1/26牛顿迭代法牛顿迭代法Newton迭代格式迭代格式Newton迭代法的收敛性迭代法的收敛性弦截法迭代格式弦截法迭代格式数值实验题介绍数值实验题介绍2/26初值初值: x1迭代格式迭代格式: xn+1=0.5(xn+2/xn) (n = 1,2,)平方根算法求平方根算法求 xn Error1.416666666666667 2.45e-0031.414215686274510 2.12e-0061.414213562374690 1.59e-0121.414213562373095 2.22e-0161.414213562373095 2.22e-016牛顿牛顿(Newton)(Newton)迭代法迭代法 3/24基本思想：基本思想： 将方程将方程 f( (x)=0中函数中函数 f( (x) )线性化线性化, ,以线性方程的解逼以线性方程的解逼近非线性方程的解近非线性方程的解. 设函数设函数 f( (x)在有根区间在有根区间 a, ,b 二次连续可微二次连续可微, ,则则 f( (x)在在x0处的泰勒展开式为处的泰勒展开式为: :只取关于只取关于x线性项，有线性项，有 设设 ，其解记为，其解记为 (*) 4/24牛顿迭代法的几何意义牛顿迭代法的几何意义 y xO x0 x1 x2图图2.3牛顿迭代法在单变量情况下又称为切线法牛顿迭代法在单变量情况下又称为切线法. (*) 迭代格式迭代格式( (*)称为称为牛顿迭代法牛顿迭代法. . 构造构造迭代格式迭代格式： 5/26设设C 0,x2 C = 0令令 f(x) = x2 C , 则则应用应用求正数平方根算法求正数平方根算法返回6/24例例1 1 设设C0，证明由迭代格式，证明由迭代格式 ( ( n= 0，1，)产生的迭代序列产生的迭代序列 xn，对任意的，对任意的x00，均，均收敛于收敛于 ; ;且且具有具有 2 阶收敛速度阶收敛速度。分析分析：由迭代格式，有：由迭代格式，有 返回7/24证明：由迭代格式，有证明：由迭代格式，有 等式两端同减等式两端同减 ，配方得，配方得 同理有同理有 返回8/24将上面两式相除有 反复递推，得 令 则有 化简得 9/26由此可知由此可知, 平方根迭代具有平方根迭代具有 2 阶收敛速度阶收敛速度 10/26NewtonNewton迭代法的局部收敛性迭代法的局部收敛性定理定理 2.7 设设 f(x) 在点在点x*的某邻域内具有二阶连的某邻域内具有二阶连续续导数导数, ,且且设设 f(x*)=0, f (x*) 0, 则对充分靠近点则对充分靠近点x*的初值的初值x0, Newton迭代法至少平方收敛迭代法至少平方收敛.所以所以, Newton迭代法至少平方收敛迭代法至少平方收敛。 11/26例例2. 求求 f(x)=xex 1= 0 在在 x0=0.5 附近的根附近的根解解: 迭代格式为迭代格式为(n = 0, 1, )f=inline(x*exp(x)-1);f1=inline(x+1)*exp(x);x0=0.5;er=1;k=0; x=x0-f(x0)/f1(x0); er=abs(x-x0) x0=x;k=k+1end k=41012/26缺陷缺陷1.被零除错误被零除错误2.程序死循环程序死循环y = arctan x方程方程: f(x)=x3 3x + 2 = 0在重根在重根x*=1附近附近,f(x)近似为零近似为零对对 f(x) = arctan x存在存在 x0,Newton迭代迭代法陷入死循环法陷入死循环13/24例例3 用牛顿迭代法解方程 f（x）= x3 x 3= 0 . x1= 3，x2= 1.9615，x3= 1.1472 ，x4= 0.0066， 数列中的项以四项为一个周期重复（死循环）数列中的项以四项为一个周期重复（死循环）. . 取取 x0=0,(n = 0, 1, )14/24例例4 用牛顿迭代法解方程 f（x）= x e x=0. 初值取x0= 2 ，x1= 4，x2，x15， f（x15） 15/26f0 f0, f”0 f0, f”0 f0, f”0 牛顿迭代法收敛的四种情况牛顿迭代法收敛的四种情况16/26定理定理: : 若函数若函数f(x) 在在a，b 上满足条件上满足条件则则方方程程 f(x) = 0 在在a，b 上上有有唯唯一一根根 x*，且且由由初初值值x0按按牛牛顿顿迭迭代代公公式式求求得得的的序序列列 xn 二二阶收敛于阶收敛于x*。 （1）f(a) f(b) 0。17/2618/26设设x*是方程是方程 f(x)=0 的根的根, x0和和x1是是x*附近附近的两个点的两个点.NewtonNewton迭代法的变形弦截法迭代法的变形弦截法曲线曲线 y=f(x) 在点在点(x0, f(x0)和点和点 (x1,f(x1)处处的割线与的割线与X轴交点轴交点 f(x) = 0 19/26 ( n =1,2, )例例2.8 确定悬链线方程确定悬链线方程 已知已知 y(50)=y(0)+10求解方程求解方程: a=20/26f=inline(u.*cosh(50/u)-u-10);a0=120;a=150;k=1;y0=f(a0);y=f(a); t=a-y*(a-a0)/(y-y0); a0=a;y0=y; a=t;y=f(a); k=k+1;endAnsf=inline(u.*cosh(50/u)-u-10);f1=inline(cosh(50/u)- 50*sinh(50/u)/u-1);a0=150;y0=f(a0);k=1;er=1; t=a0-f(a0)/f1(a0); er=abs(t-a0);a0=t;k=k+1;endAns割线法割线法:切线法切线法:21/243计算重根的牛顿迭代法计算重根的牛顿迭代法 如果x*为f(x)的m重零点，此时有 显然x*为 的单根，相应的牛顿迭代格式： 该迭代格式具有至少二阶收敛性质，但不知道重数m，因而难以直接使用. 22/243计算重根的牛顿迭代法计算重根的牛顿迭代法 利用 f(x) 的重根分解式，得 得到修正的牛顿迭代法:该迭代格式至少是二该迭代格式至少是二该迭代格式至少是二该迭代格式至少是二阶收敛阶收敛阶收敛阶收敛 23/26牛顿迭代法的收敛域问题牛顿迭代法的收敛域问题: : 用用牛牛顿顿迭迭代代法法求求解解复复数数方方程程 z3 1 = 0，该该方方程程在在复平面上三个根分别是复平面上三个根分别是z1 = 1选择中心位于坐标原点，边长选择中心位于坐标原点，边长为为2 2的正方形内的任意点作初始的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标根的初值分为三类，并分别标上不同颜色（例如红、黄、蓝）上不同颜色（例如红、黄、蓝）。对充分多的初始点进行实验，。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图敛域彩色图。 24/26收敛到收敛到 z1 的牛顿迭代初值点集合的牛顿迭代初值点集合收敛到收敛到 z2 的牛顿迭代初值点集合的牛顿迭代初值点集合收敛到收敛到 z3 的牛顿迭代初值点集合的牛顿迭代初值点集合25/26在复平面内在复平面内, ,有一些例外点是牛顿迭代不收敛的初有一些例外点是牛顿迭代不收敛的初值点值点. . 这些例外点构成了朱莉娅集这些例外点构成了朱莉娅集(为纪念法国女为纪念法国女数学家数学家Julia).26/26作业：用牛顿法或二分法求下面非线性方程组的作业：用牛顿法或二分法求下面非线性方程组的根根交作业邮箱：交作业邮箱：邮件主题：邮件主题：学号学号+姓名姓名+第几次作业第几次作业