山东金榜苑文化传媒集团山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义步步高大一轮复习讲义基本不等式及其应用基本不等式及其应用主页主页不不等等关关系系及及不不等等式式二元一次不等式二元一次不等式(组组)与平面区域与平面区域简单的线性规划问题简单的线性规划问题不等式的基本性质不等式的基本性质一元二次不等式及一元二次不等式及其解法其解法绝对值不等式绝对值不等式基本不等式基本不等式不等式的实际应用不等式的实际应用两个实数大小的比较两个实数大小的比较最大最大(小小) 值问题值问题绝对值的解法绝对值的解法主页主页忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点1. 基本不等式基本不等式(1)基本不等式成立的条件基本不等式成立的条件:_.(2)等号成立的条件：当且仅当等号成立的条件：当且仅当_时取等号时取等号.a0, b0ab2. 几个重要的不等式几个重要的不等式主页主页3. 算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 设设a0，b0，则则a，b的的算算术术平平均均数数为为_,几几何何平平均均数数为为_,基基本本不不等等式式可可叙叙述述为为：两两个个正正数数的算术平均数不小于它们的几何平均数的算术平均数不小于它们的几何平均数4. 利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题 已知已知x0，y0，则，则 (1)如如果果积积xy是是定定值值p，那那么么当当且且仅仅当当_时时, xy有最有最_值是值是 . (简记：积定和最小简记：积定和最小) (2)如如果果和和xy是是定定值值 p, 那那么么当当且且仅仅当当_时时, xy有最有最_值是值是 . (简记：和定积最大简记：和定积最大)小小大大主页主页AB题号题号答案答案12345主页主页利用基本不等式证明简单不等式利用基本不等式证明简单不等式利用基本不等式证明简单不等式利用基本不等式证明简单不等式 利利用用基基本本不不等等式式证证明明不不等等式式是是综综合合法法证证明明不不等等式式的的一一种种情情况况,证证明明思思路路是是从从已已证证不不等等式式和和问问题题的的已已知知条条件件出出发发,借借助助不不等等式式的的性性质质和和有有关关定定理理，经经过过逐逐步步的的逻逻辑辑推推理理最最后后转化为需证问题转化为需证问题主页主页主页主页主页主页利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值主页主页利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值主页主页利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 利利用用基基本本不不等等式式求求最最值值时时，必必须须注注意意三三点点：“一一正正,二二定定，三三相相等等”，缺缺一一不不可可如如果果项项是是负负数数，可可转转化化为为正正数数后后解解决决，当当和和(或或积积)不不是是定定值值时时，需需要要对对项项进进行行添添加加、分拆或变系数，将和分拆或变系数，将和(或积或积)化为定值化为定值主页主页B主页主页16主页主页基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用【例例3】围建建一一个个面面积为360 m2的的矩矩形形场地地，要要求求矩矩形形场地地的的一一面面利利用用旧旧墙(利利用用的的旧旧墙需需维修修)，其其他他三三面面围墙要要新新建建，在在旧旧墙对面面的的新新墙上上要要留留一一个个宽度度为2 m的的进出出口口，如如图所所示示已已知知旧旧墙的的维修修费用用为45元元/m，新新墙的的造造价价为180元元/m.设利利用用的的旧旧墙长度度为x(单位位：m)，修修建建此此矩矩形形场地地围墙的的总费用用为y(单位位：元元) (1)将将y表示表示为x的函数；的函数； (2)试确确定定x,使使修修建建此此矩矩形形场地地围墙的的总费用用最最少少,并并求出最少求出最少总费用用主页主页 (1)利利用用基基本本不不等等式式解解决决实实际际问问题题时时，应应先先仔仔细细阅阅读读题题目目信信息息,理理解解题题意意，明明确确其其中中的的数数量量关关系系，并并引引入入变变量量，依依题题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解 (2)在在求求所所列列函函数数的的最最值值时时，若若用用基基本本不不等等式式时时，等等号号取不到取不到,可利用函数单调性求解可利用函数单调性求解主页主页 如如图所所示示,一一个个铝合合金金窗窗分分为上上、下下两两栏,四四周周框框架架和和中中间隔隔档档的的材材料料为铝合合金金，宽均均为6 cm,上上栏栏与与下下栏栏的的框框内内高高度度(不不含含铝铝合合金金部部分分)的的比比为为1 2，此此铝铝合合金金窗窗占占用用的的墙墙面面面面积积为为28 800 cm2,设设该该铝铝合合金金窗窗的的宽宽和和高高分分别别为为a cm,b cm,铝合金窗的透光部分的面积为铝合金窗的透光部分的面积为S cm2. (1)试用试用a，b表示表示S； (2)若要使若要使S最大最大, 则铝合金窗的宽和高分别为多少则铝合金窗的宽和高分别为多少?主页主页主页主页基本不等式等号成立的条件把握不准致误基本不等式等号成立的条件把握不准致误主页主页 (1)这这类类题题目目考考生生总总感感到到比比较较容容易易下下手手.但但是是解解这这类类题题目却又常常出错目却又常常出错 (2)利利用用基基本本不不等等式式求求最最值值, 一一定定要要注注意意应应用用条条件件:即即一一正正、二二定定、三三相相等等. 否否则则求求解解时时会会出出现现等等号号成成立立条条件件不不具备而出错具备而出错. (3)本本题题出出错错的的原原因因前前面面已已分分析析,关关键键是是忽忽略略了了等等号号成成立的条件立的条件.方法二方法二主页主页 1.基基本本不不等等式式具具有有将将“和和式式”转转化化为为“积积式式”和和将将“积积式式”转转化化为为“和和式式”的的放放缩缩功功能能，常常常常用用于于比比较较数数(式式)的的大大小小或或证证明明不不等等式式，解解决决问问题题的的关关键键是是分分析析不不等等式式两两边边的的结结构构特特点点，选选择择好好利利用用基基本本不不等式的切入点等式的切入点 2.恒恒等等变变形形：为为了了利利用用基基本本不不等等式式，有有时时对对给给定定的代数式要进行适当变形比如：的代数式要进行适当变形比如：主页主页 1使使用用基基本本不不等等式式求求最最值值，其其失失误误的的真真正正原原因因是是对对其其前前提提“一一正正、二二定定、三三相相等等”的的忽忽视视要要利利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可 2在在运运用用重重要要不不等等式式时时，要要特特别别注注意意“拆拆” “拼拼”“凑凑”等等技技巧巧，使使其其满满足足重重要要不不等等式式中中“正正”“定定”“等等”的条件的条件 3连连续续使使用用公公式式时时取取等等号号的的条条件件很很严严格格，要要求求同时满足任何一次的字母取值存在且一致同时满足任何一次的字母取值存在且一致主页主页一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号123答案答案CCBA组组专项基础训练题组专项基础训练题组主页主页三、解答题三、解答题主页主页三、解答题三、解答题主页主页主页主页主页主页一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号123答案答案DDBB组专项能力提升题组组专项能力提升题组主页主页8某某住住宅宅小小区区为为了了使使居居民民有有一一个个优优雅雅、舒舒适适的的生生活活环环境境,计计划划建建一一个个八八边边形形的的休休闲闲小小区区,它它的的主主体体造造型型的的平平面面图图是是由由两两个个相相同同的的矩矩形形ABCD和和EFGH构构成成的的面面积积为为200 m2的的十十字字型型区区域域现现计计划划在在正正方方形形MNPQ上上建建一一花花坛坛，造造价价为为4 200元元/m2，在在四四个个相相同同的的矩矩形形上上(图图中中阴阴影影部部分分)铺铺花花岗岗岩岩地地坪坪，造造价价为为210元元/m2，再再在在四四个个空角上铺草坪，造价为空角上铺草坪，造价为80元元/m2. (1)设总造价为设总造价为S元元,AD的长为的长为x m,试建立试建立S关于关于x的函数关系式；的函数关系式； (2)计划至少投入多少元计划至少投入多少元,才才能建造这个休闲小区能建造这个休闲小区.三、解答题三、解答题主页主页三、解答题三、解答题主页主页主页主页F1.不等式链不等式链 (a0, b0)加权平均数加权平均数调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数算术平均数算术平均数平方平均数平方平均数主页主页2.定理的变式定理的变式(1)a2+b22ab(a0,b0)(a、b同号）同号）(a0）(a0）(a 、bR)主页主页 探究：下面几道题的解答可能探究：下面几道题的解答可能有错有错，如果，如果错错了了,那么那么错错在哪里？在哪里？一不正，需变号一不正，需变号二不定，要变形二不定，要变形三不等，用单调三不等，用单调主页主页已知条件已知条件(a0, b0)求解最大值、最小值求解最大值、最小值基本不等式基本题型基本不等式基本题型4868主页主页例例1 1求函数求函数 的最大值的最大值. .一不正，需变号一不正，需变号主页主页例例2.求函数求函数 的最的最大大 值值.当且仅当当且仅当 时取时取“=”号号.即当即当x=1时时, 函数的最大值为函数的最大值为1.二不定，要变形二不定，要变形主页主页依据依据: :利用函数利用函数 (t0)的单调性的单调性.t(0,1单调递减单调递减, t1,+)单调递增单调递增.解解: :例例3.3.求函数求函数 的最小值的最小值. .在在1,+)上单调递增上单调递增.三不等，用单调三不等，用单调主页主页当且仅当当且仅当时取时取“=”号号.“1”代代换法换法例例4.已知正数已知正数x, y满足足2x+y=1, 求求 的最小值的最小值.主页主页解解: (方法一）方法一）例例5.若正数若正数a, b 满足满足 ab = a+b+3, 求求 ab 的取值范围的取值范围.当且仅当当且仅当,即即a=b = 3时取等号时取等号.主页主页即即 a=3 时时,取等号取等号.（方法二）（方法二）当且仅当当且仅当所以所以 ab9.主页主页例例6. 已知已知a, b是正数，且是正数，且a+b=1.求证：求证：主页主页例例6. 已知已知a, b是正数，且是正数，且a+b=1.求证：求证：主页主页主页主页主页主页【1】下列函数的下列函数的最小值为最小值为2的是的是( )【2】若正数若正数x, y 满足满足 xy (x+y)=1, 则有则有( )AD主页主页【4】函数函数 的最的最大大值值是是_.【3】已知正数已知正数x, y满足足x+2y=1, 则 的最小值的最小值是是_.【解解题题回回顾顾】错错误误的的原原因因在在于于两两次次运运用用均均值值定定理理时时取取等等号号的条件矛盾的条件矛盾.(第一次须第一次须xy，第二次须，第二次须x2y).主页主页所以所以 的最大值是的最大值是 【5】若正数若正数a, b 满足满足 , 求求 的最大值的最大值.,即即 时时,取等取等号号.当且仅当当且仅当主页主页C主页主页4主页主页【8】主页主页C化归与转化思想化归与转化思想恒成立恒成立,则则n的最大值是的最大值是( )A.2 B.3 C.4 D.5【9】主页主页恒成立恒成立,则则n的最大值是的最大值是( )A.2 B.3 C.4 D.5【9】恒成立恒成立,主页主页【10】D主页主页B主页主页CDE主页主页C主页主页 “十十一一”节节日日期期间间,甲甲、乙乙两两商商场场对对单单价价相相同同的的同同类类产产品品进进行行促促销销,以以便便吸吸引引更更多多的的顾顾客客进进行行消消费费.甲甲商商场场采采取取的的促促销销方方式式是是在在原原价价 a 折折的的基基础础上上再再打打 b 折折；乙乙商商场场的的促促销销方方式式则则是是两两次次都打都打 折折. 如果你是顾客如果你是顾客, 你你会进哪个商店采购？会进哪个商店采购？主页主页第第二二十十四四届届国国际际数数学学家家大大会会会会标标主页主页ICM 2002 会标会标赵赵爽：弦图爽：弦图主页主页 大大会会会会标标设设计计的的基基础础是是公公元元3世世纪纪中中国国数数学学家家赵赵爽爽的的弦弦图图.会会标标对对这这个个图图进进行行了了加加工工变变形形.首首先先,打打开开外外面面正正方方形形的的边边并并放放大大里里面面的的正正方方形形,这这代代表表着着数数学学家家思思想想的的开开阔阔以以及及中中国国的的开开放放.颜颜色色的的明明暗暗使使它它看看上上去去更更像像一一个个旋旋转转的的纸纸风风车车,这这代代表着表着北京人的热情好客北京人的热情好客.主页主页新世纪第一次，新世纪第一次，发展中国家第一次发展中国家第一次世界数学最高盛会，世界数学最高盛会，中国数学百年机遇中国数学百年机遇 这这届届国国际际数数学学家家大大会会主主席席由由我我国国著著名名数数学学家家,中中科科院院院院士士,2000年年度度国国家家最最高高科科学学技技术术奖奖得得主主吴吴文文俊俊担任担任. 第第24届国际数学家大会届国际数学家大会(简称简称ICM)于于2002年年8月月20 28日在北京举行日在北京举行. 国家主席江泽民出席大会开幕式并为本国家主席江泽民出席大会开幕式并为本届届菲尔茨奖菲尔茨奖获得者颁奖获得者颁奖.主页主页 赵赵爽爽,中中国国古古代代数数学学家家，东东汉汉末末至至三三国国时时代代的的人人，他他的的主主要要贡贡献献是是约约在在222年年深深入入研研究究了了周周髀髀算算经经，为为该该书书写写了了序序言言，并并作作了了详详细细注注释释，其其中中一一段段530余余字字的的“勾勾股股圆圆方方图图”注注文文是是数数学学史史上上极极有有价价值值的的文文献献它它记记述述了了勾勾股股定定理理的的理理论论证证明明，将将勾勾股股定定理理表表述述为为：“勾勾股股各各自自乘乘，并并之之，为为弦弦实实，开开方方除除之之，即即弦弦”证证明明方方法法叙叙述述为为：“按按弦弦图图，又又可可以以勾勾股股相相乘乘为为朱朱实实二二，倍倍之之为为朱朱实实四四，以以勾勾股股之之差差自自相相乘乘为为中中黄黄实实，加加差差实，亦成弦实实，亦成弦实”主页主页数学界的战略科学家数学界的战略科学家中科院院士吴文俊中科院院士吴文俊 吴吴文文俊俊在在拓拓扑扑学学、自自动动推推理理、机机器器证证明明、代代数数几几何何、中中国国数数学学史史、对对策策论论等等研研究究领领域域均均有有杰杰出出的的贡贡献献，在在国国内外享有盛誉内外享有盛誉. 他他在在拓拓扑扑学学的的示示性性类类、示示嵌嵌类类的的研研究究方方面面取取得得一一系系列列重重要要成成果果，是是拓拓扑扑学学中中的的奠奠基基性性工工作作，并并有有许许多多重重要要应应用用.他他创创立立的的“吴吴文文俊俊方方法法”在在国国际际机机器器证证明明领领域域产产生生巨巨大大的的影影响响，有有广广泛泛的的重重要要的应用价值的应用价值. 主页主页 国国际际数数学学家家大大会会（简简称称ICM）已已有有100多多年年历历史史.1897年年,首首届届国国际际数数学学家家大大会会在在瑞瑞士士苏苏黎黎世世举举行行.1900年年巴巴黎黎大大会会后后,每每4年年举举行行一一次次,除除了了两两次次世世界界大大战战期期间间中中断断,一一直直延延续续至至今今.它它是是最最高高水水平平的的全全球球性性数数学学科科学学学学术术会会议议,被被誉誉为数学界的为数学界的“奥运会奥运会”.主页主页 丘丘成成桐桐，1949年年生生,广广东东汕汕头头人人,1969年年毕毕业业于于香香港港中中文文大大学学数数学学系系,22岁岁获获博博士士学学位位,27岁岁因因证证明明世世界界数数学学难难题题卡卡拉拉比比猜猜想想而而引引起起轰轰动动,华华人人中中惟惟一一获获得得被被称称为为世世界界数数学学领领域域的的诺诺贝贝尔尔奖奖的的菲菲尔尔兹兹奖奖,美美国国哈哈佛佛大大学学讲讲座座教教授授,中中科科院院外外籍籍院院士士,美美国国科科学学院院院院士士,中中科科院院晨晨兴兴数数学学研研究究中中心心、浙浙江江大大学学数数学学研研究究中中心心主主任任,香香港中文大学数学研究所所长港中文大学数学研究所所长.菲尔兹奖获得者菲尔兹奖获得者美籍华人美籍华人丘成桐丘成桐. .