第一第一节 中中值定理定理第三章第三章 中中值定理与定理与导数的数的应用用y=f(x)预备知识预备知识一、一、罗尔(Rolle)定定理理AB( (几何解释）几何解释）罗尔定理罗尔定理 若函数若函数 f(x)满足满足证：证：证证即为方程的小于即为方程的小于1 1的正实根的正实根. .矛盾矛盾, ,一个小于一个小于1 的正实根的正实根例例1 证明方程证明方程有且仅有有且仅有注意注意: :若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, ,y=f(x)y=f(x)y=f(x)其结论可能不成立。其结论可能不成立。二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中中值定理定理( (几何解释几何解释) )拉格朗日定理拉格朗日定理若函数若函数 f (x) 满足满足拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式推论推论 若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续, 在在(a,b)内内恒有恒有则函数则函数 f(x) 在在a,b上是一个常数上是一个常数.故故 f(x) 是一个常数是一个常数 f(x) 在在x1,x2连续，在连续，在(x1,x2)可导，可导，例例2 2证证例例3 3证证:由上式得由上式得 f(t) 在在0,x连续，在连续，在(0,x)可导，可导，三、柯西三、柯西(Cauchy)中中值定理定理柯西定理柯西定理如果函数如果函数 f (x)、F(x)满足满足使等式使等式 成立成立 （1）在闭区间）在闭区间a, b上连续上连续,（2）在开区间）在开区间(a, b)内可导内可导,且在且在(a, b)内每一点处内每一点处均不为零，均不为零，则在则在(a, b)内至少有一点内至少有一点 ,分析分析:证证 设设罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理注：注：四：小四：小结A几何解释：几何解释： 一条连续曲线一条连续曲线AB ，若除端点外，处处有，若除端点外，处处有不垂直于不垂直于x 轴切线，则该曲轴切线，则该曲线上至少有一点的切线平线上至少有一点的切线平行于端点连线行于端点连线AB。B证证例例6 6证证 分析分析: :结论可变形为结论可变形为