多元微积分的概念、理论、方法是一元微多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。解，融会贯通。 多元函数微分学多元函数微分学 在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数函数多元函数，也提出了多元微积分问题。多元函数，也提出了多元微积分问题。 重点重点 多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。应用，多元函数极值。难点难点复合函数求导，多元函数极值。复合函数求导，多元函数极值。 函数的微分法从一元函数发展到函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西，但二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上函数则可以类推，从二元函数到二元以上函数则可以类推， 因此这里基本上只讨论二元函数。因此这里基本上只讨论二元函数。（1）邻域）邻域（2）区域）区域一、多元函数的概念一、多元函数的概念例如，例如，即为开集即为开集例如，例如，例如，例如，连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域（3）聚点）聚点说明：说明：说明：说明： 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于也可以不属于E例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4）n维空间维空间说明：说明：说明：说明： n维空间的记号为维空间的记号为 n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念邻域：邻域：内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义设两点为设两点为（5）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为（6） 二元函数二元函数 的图形的图形（如右图）（如右图）二元函数的图形通二元函数的图形通常是一张曲面常是一张曲面.二、多元函数的极限二、多元函数的极限（1）定义中）定义中 的方式可能是多种多样的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。于同一常数。这是产生本质差异的根本原这是产生本质差异的根本原因。因。（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。以巩固和加深理解。说明：说明：证证当当 时，时，原结论成立原结论成立例例2 2 求证求证 例例3 3 求极限求极限 解解其中其中例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 故极限不存在故极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：利用点函数的形式有利用点函数的形式有例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性解解取取当当 时时故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次（2）介值定理）介值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取得上取得介于这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域多元函数的定义多元函数的定义多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的注意趋近方式的任意性任意性）多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质四、小结四、小结思考题思考题不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案