电荷，电流（运动电荷） 电场、磁场相互激发散度、旋度1描述电场的物理量：描述电场的物理量：描述电场的物理量：描述电场的物理量：电场强度电场强度电场强度电场强度。电场强度的定义：电场强度的定义：电场强度的定义：电场强度的定义：上式给出实验上直接测量电场的方法。要求上式给出实验上直接测量电场的方法。要求上式给出实验上直接测量电场的方法。要求上式给出实验上直接测量电场的方法。要求q q 是是是是“ “检验电荷检验电荷检验电荷检验电荷” ”（体积足够小、电量足够小的带电体）。（体积足够小、电量足够小的带电体）。（体积足够小、电量足够小的带电体）。（体积足够小、电量足够小的带电体）。1 1 电荷和电场电荷和电场2CoulombCoulomb定律：定律：定律：定律：QQ 对静电力的认识由对静电力的认识由对静电力的认识由对静电力的认识由超距作用超距作用到到发展发展发展发展为通过为通过电场传递电场传递的观点。的观点。 CoulombCoulomb定律的适用范围：点电荷，静电场。定律的适用范围：点电荷，静电场。定律的适用范围：点电荷，静电场。定律的适用范围：点电荷，静电场。3电场强度电场强度电场强度电场强度 电场满足叠加原理电场满足叠加原理电场满足叠加原理电场满足叠加原理给出理论上计算单个（静止）点电荷激发的（静）电场的方法。给出理论上计算单个（静止）点电荷激发的（静）电场的方法。给出理论上计算单个（静止）点电荷激发的（静）电场的方法。给出理论上计算单个（静止）点电荷激发的（静）电场的方法。4体电荷分布体电荷分布体电荷分布体电荷分布面电荷分布面电荷分布面电荷分布面电荷分布线电荷分布线电荷分布线电荷分布线电荷分布56GaussGauss定理来源于定理来源于定理来源于定理来源于 Coulomb Coulomb定律的平方反比关系。定律的平方反比关系。定律的平方反比关系。定律的平方反比关系。单个点电荷情形，单个点电荷情形，单个点电荷情形，单个点电荷情形，7GaussGauss面的选取具有任意性且可以任意缩小面的选取具有任意性且可以任意缩小面的选取具有任意性且可以任意缩小面的选取具有任意性且可以任意缩小 微分形式不能用于介质分界面上的点；而对于包含界面的微分形式不能用于介质分界面上的点；而对于包含界面的微分形式不能用于介质分界面上的点；而对于包含界面的微分形式不能用于介质分界面上的点；而对于包含界面的空间区域，积分形式仍可使用。空间区域，积分形式仍可使用。空间区域，积分形式仍可使用。空间区域，积分形式仍可使用。 GaussGauss定理的微分形式是局域关系式；而积分形式是关于定理的微分形式是局域关系式；而积分形式是关于定理的微分形式是局域关系式；而积分形式是关于定理的微分形式是局域关系式；而积分形式是关于某一有限空间区域的关系式某一有限空间区域的关系式某一有限空间区域的关系式某一有限空间区域的关系式 。 积分形式只能用于静电场；微分形式能用于随时间变化的积分形式只能用于静电场；微分形式能用于随时间变化的积分形式只能用于静电场；微分形式能用于随时间变化的积分形式只能用于静电场；微分形式能用于随时间变化的电场。电场。电场。电场。 散度表空间某点是否有源。散度表空间某点是否有源。散度表空间某点是否有源。散度表空间某点是否有源。8静电场的电力线不能闭合。静电场的电力线不能闭合。静电场的电力线不能闭合。静电场的电力线不能闭合。单个点电荷情形，单个点电荷情形，单个点电荷情形，单个点电荷情形，9S S具有任意性且可以任意缩小，故具有任意性且可以任意缩小，故具有任意性且可以任意缩小，故具有任意性且可以任意缩小，故 NextNext 环路定理表明电场力对电荷做功与路径无关，静电场是保环路定理表明电场力对电荷做功与路径无关，静电场是保环路定理表明电场力对电荷做功与路径无关，静电场是保环路定理表明电场力对电荷做功与路径无关，静电场是保守力场。守力场。守力场。守力场。 一般结论：一般结论：一般结论：一般结论：无旋场是保守力场。无旋场是保守力场。 静电场是无旋场，电力线不能闭合。静电场是无旋场，电力线不能闭合。静电场是无旋场，电力线不能闭合。静电场是无旋场，电力线不能闭合。 积分形式和微分形式均对于变化的电场不成立。积分形式和微分形式均对于变化的电场不成立。积分形式和微分形式均对于变化的电场不成立。积分形式和微分形式均对于变化的电场不成立。10ReturnReturn11ReturnReturn12电流强度电流强度电流强度电流强度：单位时间通过某一截面的电量。：单位时间通过某一截面的电量。：单位时间通过某一截面的电量。：单位时间通过某一截面的电量。 电流密度电流密度电流密度电流密度：方向为正电荷运动方向，大小为单位时间垂直通过：方向为正电荷运动方向，大小为单位时间垂直通过：方向为正电荷运动方向，大小为单位时间垂直通过：方向为正电荷运动方向，大小为单位时间垂直通过单位面积的电量。单位面积的电量。单位面积的电量。单位面积的电量。电流强度与电流的关系：电流强度与电流的关系：电流强度与电流的关系：电流强度与电流的关系：2 2 电流和磁场电流和磁场 J J 是对空间点定义的，是对空间点定义的，是对空间点定义的，是对空间点定义的，I I 是对一有限面定义的。是对一有限面定义的。是对一有限面定义的。是对一有限面定义的。 J J 是矢量，是矢量，是矢量，是矢量，I I 是标量。是标量。是标量。是标量。单一构成粒子流单一构成粒子流单一构成粒子流单一构成粒子流复杂构成粒子流复杂构成粒子流复杂构成粒子流复杂构成粒子流13考查对象：考查对象：存在存在电荷的某一空间区域电荷的某一空间区域V。单位时间流出该区域总电荷单位时间流出该区域总电荷单位时间区域中总电荷减少单位时间区域中总电荷减少 电荷守恒定律的电荷守恒定律的微分形式微分形式电荷守恒定律的电荷守恒定律的积分形式积分形式也称为电流的也称为电流的连续性方程连续性方程。 14特殊情形一：特殊情形一：对于包含了所有的电流和电荷的区域，其界面对于包含了所有的电流和电荷的区域，其界面上电流密度为零，上电流密度为零， 这表示这表示“全全”空间总电荷守恒空间总电荷守恒 。特殊情形二：特殊情形二：对于恒定电流，对于恒定电流， 。表示恒定电流的电。表示恒定电流的电流线闭合（无发源点和终止点）流线闭合（无发源点和终止点） 。 电荷守恒在经典物理和近代物理范畴均精确成立。电荷守恒在经典物理和近代物理范畴均精确成立。 电荷守恒定律表示总电荷守恒（不表示电荷守恒定律表示总电荷守恒（不表示“电荷不能产生，电荷不能产生，也不能消失也不能消失”）。没有分别关于正、负电荷的守恒定律。）。没有分别关于正、负电荷的守恒定律。 15 Ampere环路定理环路定理：磁场的旋度磁场的旋度： 磁力线是闭合曲线（磁力线是闭合曲线（无起点和终点）无起点和终点），对任意封闭曲面，对任意封闭曲面通通量为零量为零（有一条磁力线穿出，则必有一条要穿入）。表为（有一条磁力线穿出，则必有一条要穿入）。表为表明磁场是无表明磁场是无“源源”场，即不存在磁荷（磁单极子）。场，即不存在磁荷（磁单极子）。 附附附附： 1. 1. 数学补充数学补充数学补充数学补充 函数函数函数函数 2. 2. 由由由由Biot-SavartBiot-Savart定律推导磁场旋度和散度定律推导磁场旋度和散度定律推导磁场旋度和散度定律推导磁场旋度和散度NextNext16速度与截面法向夹角为速度与截面法向夹角为，斜斜方体体积为方体体积为斜方体中含有电量斜方体中含有电量在在 t 内，内， V 中的电荷全部中的电荷全部穿过截面穿过截面 S，电流强度电流强度 截面截面 S 无穷小时无穷小时,，故，故，ReturnReturn171 1）一维）一维）一维）一维 函数函数函数函数定义定义定义定义: :主要性质主要性质主要性质主要性质: : 函数函数182 2）三维）三维）三维）三维 函数函数函数函数定义定义定义定义: :主要性质主要性质主要性质主要性质: :3 3）三维）三维）三维）三维 函数化为一维函数化为一维函数化为一维函数化为一维 函数函数函数函数在直角坐标系在直角坐标系在直角坐标系在直角坐标系: :在柱坐标系在柱坐标系在柱坐标系在柱坐标系: :在球坐标系在球坐标系在球坐标系在球坐标系: :ReturnReturn19实验发现实验发现对通电细导线对通电细导线Biot-Savart定律表为定律表为磁场散度的推导磁场散度的推导磁场散度的推导磁场散度的推导引入引入 20磁场旋度的推导磁场旋度的推导先计算先计算在恒定电流情形在恒定电流情形 Biot-Savart定律的积分区域包括所有电流，定律的积分区域包括所有电流，表面上表面上无电流，无电流，上式积分为零。即上式积分为零。即21再计算再计算 利用了利用了所以所以ReturnReturn223 Maxwell方程组方程组 电动势数值上等于回路中电场力对单位电荷作的功电动势数值上等于回路中电场力对单位电荷作的功 。23令令JD 称为位移电流。引入称为位移电流。引入JD的目的是使的目的是使 利用电荷守恒定律和电场散度公式，有利用电荷守恒定律和电场散度公式，有 ，而非稳恒电流，而非稳恒电流 ），）， 须做改进。须做改进。不适用于非稳恒电流情形（因为不适用于非稳恒电流情形（因为 24 实验表明，实验表明，实验表明，实验表明，MaxwellMaxwell方程既可用于静电场和静磁场，也可方程既可用于静电场和静磁场，也可方程既可用于静电场和静磁场，也可方程既可用于静电场和静磁场，也可以用于随时间变化的电场和磁场。以用于随时间变化的电场和磁场。以用于随时间变化的电场和磁场。以用于随时间变化的电场和磁场。 变化的电、磁场可以交替激发，形成电磁波，这是变化的电、磁场可以交替激发，形成电磁波，这是变化的电、磁场可以交替激发，形成电磁波，这是变化的电、磁场可以交替激发，形成电磁波，这是MaxwellMaxwell方程最重要的理论预言。方程最重要的理论预言。方程最重要的理论预言。方程最重要的理论预言。 变化的磁场激发的电场与静电场不同，电力线是闭合的。变化的磁场激发的电场与静电场不同，电力线是闭合的。变化的磁场激发的电场与静电场不同，电力线是闭合的。变化的磁场激发的电场与静电场不同，电力线是闭合的。可见电力线既可不闭合，也可闭合；磁力线总是闭合的。可见电力线既可不闭合，也可闭合；磁力线总是闭合的。可见电力线既可不闭合，也可闭合；磁力线总是闭合的。可见电力线既可不闭合，也可闭合；磁力线总是闭合的。25 两类介质：有极和无极。有极指构成介质的分子（或原两类介质：有极和无极。有极指构成介质的分子（或原两类介质：有极和无极。有极指构成介质的分子（或原两类介质：有极和无极。有极指构成介质的分子（或原子）正、负电中心不重合；无极指正负电中心重合。子）正、负电中心不重合；无极指正负电中心重合。子）正、负电中心不重合；无极指正负电中心重合。子）正、负电中心不重合；无极指正负电中心重合。 两类极化：（有极分子）取向极化，（无极分子）位移两类极化：（有极分子）取向极化，（无极分子）位移两类极化：（有极分子）取向极化，（无极分子）位移两类极化：（有极分子）取向极化，（无极分子）位移极化。极化。极化。极化。定义（电）极化强度定义（电）极化强度定义（电）极化强度定义（电）极化强度4 4 介质的电磁性质介质的电磁性质26 设正负电荷中心距离为设正负电荷中心距离为设正负电荷中心距离为设正负电荷中心距离为 l l ，电，电，电，电量为量为量为量为 q q ，分子数密度为，分子数密度为，分子数密度为，分子数密度为 n n 。穿出穿出穿出穿出 dV dV 右表面的（正）电荷为右表面的（正）电荷为右表面的（正）电荷为右表面的（正）电荷为 穿出区域表面的（正）电荷为穿出区域表面的（正）电荷为穿出区域表面的（正）电荷为穿出区域表面的（正）电荷为 区域中产生的净余电荷（极化电荷区域中产生的净余电荷（极化电荷区域中产生的净余电荷（极化电荷区域中产生的净余电荷（极化电荷 ） 对介质内一宏观区域，考虑对介质内一宏观区域，考虑对介质内一宏观区域，考虑对介质内一宏观区域，考虑一物理小体积一物理小体积一物理小体积一物理小体积 27引入极化电荷密度引入极化电荷密度引入极化电荷密度引入极化电荷密度 p p ， 均匀介质内部均匀介质内部均匀介质内部均匀介质内部无极化电荷；非均匀介质内部有极化电荷。无极化电荷；非均匀介质内部有极化电荷。无极化电荷；非均匀介质内部有极化电荷。无极化电荷；非均匀介质内部有极化电荷。 极化电荷是束缚电荷，不能自由移动。极化电荷是束缚电荷，不能自由移动。极化电荷是束缚电荷，不能自由移动。极化电荷是束缚电荷，不能自由移动。 在介质在介质在介质在介质 分界面附近考虑一薄层，分界面附近考虑一薄层，分界面附近考虑一薄层，分界面附近考虑一薄层，界面法线规定为由界面法线规定为由界面法线规定为由界面法线规定为由1 1 指向指向指向指向 2 2 。设设设设极化电荷面密度为极化电荷面密度为极化电荷面密度为极化电荷面密度为 p p ，薄层内极，薄层内极，薄层内极，薄层内极化电荷为化电荷为化电荷为化电荷为对于表面，介质对于表面，介质对于表面，介质对于表面，介质 2 2 为真空，为真空，为真空，为真空，28介质内部介质内部介质内部介质内部 可见，宏观总电场可见，宏观总电场可见，宏观总电场可见，宏观总电场 E E 决定于自由电荷和极化电荷分布；电位决定于自由电荷和极化电荷分布；电位决定于自由电荷和极化电荷分布；电位决定于自由电荷和极化电荷分布；电位移矢量决定于移矢量决定于移矢量决定于移矢量决定于自由电荷分布。自由电荷分布。自由电荷分布。自由电荷分布。介质电容率介质电容率介质电容率介质电容率，介质，介质，介质，介质相对相对相对相对电容率电容率电容率电容率 e e 是是是是介质极化率。介质极化率。介质极化率。介质极化率。 引入电位移矢量引入电位移矢量引入电位移矢量引入电位移矢量29定义磁化强度定义磁化强度定义磁化强度定义磁化强度 磁化的物理图象：无外磁场时，热运动使磁化的物理图象：无外磁场时，热运动使磁化的物理图象：无外磁场时，热运动使磁化的物理图象：无外磁场时，热运动使分子磁矩分子磁矩分子磁矩分子磁矩无规分布，无规分布，无规分布，无规分布，M M 为零；为零；为零；为零；外磁场使分子磁矩取向趋于一致外磁场使分子磁矩取向趋于一致外磁场使分子磁矩取向趋于一致外磁场使分子磁矩取向趋于一致，M M 不为零。不为零。不为零。不为零。 设环电流为设环电流为设环电流为设环电流为 i i ，面积为，面积为，面积为，面积为a a（法线方向与（法线方向与（法线方向与（法线方向与 i i 成右手螺旋）。成右手螺旋）。成右手螺旋）。成右手螺旋）。分子磁矩为分子磁矩为分子磁矩为分子磁矩为30 考虑介质中一曲面考虑介质中一曲面考虑介质中一曲面考虑介质中一曲面 S S ，被边界被边界被边界被边界L L 链环着链环着链环着链环着的分子电流数目的分子电流数目的分子电流数目的分子电流数目 向外向外向外向外穿过曲面的总穿过曲面的总穿过曲面的总穿过曲面的总（净余）磁化电流（净余）磁化电流（净余）磁化电流（净余）磁化电流定义磁化电流密度定义磁化电流密度定义磁化电流密度定义磁化电流密度J JMM 磁化电流不会出现在均匀介质内部，只出现在介质表面。磁化电流不会出现在均匀介质内部，只出现在介质表面。磁化电流不会出现在均匀介质内部，只出现在介质表面。磁化电流不会出现在均匀介质内部，只出现在介质表面。31 变化的电场诱导极化电流变化的电场诱导极化电流变化的电场诱导极化电流变化的电场诱导极化电流 磁场是传导电流、磁化电流和极化电流共同激发的结果磁场是传导电流、磁化电流和极化电流共同激发的结果磁场是传导电流、磁化电流和极化电流共同激发的结果磁场是传导电流、磁化电流和极化电流共同激发的结果 引入磁场强度引入磁场强度引入磁场强度引入磁场强度 极化电流密度极化电流密度极化电流密度极化电流密度 实验表明，对各向同性非铁磁介质实验表明，对各向同性非铁磁介质实验表明，对各向同性非铁磁介质实验表明，对各向同性非铁磁介质 其中其中其中其中 是是是是磁导率，磁导率，磁导率，磁导率， M M 是磁化率。是磁化率。是磁化率。是磁化率。 r r 是是是是相对磁导率。相对磁导率。相对磁导率。相对磁导率。32电磁感应定律电磁感应定律电磁感应定律电磁感应定律Ampere环路环路定理定理定理定理（ Biot-SavartBiot-Savart定律）定律）定律）定律）CoulombCoulomb定律定律定律定律 磁单极子不存在磁单极子不存在磁单极子不存在磁单极子不存在 （Biot-SavartBiot-Savart定律）定律）定律）定律） MaxwellMaxwell方程适用于任意电磁场，一般情形四个方程相互方程适用于任意电磁场，一般情形四个方程相互方程适用于任意电磁场，一般情形四个方程相互方程适用于任意电磁场，一般情形四个方程相互独立（引入位移电流使磁场散度和旋度方程相互独立）。独立（引入位移电流使磁场散度和旋度方程相互独立）。独立（引入位移电流使磁场散度和旋度方程相互独立）。独立（引入位移电流使磁场散度和旋度方程相互独立）。 静电场和静磁场是彼此独立无关的。静电场和静磁场是彼此独立无关的。静电场和静磁场是彼此独立无关的。静电场和静磁场是彼此独立无关的。 描述静电场需要两个方程；描述静磁场的独立方程实际只描述静电场需要两个方程；描述静磁场的独立方程实际只描述静电场需要两个方程；描述静磁场的独立方程实际只描述静电场需要两个方程；描述静磁场的独立方程实际只有一个（散度和旋度方程都可从有一个（散度和旋度方程都可从有一个（散度和旋度方程都可从有一个（散度和旋度方程都可从Biot-SavartBiot-Savart定律导出）。定律导出）。定律导出）。定律导出）。331 1）介质的电磁性质方程（本构方程）介质的电磁性质方程（本构方程）介质的电磁性质方程（本构方程）介质的电磁性质方程（本构方程） 2）欧姆定律（微分形式）欧姆定律（微分形式） 为电导率为电导率 3）电荷守恒定律电荷守恒定律对于带电体中一小体积元对于带电体中一小体积元对于带电体中一小体积元对于带电体中一小体积元 dVdV 引入引入引入引入 Lorentz Lorentz力密度力密度力密度力密度 4 4） LorentzLorentz力密度力密度力密度力密度 公式公式公式公式34常用描述词：（非）均匀、各向同（异）性、（非）线性。常用描述词：（非）均匀、各向同（异）性、（非）线性。常用描述词：（非）均匀、各向同（异）性、（非）线性。常用描述词：（非）均匀、各向同（异）性、（非）线性。1 1）各向异性（线性）介质：）各向异性（线性）介质：）各向异性（线性）介质：）各向异性（线性）介质： i j i j 是张是张是张是张量量量量 2 2）介质在）介质在）介质在）介质在强场下呈现非线形的特征强场下呈现非线形的特征强场下呈现非线形的特征强场下呈现非线形的特征3 3）铁磁和铁电物质的是非线性介质，且铁磁和铁电物质的是非线性介质，且铁磁和铁电物质的是非线性介质，且铁磁和铁电物质的是非线性介质，且“B“BH”H”与与与与“E“ED”D”是非单值是非单值是非单值是非单值关系关系关系关系（磁滞回线、电（磁滞回线、电（磁滞回线、电（磁滞回线、电滞回线滞回线滞回线滞回线）。）。）。）。 35 5 电磁场的边值关系电磁场的边值关系 介质分界面处电场和介质分界面处电场和介质分界面处电场和介质分界面处电场和磁场不连续，微分形式磁场不连续，微分形式磁场不连续，微分形式磁场不连续，微分形式MaxwellMaxwell方程不适用，方程不适用，方程不适用，方程不适用，但积分形式是适用的。但积分形式是适用的。但积分形式是适用的。但积分形式是适用的。 36计算积分计算积分计算积分计算积分在分界面处选一薄层。计算积分在分界面处选一薄层。计算积分在分界面处选一薄层。计算积分在分界面处选一薄层。计算积分 37 介质在界面上出现磁化电流（如右，介质在界面上出现磁化电流（如右，介质在界面上出现磁化电流（如右，介质在界面上出现磁化电流（如右，一磁化铁棒内部分子电流相互抵消，表一磁化铁棒内部分子电流相互抵消，表一磁化铁棒内部分子电流相互抵消，表一磁化铁棒内部分子电流相互抵消，表面出现一宏观电流），面分布磁化电流面出现一宏观电流），面分布磁化电流面出现一宏观电流），面分布磁化电流面出现一宏观电流），面分布磁化电流用线电流密度用线电流密度用线电流密度用线电流密度 （垂直于电流方向的单（垂直于电流方向的单（垂直于电流方向的单（垂直于电流方向的单位长度上通过的电流强度）描述。位长度上通过的电流强度）描述。位长度上通过的电流强度）描述。位长度上通过的电流强度）描述。 如左图，如左图，如左图，如左图，t t n n ，流过，流过，流过，流过 l l 的电流的电流的电流的电流38考虑界面附近一回路考虑界面附近一回路考虑界面附近一回路考虑界面附近一回路对于积分方程对于积分方程对于积分方程对于积分方程积分面积趋于零积分面积趋于零积分面积趋于零积分面积趋于零 将磁场沿垂直和平行于界面分解将磁场沿垂直和平行于界面分解将磁场沿垂直和平行于界面分解将磁场沿垂直和平行于界面分解l l 具有任意性具有任意性具有任意性具有任意性39对于电场，在分界面处，由对于电场，在分界面处，由对于电场，在分界面处，由对于电场，在分界面处，由边值关系为边值关系为边值关系为边值关系为 边值关系实质上是边值关系实质上是边值关系实质上是边值关系实质上是MaxwellMaxwell方程在界面附近的形式。方程在界面附近的形式。方程在界面附近的形式。方程在界面附近的形式。 又又又又40能量密度能量密度能量密度能量密度 ：单位体积中电磁场的能量。：单位体积中电磁场的能量。：单位体积中电磁场的能量。：单位体积中电磁场的能量。 能流密度能流密度能流密度能流密度 S S ：单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方：单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方：单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方：单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方向表示能量传输的方向。向表示能量传输的方向。向表示能量传输的方向。向表示能量传输的方向。 考虑某区域，其表面为考虑某区域，其表面为考虑某区域，其表面为考虑某区域，其表面为 ，区，区，区，区域内有电荷分布和电流分布域内有电荷分布和电流分布域内有电荷分布和电流分布域内有电荷分布和电流分布 电磁场对电荷所做功率为电磁场对电荷所做功率为电磁场对电荷所做功率为电磁场对电荷所做功率为其中，其中，其中，其中，f f 为为为为LorentzLorentz力密度。力密度。力密度。力密度。 6 6 电磁场的能量和能流电磁场的能量和能流 41在单位时间内，在单位时间内，在单位时间内，在单位时间内， 区域内有区域内有区域内有区域内有的电磁（场）能量转化为其他形式能量的电磁（场）能量转化为其他形式能量的电磁（场）能量转化为其他形式能量的电磁（场）能量转化为其他形式能量 区域内电磁（场）能量增加区域内电磁（场）能量增加区域内电磁（场）能量增加区域内电磁（场）能量增加 经表面流入区域的电磁（场）能量经表面流入区域的电磁（场）能量经表面流入区域的电磁（场）能量经表面流入区域的电磁（场）能量 能量守恒定律的积分形式能量守恒定律的积分形式能量守恒定律的积分形式能量守恒定律的积分形式能量守恒定律的微分形式能量守恒定律的微分形式能量守恒定律的微分形式能量守恒定律的微分形式 特例特例特例特例：全空间的能量守恒定律：全空间的能量守恒定律：全空间的能量守恒定律：全空间的能量守恒定律 42利用利用利用利用注意到注意到注意到注意到43 在真空中在真空中 在介质中在介质中线性介质线性介质 一般情形，一般情形，导体内导体内自由电子数密度自由电子数密度10102323/ /cmcm3 3，电子漂移电子漂移速度速度6106105m/sm/s。以截面为。以截面为1 1mm mm 2 2 的导线为例，的导线为例，电流密度电流密度1 1A/mmA/mm2 2的电流每秒输运能量的电流每秒输运能量10102121J J，这不足以供给负载，这不足以供给负载能量消耗（如能量消耗（如 1 1 的的电阻每秒消耗电阻每秒消耗1 1J J 电能）。另外，稳恒电电能）。另外，稳恒电流流 I I 不变，电子运动能量也不是供给负载上消耗的能量。不变，电子运动能量也不是供给负载上消耗的能量。在负载及导线上消耗的电能是通过电磁场传输的。在负载及导线上消耗的电能是通过电磁场传输的。 关于能量密度：关于能量密度：44Ex.Ex. 同轴电缆的能量传输。同轴电缆的能量传输。同轴电缆的能量传输。同轴电缆的能量传输。 内外半径分别为内外半径分别为内外半径分别为内外半径分别为 a a 和和和和 b b，导体间充，导体间充，导体间充，导体间充满绝缘介质，电流满绝缘介质，电流满绝缘介质，电流满绝缘介质，电流为为为为 I I，导线间电压，导线间电压，导线间电压，导线间电压为为为为U U。 采用圆柱坐标，电流方向为采用圆柱坐标，电流方向为采用圆柱坐标，电流方向为采用圆柱坐标，电流方向为 z z （极轴）方向。作一半径极轴）方向。作一半径极轴）方向。作一半径极轴）方向。作一半径为为为为 r r 的圆周，由安培环路定理的圆周，由安培环路定理的圆周，由安培环路定理的圆周，由安培环路定理 导体表面带有电荷，设单位长度的电荷（电荷线密度）导体表面带有电荷，设单位长度的电荷（电荷线密度）导体表面带有电荷，设单位长度的电荷（电荷线密度）导体表面带有电荷，设单位长度的电荷（电荷线密度）为为为为 ，由，由，由，由GaussGauss定理定理定理定理45导线间电压导线间电压导线间电压导线间电压导线间传输功率导线间传输功率导线间传输功率导线间传输功率导线电导率为导线电导率为导线电导率为导线电导率为，导线内电场，导线内电场，导线内电场，导线内电场导线表面附近电场强度切向分量连续，所以在介质表面附导线表面附近电场强度切向分量连续，所以在介质表面附导线表面附近电场强度切向分量连续，所以在介质表面附导线表面附近电场强度切向分量连续，所以在介质表面附近，电场强度切向分量近，电场强度切向分量近，电场强度切向分量近，电场强度切向分量46在介质中，在表面附近，能流密度除了沿电流方向的传输分在介质中，在表面附近，能流密度除了沿电流方向的传输分在介质中，在表面附近，能流密度除了沿电流方向的传输分在介质中，在表面附近，能流密度除了沿电流方向的传输分量外，还有沿径向进入导体的分量量外，还有沿径向进入导体的分量量外，还有沿径向进入导体的分量量外，还有沿径向进入导体的分量进入长度为进入长度为进入长度为进入长度为 l l 的导线内部的功率为的导线内部的功率为的导线内部的功率为的导线内部的功率为这正是该段导线的损耗功率。这正是该段导线的损耗功率。这正是该段导线的损耗功率。这正是该段导线的损耗功率。47