3.2等差数列知识诠释思维发散一、等差数列的概念若数列an从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则数列an叫等差数列.这个常数叫等差数列的公差,常用字母d表示,定义的数学表达式为an+1-an=d(nN+).二、等差数列的通项公式公式:an=a1+(n-1)d,推广:an=am+(n-m)d,变式:a1=an-(n-1)d,d=.三、等差中项若a、b、c成等差数列,则b称为a与c的等差中项,且b=,a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.四、等差数列的前n项和SnSn=na1+d=nan-(n-1)nd,变式:=a1+(n-1)=an+(n-1)(-).五、等差数列的性质1.若m、n、p、qN+,且m+n=p+q,则对于等差数列有等式am+an=ap+aq;2.序号成等差数列的项依原序构成的数列,则新数列成等差数列;3.Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列;4.也是一个等差数列;5.在等差数列an中,若项数为2n,则S偶-S奇=nd;若项数为2n-1,则S奇=nan,S偶=(n-1)an;6.等差数列的增减性:d0时为递增数列,且当a10时,前n项和Sn有最小值;d0时,前n项和Sn有最大值.1.已知数列an中,an+1=an+且a1=2,则a2013等于()(A)1005.(B)1006.(C)1007.(D)1008.【解析】由题意知,an+1-an=,an是等差数列,a2013=2+(2013-1)=1008.【答案】D2.已知等差数列的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8=.【解析】由已知可知a4+a5=18,S8=4(a4+a5)=72.【答案】723.已知等差数列an中,a2=6,a5=15,若bn=a3n,则数列bn的前9项和等于.【解析】由所以an=3+3(n-1)=3n,bn=a3n=9n,数列bn的前9项和为S9=9=405.【答案】405核心突围技能聚合题型1五个基本量的有关计算例1(1)等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于()(A)1.(B)2.(C)3.(D).(2)等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是()(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和Sn的公式,找到a1,an,d,Sn,n五个量之间的关系,合理利用公式,有效快速地解方程.【解析】(1)由题意知解得d=2.(2)因为=,=,又=7+,只有n-2=1,3,11,33时,才为正整数.所以命题成立的n有4个.【答案】(1)B(2)B【点评】有关等差数列的计算问题常涉及五个元素:首项a1、公差d、通项an、项数n、前n项和Sn,其中a1和d是确定等差数列的两个基本元素,只要把它们求出,其余的元素便可以求出,但有时单一的用方程的思想解题,所需的运算量大且运算繁琐,所以,解题时应具体分析题意,寻求较简捷的方法,从而起到事半功倍的效果.变式训练1(1)下列命题中正确的是()(A)若a、b、c是等差数列,则a2、b2、c2是等差数列.(B)若a、b、c是等差数列,则log2a、log2b、log2c是等差数列.(C)若a、b、c是等差数列,则a+2、b+2、c+2是等差数列.(D)若a、b、c是等差数列,则2a、2b、2c是等差数列.(2)已知数列an为等差数列,Sn为其前n项和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,则k=.【解析】(1)a、b、c是等差数列,2b=a+c,(a+2)+(c+2)=(a+c)+4=2b+4=2(b+2),a+2,b+2,c+2成等差数列.(2)a7-a5=2d=4,d=2,a1=a11-10d=21-20=1,Sk=k+2=k2=9,又kN+,故k=3.【答案】(1)C(2)3题型2等差数列性质的应用例2(1)在等差数列an中,a6=a3+a8,则S9等于()(A)0.(B)1.(C)-1.(D)以上都不对.(2)已知某等差数列an共有2n+1项,=,则该等差数列的项数为.【分析】(1)由等差数列的性质可知,a5+a6=a3+a8成立,可得a5,由S9=9a5可得.(2)由于等差数列前n项和Sn与数列的中间项(若中间两项)有着联系,从而找到题目的突破口.【解析】(1)a3+a8=a5+a6=a6,a5=0,S9=9a5=0.(2)=,n=3,数列共有7项.【答案】(1)A(2)7【点评】“巧用性质,减少运算量”在等差数列的计算中非常的重要,利用等差数列的性质解题,一定要从等差数列的本质特征入手,去思考、分析题意,才能做到事半功倍.变式训练2(1)在等差数列an中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为()(A)4.(B)6.(C)8.(D)10.(2)等差数列an中,Sn是其前n项和,a1=-2013,-=2,则S2013的值为.【解析】(1)若m,n,p,qN+且m+n=p+q,则am+an=ap+aq可知a2+a10=a4+a8=2a6,a6=16,a7-a8=a6=8.(2)由=a1+(n-1),可知是等差数列.- =a1+(2014-1)-a1-(2012-1)=d=2,=-2013+(2013-1)=-1,S2013=-2013.【答案】(1)C(2)-2013题型3等差数列的判定或证明例3将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,构成的数列为bn,b1=a1=1,Sn为数列bn的前n项和,且满足=1(n2).证明:数列成等差数列,并求数列bn的通项公式.【分析】会通过所给递推式求出bn的通项,则可解决.【解析】由已知,当n2时,=1,又Sn=b1+b2+bn,所以=1,即=1,所以-=,又S1=b1=a1=1,所以数列是首项为1,公差为的等差数列.由上可知=1+(n-1)=,即Sn=.所以当n2时,bn=Sn-Sn-1=-=- ,因此bn=【点评】数表问题的处理方法是比较灵活的,要注意积累方法.变式训练3在数列an中,a1=1,an+1=2an+2n.设bn=,证明:数列bn是等差数列.【解析】an+1=2an+2n,=+1,-=1,由等差数列的定义可知,数列是以1为首项,以1为公差的等差数列,即数列bn是等差数列.题型4等差数列前n项和Sn的最值例4(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-15,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于()(A)5.(B)7.(C)5或6.(D)6或7.(2)在等差数列an中,设Sn为其前n项和,已知=,则等于()(A).(B).(C).(D).【分析】利用等差数列的函数特征可知,等差数列为单调数列,关键要由公差的正负来决定.或由等差数列的前n项和Sn的二次函数特性可知.【解析】(1)设该数列的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=2(-15)+8d=-6,解得d=3,令an=-15+3(n-1)0得n6,故选C.(2)设等差数列an的公差为d,=,=,解得d=-2a1,=.【答案】(1)C(2)A【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用,考查二次函数最值的求法及计算能力.变式训练4(1)若an是等差数列,首项a10,a2012+a20130,a2012a20130成立的最大的自然数n是()(A)4023.(B)4024.(C)4025.(D)4026.(2)设an(nN+)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8,则下列结论错误的是()(A)dS5.(D)S6与S7均为Sn的最大值.【解析】(1)由等差数列的一次函数特性可知,等差数列是单调数列,由已知可知,a20120,a20130,S4025=4025a20130成立的最大的自然数n是4024.(2)由S5S6得a1+a2+a50.又S6=S7,a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7,a7=0.由S7S8,得a8S5,即a6+a7+a8+a902(a7+a8)0.由题设a7=0,a80时,20-(n-1)0,得n13,当n=12时,Sn最大,S12=1220+(-)=130.当n=12时,Sn有最大值S12=130.【错解二】由a1=20,S10=S15解得公差d=-,解得12n0是不正确的,事实上应解an0,an+10.错解二中仅解an+10也是不正确的,应该也有an0.【正解】由a1=20,S10=S15解得公差d=-,S10=S15,S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=0.a11+a15=a12+a14=2a13,a13=0.公差d0,a1,a2,a11,a12均为正数,而a14及以后各项均为负数,当n=12或n=13时,Sn有最大值S12=S13=130.一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)基础角度思路1.(基础再现)已知等差数列bn中,b27=56,bm=32,公差d=4,则m的值是()(A)21.(B)22.(C)23.(D)24.【解析】b27-bm=(27-m)d,56-32=4(27-m),27-m=6,即m=21.【答案】A2.(基础再现)已知an是公差为d的等差数列,若3a6=a3+a4+a5+6,则d等于()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.【解析】由3a6=a3+a4+a5+6可得3a6=3a4+6,从而3(a6-a4)=6,所以32d=6,d=1.【答案】A3.(视角拓展)在数列an中,a1=2,当n为正奇数时,an+1=an+2,当n为正偶数时,an+1=2an,则a6等于()(A)11.(B)17.(C)22.(D)23.【解析】逐项计算得该数列的前6项依次为:2,4,8,10,20,22,故选C.【答案】C4.(视角拓展)把185个面包分给五个人,使每人所得依次成等差数列,且使较多的两份之和比较少的三份之和的2倍还多5个,问最少一份为()(A)5个.(B)4个.(C)3个.(D)6个.【解析】不妨把这五个人所得设为数列an,an的公差设为d(d0),则有【答案】C5.(高度提升)已知等差数列an共有2k-1项,其奇数项之和为66,偶数项之和为60,则正整数k的值为()(A)11.(B)12.(C)21.(D)23.【解析】依题意可知kak=66,(k-1)ak=60,两式相除得=,即=,解得k=11.【答案】A二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)6.(基础再现)在等差数列an中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=.【解析】设等差数列an的公差为d,则由a1=2,a2+a3=13得(2+d)+(2+2d)=13,解得d=3,所以a4+a5+a6=3a5=3(2+34)=42.【答案】427.(视角拓展)数列an满足3+an=an+1(nN+),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是.【解析】由已知得an是等差数列,公差为d=3,所以a5+a7+a9=a2+a4+a6+9d=36,所以lo(a5+a7+a9)=-2.【答案】-28.(视角拓展)等差数列an的前n项和Sn=48,前3n项的和S3n=36,则前2n项的和S2n=.【解析】由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差数列知2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,代入可得S2n=60.【答案】609.(高度提升)定义:在数列an中,若满足- =d(nN+,d为常数),我们称an为“等差比数列”.已知在“等差比数列”an中,a1=a2=1,a3=2,则的个位数字是.【解析】由a1=a2=1,a3=2,得-=1=d,设=bn,则bn+1-bn=1,且b1=1,bn=n,即=n,an=a1=1123(n-1),=201120122013,它的个位数字是6.【答案】6三、解答题(本大题共3小题,每小题14分)10.(基础再现)已知等差数列an的首项a1=-100,公差d=8,它的前n项和为Sn.(1)若Sn0,求n的最小值;(2)求Sn的最小值.【解析】(1)由已知得Sn=-100n+8,即Sn=4n2-104n.Sn0,即4n(n-26)0,故n26,因此n的最小值为27.(2)当且仅当时,Sn最小,由得即n=13,所以S13最小.经计算,可知S13=-676.11.(基础再现)等差数列an的前n项和记为Sn,a10=30,a20=50.(1)求通项an;(2)若Sn=242,求n.【解析】(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.(2)由Sn=na1+d,Sn=242得方程12n+2=242,解得n=11或n=-22(舍去).12.(高度提升)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=n2+cn(cR,n=1,2,3,),且S1,成等差数列.(1)求c的值;(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)nSn+1-(n+1)Sn=n2+cn(cR,n=1,2,3,),-=(n=1,2,3,).S1,成等差数列,-=-,=,c=1.(2)由(1)得-=1(n=1,2,3,).数列是首项为,公差为1的等差数列,=+(n-1)1=n,Sn=n2.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.当n=1时,上式也成立.an=2n-1(n=1,2,3,).