3 3 泰勒级数泰勒级数 我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：的是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？一个解析函数是否能用幂级数来表示？1 1、泰勒展开定理、泰勒展开定理 对实函数而言，一个关键性条件是：对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开应在展开点处具有任意阶导数点处具有任意阶导数. 对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的的导数，所以这一条件是满足的.下面给出关于这一问题的结论下面给出关于这一问题的结论. .1定理定理1（Taylor定理）定理）Dk证明：证明：2Dkz把上面的式子代入把上面的式子代入(2),(2),并把它改写成下面的形式并把它改写成下面的形式3而而(3)(3)又可以写为又可以写为456事实上事实上，设，设f (z)用另外的方法展开为幂级用另外的方法展开为幂级数数:由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor级数，因而是唯一的级数，因而是唯一的.78(1)直接法直接法-利用公式利用公式;(2)间接法间接法-由由已知函数的展开式，已知函数的展开式，运用级数的代数运用级数的代数运算、分运算、分 析运算等方法来展开析运算等方法来展开.函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：例如例如92 2、 几个初等函数的泰勒展开式几个初等函数的泰勒展开式例例1 解解:思考题思考题: 1011例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:解解12(2)因因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内向左沿负实轴剪开的平面内解析，解析， ln(1+z)离原点最近的一个奇点是离原点最近的一个奇点是-1,所以它的展开式的收敛范围为所以它的展开式的收敛范围为 z 1.注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致. .（逐项积分、求导，收敛半径不变）（逐项积分、求导，收敛半径不变）13例例3 解解14 若若 f (z) 在在 z0 解析解析，则，则 f (z)可以可以在在 z0 的某邻域的某邻域 内内展开成展开成 z - z0 的幂级数的幂级数. 一个自然的问题是一个自然的问题是: 如果在环域如果在环域 r z - z0 R 内解析，内解析， f (z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢？4 4 洛朗洛朗( (LaurentLaurent) )级数级数 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环形区域内解析为中心的圆环形区域内解析的函数的级数表示法的函数的级数表示法. 它是后面研究的解析函数在它是后面研究的解析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的和计算留数的基础基础.151 1、 双边幂级数双边幂级数 -含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 具有如下形式的级数具有如下形式的级数称为称为双边幂级数，双边幂级数，正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：负幂项部分负幂项部分：16级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R ， 则当则当z - z0 R时，时，级数级数发散发散. 17z0rRz0Rr18 现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出的问题的问题. . 关于这个问题的答案是肯定的，这就是下面关于这个问题的答案是肯定的，这就是下面要讨论的洛朗定理要讨论的洛朗定理. .192 2、 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理)5()()(,:)(00则则内解析内解析在在设设.0的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线内绕内绕是是zDczzczfRzzrDzfnnn- -= = - - -= =20 (2)(2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的去心邻域内解析，需要把的去心邻域内解析，需要把f (z)展成级数，展成级数， 那么就利用洛朗（那么就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开）级数来展开.级数（级数（5）中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为）中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的洛朗级数的解析部分解析部分和和主要部分主要部分.21 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用间接法用间接法. 在大多数情况，均采用这一简便的方在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式展开式.例例1解：解：22例例2解：解：例例323例例4xyo12xyo12xyo1224解解:252627解解 (1) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域例例5yxo1228 (2) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域xo12练习：练习：y29本讲内容小结本讲内容小结1、泰勒展开定理、泰勒展开定理（函数展成幂级数的条件，系数计算公式，（函数展成幂级数的条件，系数计算公式， 收敛收敛半径）半径）2、几个简单函数的泰勒展式、几个简单函数的泰勒展式3、函数的间接展开、函数的间接展开30