理论力学理论力学 ( II ) 第第 一一 章章 非惯性系中的质点非惯性系中的质点动力学动力学 前面讲过前面讲过, 牛顿第二定律只适用于惯性系牛顿第二定律只适用于惯性系. 如果在非惯性系内建立动力学方程如果在非惯性系内建立动力学方程, 则质量与非惯性系下的加速度乘积的度量则质量与非惯性系下的加速度乘积的度量, 除了与真实力有关除了与真实力有关, 还与非惯性系下还与非惯性系下产生的各种惯性力有关产生的各种惯性力有关.由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式, 有有:第一章第一章 : 非惯性系中的质点动力学非惯性系中的质点动力学1 1 非惯性系中质点动力学的基非惯性系中质点动力学的基 本方程本方程例例一一 . (书上书上P2 例例11) 单摆的摆长为单摆的摆长为L, 小球的质量为小球的质量为m , 其悬挂点其悬挂点O以加速度以加速度 ao 向上运动向上运动. 求此单摆的微振动周期求此单摆的微振动周期.O例例二二. ( 参见书上参见书上 习习 1 4 ) 质点质点M其质量为其质量为m, 被限制在旋转面容器内光滑的经线被限制在旋转面容器内光滑的经线AOB运动运动. 旋转面容器绕旋转面容器绕其几何轴其几何轴Oz 以匀角速度以匀角速度 转动转动.求求: M点相对静止处曲线的切线斜率与回转半径点相对静止处曲线的切线斜率与回转半径r 的关系的关系. 如果如果r为任意值时为任意值时M点点 都静止都静止, 求旋转面经线求旋转面经线AOB的的形状形状.OyxzMrmgAB习习 1 5 . 图示一离心分离机的鼓室图示一离心分离机的鼓室, 鼓室的半径为鼓室的半径为R , 高为高为H . 以匀角速度以匀角速度 绕绕 Oy 轴轴转动转动. 当鼓室无盖时当鼓室无盖时, 为使被分离的液体不致溢出为使被分离的液体不致溢出. 试求试求:(1)鼓室旋转时鼓室旋转时, 在平面内液面所形成的曲线形状在平面内液面所形成的曲线形状.(2)注入液体的最大高度注入液体的最大高度H . yxhHoRmgFH h 认识地球上的认识地球上的 科氏惯性力科氏惯性力 在在非非惯性系下的力学系统惯性系下的力学系统, 无论处于什么状态无论处于什么状态, ( 静止、运动静止、运动 ) 必存在着惯性力必存在着惯性力. 这些惯这些惯性力所产生的力学效应性力所产生的力学效应, 可以通过相关的仪器测出可以通过相关的仪器测出, 或可以通过人的感官感觉到或可以通过人的感官感觉到. 公共汽车在转弯的时候对车上的物体作用有离心惯性力公共汽车在转弯的时候对车上的物体作用有离心惯性力, 这已是常识这已是常识. 还有一些感觉是一般人体会不到的还有一些感觉是一般人体会不到的 . 飞机加速上升飞机加速上升, 使人身上的血往下流使人身上的血往下流, 脑中失血脑中失血, 眼睛失明眼睛失明 这就是飞行中的这就是飞行中的 黑晕黑晕 现象现象. 飞机加速下降飞机加速下降, 使人身上的血往上流使人身上的血往上流, 脑中充血脑中充血, 眼睛红视眼睛红视 这就是飞行中的这就是飞行中的 红视红视 现象现象. 地球本身就是一非惯性系地球本身就是一非惯性系, 而且是一有转动的非惯性系而且是一有转动的非惯性系. 所以所以, 严格地讲严格地讲,以以 地球作地球作为为参照参照 系系 的上的力学现象中的上的力学现象中, 应有牵连惯性力和科氏惯性力的效应应有牵连惯性力和科氏惯性力的效应. 如果考察地球上局部空间内的力学现象如果考察地球上局部空间内的力学现象, 把地球的这一部分运动空间视为把地球的这一部分运动空间视为 匀速直匀速直线平动线平动, 则许多力学现象的分析与计算结果是可用的则许多力学现象的分析与计算结果是可用的. 但是但是, 对于一些精确的力学问题对于一些精确的力学问题, 以及大尺度的力学问题以及大尺度的力学问题, 必须考虑相应的惯性力必须考虑相应的惯性力.对于地球上的许多大尺寸的运动学问题对于地球上的许多大尺寸的运动学问题, 科氏惯性力的影响不容忽视科氏惯性力的影响不容忽视. 下面下面, 我们来研究我们来研究地球上物体的运动与科氏惯性力地球上物体的运动与科氏惯性力.建立地面坐标系如图示建立地面坐标系如图示质点相对于地球的运动微分方程为质点相对于地球的运动微分方程为即即为为:Rxyzo( I ) 式的投影方程为式的投影方程为: 自由落体偏东自由落体偏东设设运动初始条件运动初始条件:将将( 1 ) 、( 3 ) 式分别积分式分别积分:由初始条件可得由初始条件可得: A = 0, B = 0代入代入( 2 ) 式整理可得式整理可得:其解其解为为:Rxyzo代入代入可得可得同理同理可得可得:Rxyzo这就是考虑科氏惯性力影响的自由落体公式这就是考虑科氏惯性力影响的自由落体公式这里这里, 地球的自转的角速度地球的自转的角速度借助于幂级数借助于幂级数, 我们来分析上面的方程我们来分析上面的方程.取取代入代入 ( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 式式 可得可得: Rxyzo如果不考虑地球的角速度如果不考虑地球的角速度, 即是略去即是略去 、 项项, 则有则有:从这几组从这几组方程可明确得知方程可明确得知: 自由落体运动自由落体运动, 在考虑地球的在考虑地球的自转效应时自转效应时, 落到地面后位置偏落到地面后位置偏东东, 若在精确一点讲若在精确一点讲, 还有一点还有一点偏南偏南(北半球北半球) 或偏北或偏北( 南半球南半球) . ( 只有两极处无此现象只有两极处无此现象 ) Rxyzo 竖直上抛物体落点偏西竖直上抛物体落点偏西由由初始条件初始条件: 重复前面的解题过程可得重复前面的解题过程可得:取取代入代入 上上 式式 可得可得: Rxyzo若若去掉去掉 以上的项则有以上的项则有:( 物体返回地面物体返回地面 )( 落地偏西落地偏西 )Rxyzo1 2 非惯性系中的动能定理非惯性系中的动能定理前面我们使用的动能定理是在惯性参考系下成立的前面我们使用的动能定理是在惯性参考系下成立的, 它只适合于惯性系它只适合于惯性系. 对于在非惯性系下运动的物体对于在非惯性系下运动的物体, 质点在此参考系下的动能的变化质点在此参考系下的动能的变化, 除与真实力除与真实力的功有关的功有关, 还与惯性力的功有关还与惯性力的功有关.质点的相对运动的动力学方程可以写为质点的相对运动的动力学方程可以写为:注意注意: 表示相对矢量在动系表示相对矢量在动系( 这里指非惯性参考系这里指非惯性参考系)内的改变量内的改变量. ( 这种记法诣在与第八章的记法一致这种记法诣在与第八章的记法一致, 想必不难理解想必不难理解.)显然显然, 就是质点的相对位移就是质点的相对位移.将将(A)式两端同乘式两端同乘注意注意: 两端积分可得两端积分可得:质点在非惯性系中的动能的微分质点在非惯性系中的动能的微分, , 等于作用于质点上的真实力与牵连惯性等于作用于质点上的真实力与牵连惯性力在相对运动中的元功之和力在相对运动中的元功之和. .质点在非惯性系中的相对动能的改变量质点在非惯性系中的相对动能的改变量, , 等于作用于质点上的真实力与牵等于作用于质点上的真实力与牵连惯性力在相对运动的路程上所作的功之和连惯性力在相对运动的路程上所作的功之和. .例例1 4 一平板与水面成一平板与水面成 角角, 板上有一质量为板上有一质量为 m 的小球的小球, 如图示如图示. 若不计摩若不计摩 擦等阻力擦等阻力, 问平板以多大的加速度向右平移时问平板以多大的加速度向右平移时, 小球能保持相对静止小球能保持相对静止? 若平若平 板又以这个速度的两倍向右平移时板又以这个速度的两倍向右平移时, 小球沿板向上运动小球沿板向上运动. 问小球沿板走了问小球沿板走了l 距离后距离后, 小球的相对速度是多少小球的相对速度是多少? xyo xyo解解: (1) 令板向右平移令板向右平移, 则无科氏惯则无科氏惯 性力性力.若若相对静止相对静止, 则受力如图则受力如图 由由几何法可得几何法可得:( 2 ) 若板的平移加速度若板的平移加速度而小球沿板走了而小球沿板走了l 距离距离 xyo l则则牵连惯性力牵连惯性力由相对运动的动能定理由相对运动的动能定理:例例 1 5 半径为半径为 R 的环形管的环形管, 绕铅垂轴绕铅垂轴 z 以匀角速度以匀角速度 转动转动. 管内有一质量为管内有一质量为 m 的小球的小球, 原在最低处平衡原在最低处平衡. 小球受微小干扰而沿圆管上升小球受微小干扰而沿圆管上升, 忽略管壁的摩擦忽略管壁的摩擦, 求小球能达到的最大偏角求小球能达到的最大偏角.解解: 设小球能达到的最大偏角为设小球能达到的最大偏角为 R 由由相对运动的动能定理相对运动的动能定理小球受力如图示小球受力如图示:其中其中, R 从从实际意义分析实际意义分析, 0 90 即即当当小球总在最低处小球总在最低处.