微积分微积分 绪论绪论数学是什么？微积分与中学数学的主要区别数学的感觉.几点注意几点注意课前预习课前预习课上学习课上学习课后复习课后复习听什么听什么记什么记什么练什么练什么时间时间注意力注意力上课上课下课下课. 第一章 二、函数的极限二、函数的极限 第二节极限的概念极限的概念一、数列的极限一、数列的极限 .一、数列的极限一、数列的极限定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，将其对应的函数值排成一列，将其对应的函数值排成一列，一些数列的例子一些数列的例子1. 1. 数列极限的定义数列极限的定义这样的一列数这样的一列数称为一个数列，称为一个数列，数列中的每一个数称为数列的项，数列中的每一个数称为数列的项，.例如例如.随着随着的增大，的增大，越来越小，越来越小，且当且当无限增大时，无限增大时，可以任意小可以任意小!趋势趋势?问：问：.如果不存在这样的常数如果不存在这样的常数A, 其中其中 或或 定义定义1 设数列设数列A是一常数，是一常数，(不论它多么小不论它多么小),使得对于使得对于时的一切时的一切都成立都成立,是数列是数列的极限的极限,记为记为 如果对于任意给定如果对于任意给定总存在正整数总存在正整数那么就称常那么就称常或者称数列或者称数列是发散的是发散的.就说数列没有极限就说数列没有极限,称数列称数列.例例1证证所以所以,习题习题用定义证明数列极限时用定义证明数列极限时,去证满足条件的正整数去证满足条件的正整数如果找到了这样如果找到了这样也就证明了也就证明了的存在性，的存在性，那么也就证明了数列极那么也就证明了数列极关键是对于任意给定的关键是对于任意给定的的的的存在性，的存在性，限的存在限的存在.例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.2. 2. 数列极限与子列极限的关系数列极限与子列极限的关系这样得到这样得到.定理定理1(1(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列收敛数列与其子数列间的关系收敛数列的的证证证毕证毕任一子数列也收敛且极限相同任一子数列也收敛且极限相同.定理定理 ( (收敛子数列与数列间的关系对于收敛子数列与数列间的关系对于数列数列假假设设证证 明：明：证证证毕证毕.二、函数的极限二、函数的极限1.1.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大的三种情况自变量趋向无穷大的三种情况 : :定义定义2.2.设函数设函数大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义, ,假假设设则称则称时的极限时的极限, ,记作记作常数常数A 为函数为函数对应的函数值对应的函数值无限接近于某个确定的数无限接近于某个确定的数趋于无穷大时的极限趋于无穷大时的极限. . 自变量趋向无穷大的其余两种情况自变量趋向无穷大的其余两种情况 : :.例例3 3 用定义证明用定义证明证证: :取取因而因而就有就有故故欲使欲使即即.2.2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限若函数若函数在点在点的某个去心邻域内有定义的某个去心邻域内有定义, , 当当自变量自变量时时, ,若对应的函数值若对应的函数值无限接近于无限接近于某个确定的常数某个确定的常数则称则称为函数为函数在在时的极限时的极限. .定义定义5.5.设函数设函数在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , ,使得当使得当 时时, , 有有则称常数则称常数 A A 为函数为函数当当时的极限时的极限, ,或或假假设设记作记作自变量趋于有限值有三种情形：自变量趋于有限值有三种情形：.使当使当时时, , 有有的几何意义的几何意义: :.那么就证明了那么就证明了 的存在性的存在性,也就证明了极限的存在也就证明了极限的存在.用定义证函数极限存在时用定义证函数极限存在时,关键是对于任意给定的关键是对于任意给定的寻找满足条件的正数寻找满足条件的正数如果找到了这样的如果找到了这样的.例例5.单侧极限单侧极限: :右极限右极限左极限左极限.左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证. 作作 业业 P36 1.(2) 2.(2) 3.(1)(4) 5.思考题解答思考题解答（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的实际上就是不等式实际上就是不等式即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值.从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而缩小为反而缩小为.练练 习习 题题.