第四节两类问题: 在收敛域内和函数求 和展 开本节本节内容内容:一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 其中( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有 :为f (x) 的泰勒级数泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题 :若函数的某邻域内具有任意阶导数, 定理定理1 .各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证明证明:令设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有定理定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然结论成立 .二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开例例. 将函数展开成 x 的幂级数. 解解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 例例. 将展开成 x 的幂级数.解解: 得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足42246420246泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近的几何表示的几何表示42246420246泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近的几何表示的几何表示类似可推出:例例. 将函数展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 . 解解: 易求出 于是得 级数由于级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 推导推导则为避免研究余项 , 设此级数的和函数为称为二项展开式二项展开式 .说明：说明：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理二项式定理.由此得 对应的二项展开式分别为2. 间接展开法间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 因为把 x 换成, 得将所给函数展开成 幂级数. 例例. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛例例. 将展成解解: 的幂级数. 例例. 将展成 x1 的幂级数. 解解: 例例: 求数项级数 的和解解:由于知故 所求的和为2e内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式式的函数 .当 m = 1 时思考与练习思考与练习1. 函数处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级数” 有何不同 ?提示提示: 后者必需证明前者无此要求.2. 如何求的幂级数 ?提示提示:例例. 将在x = 0处展为幂级数.解解:因此例例将 展开成 x 的幂级数解解:x1 时, 此级数条件收敛,因此