第二章第二章 极限与连续极限与连续1.数列数列若存在正数若存在正数M,对所有的对所有的n都满足都满足 ,则称数列则称数列为为有界数列有界数列,否则称为否则称为无界数列无界数列.2.1.1 数列的极限数列的极限极限概念极限概念“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：播放播放刘徽刘徽2.概念的引入概念的引入正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积播放播放3.数列极限的定义数列极限的定义通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:例例1: 观察下列数列的变化趋势观察下列数列的变化趋势发散的情况发散的情况:不确定不确定(1)收敛数列的极限必唯一收敛数列的极限必唯一.(极限的唯一性极限的唯一性)(2)有极限的数列是有界数列有极限的数列是有界数列.(有界性有界性)4.收敛数列的性质收敛数列的性质例例2: 求下列数列的极限求下列数列的极限2.1.2 函数的极限函数的极限x的变化趋势有的变化趋势有:播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:定义：定义：例例:二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限定义：定义：3.单侧极限单侧极限:例如例如,左极限左极限右极限右极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例证证例例3： 观察下列函数的变化趋势观察下列函数的变化趋势1;0例例5： 求下列极限求下列极限10三、小结三、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义