目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 极限运算法则目录 上页 下页 返回 结束 当一、无穷小运算法则一、无穷小运算法则1 1、 无穷小无穷小定义定义1 . 若时 , 函数则称函数例如 :函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小无穷小 .时为无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 时 , 函数(或 )则称函数为定义定义1. 若(或 )则时的无穷小无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为时的无穷小量 . 定理定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的重要性质n有界量与无穷小量的乘积是无穷小；有界量与无穷小量的乘积是无穷小；n有限多个无穷小量的和是无穷小；有限多个无穷小量的和是无穷小；n常数与无穷小量的乘积是无穷小；常数与无穷小量的乘积是无穷小；n有限多个无穷小量的乘积也是无穷小。有限多个无穷小量的乘积也是无穷小。目录 上页 下页 返回 结束 2、 无穷大无穷大定义定义2 . 若任给任给 M 0 ,一切满足不等式的 x , 总有则称函数当时为无穷大, 使对若在定义中将 式改为则记作(正数正数 X ) ,记作总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数当但所以时 ,不是无穷大 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例 . 证明证证: 任给正数 M ,要使即只要取则对满足的一切 x , 有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线 .渐近线说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 3、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则则有定理定理3 . 若B0时，目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 定理 可推广到有限个函数加减与乘的情形 .推论推论 1 .( C 为常数 )推论推论 2 .( n 为正整数 )且定理定理4 .4 .若目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5 5 . . 若则有提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 直接得出结论 .目录 上页 下页 返回 结束 极限的四则运算基本运算见教材P45：例1，例2 设 n 次多项式试证设有分式函数其中都是多项式 ,试证: 若说明说明: 若不能直接用商的运算法则 .目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )( 如如 P47 例例5 )( 如如 P47 例例6 )( 如如 P47 例例7 )目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则说明：在定理说明：在定理6的条件下，求复合函数的极限时，函数符的条件下，求复合函数的极限时，函数符号与极限符号可以交换次序。号与极限符号可以交换次序。定理定理6 6目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小无穷大运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 要求分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子、分子有理化时 , 分子分母同除最高次幂“ 抓大头”(2) 复合函数极限求法