座反力2. 2. 画剪力图、弯矩图画剪力图、弯矩图FAyFRB找控制截面，找控制截面，计算控制截面计算控制截面上剪力、弯矩上剪力、弯矩1 11 12 22 23 33 34 44 45 55 56 66 62021/7/123HOHAI UNIVERSITYFAyFRB1 11 12 22 23 33 34 44 45 55 56 66 6FQ7272888860602020(kN)M(kNm)8080113.6113.63.6m+14414416162021/7/124HOHAI UNIVERSITYFAyFRB1 11 12 22 23 33 34 44 45 55 56 66 6FQ7272888860602020(kN)M(kNm)8080113.6113.63.6m+1441441616q(x)=0剪力图是平行于剪力图是平行于x轴的直线；轴的直线；弯矩图是斜直线。弯矩图是斜直线。q(x)=常数常数剪力图是斜直线；剪力图是斜直线；弯矩图是二次抛物线。弯矩图是二次抛物线。第十八次课结束处2021/7/125HOHAI UNIVERSITY例例8 8 作如图所示联合梁的剪力图和弯矩图。作如图所示联合梁的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求支座反力求支座反力2. 2. 画剪力图、弯矩图画剪力图、弯矩图找控制截面，找控制截面，计算控制截面计算控制截面上剪力、弯矩上剪力、弯矩MCFRAFCy1 11 12 22 23 33 34 44 42021/7/126HOHAI UNIVERSITYFQ(kN)404080801010240240M(kNm)10107575+2021/7/127HOHAI UNIVERSITY9-5 按按叠加原理作弯矩图叠加原理作弯矩图故可先分别画出各个荷载单独作用的弯矩图，然后将各图对应故可先分别画出各个荷载单独作用的弯矩图，然后将各图对应处的纵坐标叠加，得所有荷载共同作用的弯矩图。处的纵坐标叠加，得所有荷载共同作用的弯矩图。 这是一个普遍性的原理，即这是一个普遍性的原理，即叠加原理叠加原理；凡是作用因素（如荷；凡是作用因素（如荷载，温度等）和所引起的结果（支座反力、内力、应力、变载，温度等）和所引起的结果（支座反力、内力、应力、变形等）之间成形等）之间成线性关系线性关系，叠加原理都适用。，叠加原理都适用。当梁在荷载作用下为微小变形时，梁的支座反力、剪力和弯当梁在荷载作用下为微小变形时，梁的支座反力、剪力和弯矩与梁上荷载成线性关系。这时，在多个荷载作用下，梁的矩与梁上荷载成线性关系。这时，在多个荷载作用下，梁的弯矩为各个荷载单独作用时的弯矩的代数和。弯矩为各个荷载单独作用时的弯矩的代数和。2021/7/128HOHAI UNIVERSITYABqlMe=1/8ql 2ABqlABlMe=1/8ql 2+ql 2/8Mql 2/8M如图如图如图如图按按叠加原理作其弯矩图叠加原理作其弯矩图2021/7/129HOHAI UNIVERSITYABqlMe=1/8ql 2+ql 2/8MMe单独作用下单独作用下弯矩图弯矩图q单独作用下单独作用下弯矩图弯矩图ql 2/8M-Mql 2/8共同作用下共同作用下弯矩图弯矩图-+ql 2/162021/7/130HOHAI UNIVERSITY 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！