第2课时 排列与排列数公式1.1.理解并掌握排列数公式理解并掌握排列数公式2.2.会推导排列数公式会推导排列数公式3.3.能利用排列数公式进行求值和证明能利用排列数公式进行求值和证明. . 1.1.本节重点是应用排列数公式求值或证明本节重点是应用排列数公式求值或证明. .2.2.本节难点是排列数公式的推导本节难点是排列数公式的推导. .排列数及排列数公式排列数及排列数公式排列数排列数定义定义 排列数排列数表示法表示法 排排列列数数公公式式 乘积乘积式式 阶乘阶乘式式 性质性质 备注备注 n,mn,mN N* *,m,mn n n!n!1 1=_,0!=_=_,0!=_从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mm(mn n) )个元素的个元素的所有所有不同排列不同排列的个数叫做从的个数叫做从n n个不同元素个不同元素中取出中取出m m个元素的排列数个元素的排列数. .1.1.对于式子对于式子 中的中的x x有什么限制？有什么限制？提示：提示：x3x3，xNxN* *. .2.2.用数字用数字1,2,31,2,3组成三位数，其个数是否为组成三位数，其个数是否为 ？为什么？为什么？提示：提示：不是，不是， 只是各位上的数字不相同的三位数的个数，数只是各位上的数字不相同的三位数的个数，数字相同时，也适合题意，如：字相同时，也适合题意，如：111,121111,121等，应该用乘法原理求等，应该用乘法原理求解为：解为：3 33 327.27. 3.3.排列数排列数 是几个因式的乘积？是几个因式的乘积？提示：提示：从从n-m+1n-m+1到到n n共有共有m m个因式相乘个因式相乘. .4.894.8990909191100100可表示为可表示为_._.【解析【解析】由排列数公式可知，由排列数公式可知，898990909191100= .100= .答案：答案：5.5.若若 =17=17161615155 54 4，则，则n=_,n=_,m=_.m=_.【解析【解析】由排列数公式可知由排列数公式可知n=17n=17，m=17-4+1=14.m=17-4+1=14.答案：答案：17 1417 141.1.排列与排列数的区别排列与排列数的区别排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数. .2 2准确理解排列数公式准确理解排列数公式(1)(1)公式中的公式中的n n，m m应该满足应该满足n,mNn,mN* *，mnmn，当，当mnmn时不成立时不成立(2)(2)排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积，排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是其特点是：第一个因数是n(n(下标下标) )，后面的每一个因数都比它，后面的每一个因数都比它前面的因数少前面的因数少1 1，最后一个因数为，最后一个因数为n-mn-m1(1(下标下标- -上标上标1)1)，共，共有有m(m(上标上标) )个连续自然数相乘个连续自然数相乘(3)(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式它是一个分式的形式，分子是下标乘式它是一个分式的形式，分子是下标n n的阶乘，分母是下的阶乘，分母是下标减上标即标减上标即(n-m(n-m) )的阶乘的阶乘(4)(4)特别地，规定特别地，规定0 0！1.1.这只是一种规定，不能按阶乘的含义这只是一种规定，不能按阶乘的含义作解释作解释 3 3排列数公式的应用排列数公式的应用(1)(1)排列数的第一个公式排列数的第一个公式 =n(n-1)(n-2)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n,mN(n-m+1)(n,mN* *, , mnmn) )适用于具体计算以及解当适用于具体计算以及解当m m较小时的含有排列数的方程和较小时的含有排列数的方程和不等式；在运用该公式时要注意它的特点是：从不等式；在运用该公式时要注意它的特点是：从n n起连续写出起连续写出m m个自然数的乘积即可个自然数的乘积即可(2)(2)排列数的第二个公式排列数的第二个公式 适用于与排列数有关的适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件公因式再计算，同时还要注意隐含条件“m mn n且且n n，m mN N* *”的的运用运用 有关排列数的计算有关排列数的计算【技法点拨【技法点拨】排列数的计算方法排列数的计算方法(1)(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数列元素的总个数，而正整数( (因式因式) )的个数是选取元素的个数，的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用这是排列数公式的逆用. .(2)(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量. .【典例训练【典例训练】1.(20121.(2012梅州高二检测梅州高二检测)nN)nN* *，则，则(20-n)(21-n)(20-n)(21-n)(100-n)(100-n)等等于于( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)2.2.计算：计算： _._.3.3.计算：计算：【解析【解析】1.1.选选C.C.由排列数公式知乘积式中第一个数为由排列数公式知乘积式中第一个数为100-n.100-n.(100-n)-(20-n)+1(100-n)-(20-n)+18181个数，个数，所以所以(20-n)(21-n)(20-n)(21-n)(100-n)(100-n)2.2.答案答案：3.3.方法一：方法一：方法二：方法二：【思考【思考】解决有排列数问题的关键是什么？形如题解决有排列数问题的关键是什么？形如题3 3的解题方的解题方法如何？法如何？提示：提示：(1)(1)解决此类问题的关键是对排列数公式形式特点的把解决此类问题的关键是对排列数公式形式特点的把握，题握，题1 1是公式的逆用是公式的逆用, ,题题2 2是公式的直接应用，题是公式的直接应用，题3 3是公式的灵是公式的灵活应用活应用. .(2)(2)形如题形如题3 3形式的计算，可采用排列数公式的第二种形式形式的计算，可采用排列数公式的第二种形式. .这这样会使运算量大大减少，加快解答速度样会使运算量大大减少，加快解答速度. .要注意通分时，将含要注意通分时，将含有阶乘的公因式及时提出，然后再进行合并计算有阶乘的公因式及时提出，然后再进行合并计算. . 排列数公式在解方程、不等式中的应用排列数公式在解方程、不等式中的应用 【技法点拨技法点拨】解排列数方程的步骤解排列数方程的步骤 检验检验解方解方程程转化转化将排列数方程转化将排列数方程转化为普通方程为普通方程求转化后的普通方求转化后的普通方程的解程的解代入原方程中检验，尤其注代入原方程中检验，尤其注意条件意条件nm,且且m,nN*.对对未知数取值的限制未知数取值的限制 【典例训练【典例训练】1.1.已知已知 ，则，则loglogn n2525的值为的值为( )( )(A)1 (B)2 (C)4 (D)(A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定不确定2.2.解下列方程或不等式：解下列方程或不等式：(1) (1) ；(2) (2) 【解析【解析】1.1.选选B.B.因为因为 ，所以，所以2n2n(2n-1)(2n-1)(2n-2)(2n-2)=2(n+1)=2(n+1)n n(n-1)(n-1)(n-2)(n-2)，由题意知，由题意知n3n3，整理方程，解得，整理方程，解得n=5n=5，所以，所以loglogn n25=2.25=2.2.2.解题流程：解题流程： (1)(1)解方解方程程代公代公式式求范求范围围 x3,xNx3,xN* * 由由 得得(2x+1)2x(2x-(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2). 1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2). 化简得，化简得，4x4x2 2-35x+69-35x+69=0=0，解，解得，得，x x1 1=3,x=3,x2 2= (= (舍舍) )方程的解为方程的解为x=3. x=3. (2) (2) 解方解方程程代公代公式式求范求范围围由由 得得3x8 ,xN3x8 ,xN* * 化简得，化简得，x x2 2-19x+84-19x+840 0，解，解得，得，7 7 x x1212，x=8. x=8. 【想一想【想一想】在解有关排列数的方程或不等式时，应注意什么？在解有关排列数的方程或不等式时，应注意什么？提示：提示：在解有关排列数的方程或不等式时，应注意隐含条件，在解有关排列数的方程或不等式时，应注意隐含条件，即即 中的中的n n必须是自然数，必须是自然数，m m为非负整数，且为非负整数，且nmnm，因此求出，因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去. . 利用排列数公式进行化简和证明利用排列数公式进行化简和证明【技法点拨【技法点拨】排列数的化简与证明排列数的化简与证明应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系联系. .解题时要灵活地运用如下变式：解题时要灵活地运用如下变式：n!=n(n-1)!n!=n(n-1)!；n nn!=(n+1)!-n!n!=(n+1)!-n!；【典例训练【典例训练】1.1.下列与下列与 的值相等的是的值相等的是( )( )(A)(A) (B) (C) (D)(n-1) (B) (C) (D)(n-1)2.2.计算：计算： =_.=_.3.3.证明：证明：【解析【解析】1.1.选选. =(n+1). =(n+1)n n(n-1)(n-1)3 32 21,1,而而 =(n+1)=(n+1)n n(n-1)(n-1)3 3，故错误；，故错误； =n =nn n(n-1)(n-1)3 32 21 1，故，故C C错误；错误；(n-1) =(n-1)(n-1) =(n-1)n!n!=(n-1)=(n-1)n n(n-1)(n-1)3 32 21 1，故错误，故错误. .2. ,2. ,= = =答案答案： 3.3.左边左边= = = = = =右边右边= =所以所以 【归纳【归纳】解决此类问题的方法和技巧解决此类问题的方法和技巧. .提示：提示：解决此类问题时要合理利用公式，如题解决此类问题时要合理利用公式，如题2 2运用了运用了 使问题的解决简便快捷使问题的解决简便快捷. .同时，还应记住一些同时，还应记住一些排列数的性质：如排列数的性质：如【易错误区【易错误区】 忽视排列数中的隐含条件致误忽视排列数中的隐含条件致误【典例【典例】已知已知 ，则，则n n为为( )( )(A)7(A)7，8 8，9 9，1010，1111，1212(B)8(B)8，9 9(C)7(C)7，8 8(D)7(D)7【解题指导【解题指导】【解析【解析】选选C.C.由排列数公式得，由排列数公式得，即即化简为化简为n n2 2-19n-19n780780，6n13,6n13,nNnN* *，n n7,8,9,10,11,12.7,8,9,10,11,12.由排列数的意义，可知由排列数的意义，可知n8n8且且n-19n-19，即即n8n8，6n8.6n8.又又nNnN* *，nn7 7或或n n8. 8. 【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：题启示总结如下：( (注：此处的注：此处的见解析过程见解析过程) )常常见见错错误误 选选A A 解答本题过程中若能通过计算求得解答本题过程中若能通过计算求得6n136n13，得到，得到处处n n的可能取值，但没有考虑到的可能取值，但没有考虑到处处n n的范围，则会的范围，则会误认为结果是误认为结果是7,8,9,10,11,12.7,8,9,10,11,12. 选选D D 解答本题过程中若忽视排列数解答本题过程中若忽视排列数 中的条件中的条件n nmm，则导致则导致处误写成处误写成n n8 8且且n-1n-19 9，得出，得出n=7n=7的错误的错误结果结果. . 解解题题启启示示 (1)(1)公式公式 常用来证明和化简常用来证明和化简. .(2)(2)利用排列数公式解决不等式或方程问题时，注意公式成立的利用排列数公式解决不等式或方程问题时，注意公式成立的前提条件是前提条件是n,mNn,mN* *,mn,mn. . 【即时训练【即时训练】不等式不等式 的解集为的解集为_._.【解析【解析】由由 ，得，得 ，整理得，整理得x x2 2-21x+104-21x+1040 0，即，即(x-8)(x-13)(x-8)(x-13)0 0，xx8 8或或x x13.13.又又 且且xNxN* *,2,2x9x9，22x x8,8,原不等式的解集为原不等式的解集为3,4,5,6,7.3,4,5,6,7.答案：答案：3,4,5,6,73,4,5,6,71.1.与与 不相等的是不相等的是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析解析】选选B. =10B. =109 98 81=10!,1=10!,而而 =9=99 98 87 7110!. 110!. 2.2.从从5 5本不同的书中选出本不同的书中选出2 2本送给本送给2 2名同学，每人一本，共有多名同学，每人一本，共有多少种给法少种给法( )( )(A)5(A)5种种 (B)10(B)10种种 (C)20 (C)20 种种 (D)60 (D)60 种种【解析【解析】选选C.C.由排列数定义知，共有由排列数定义知，共有 =5=54=20(4=20(种种).).3.3.计算：计算： =_,6!=_,6!=_.=_.【解析【解析】 =10=109 98=7208=720；6 6! !=6=65 54 43 32 21=720.1=720.答案：答案：720 720720 7204.4.从从4 4个人中选出个人中选出3 3人的排列有人的排列有_种种. .【解析【解析】由排列数定义知，由排列数定义知， =4=43 32=24.2=24.答案答案：24245.5.解方程：解方程：【解析解析】3n(n-1)(n-2)=2(n+1)n+6n(n-1)3n(n-1)(n-2)=2(n+1)n+6n(n-1)，化简得化简得3n3n2 2-17n+10=0-17n+10=0，解得解得n=5( n=5( 舍去舍去).).