静电场的边值问题静电场的边值问题一般情况下电位或场强满足两个方程无源Laplaces Equation有源Poissions Equation边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程Poissions Equation+边界条件Laplaces Equation +边界条件静电场边值问题电场边值问题的分类电场边值问题的分类第1类: 已知整个边界上的电位已知整个边界上的电位（Dirichlet Problems）第2类: 已知整个边界上电位的法已知整个边界上电位的法向导数向导数Neumann Problems 第3类: 已知边界上电位已知边界上电位+边界电位边界电位 法向导数的值法向导数的值Hybrid Problems静电场边值问题5.3 一维场一维场直接积分直接积分例1. 求同轴线中的电场分布，已知内半径a外半径b，内导体电位U，外导体为0。 在柱坐标系下，柱对称下拉普拉斯方程r r 0 0代入边界条件代入边界条件: : r=ar=a时时y=y=UU，r=br=b时时y y=0=0，C C1 1=?, =?, C C2 2=?=?静电场边值问题得得：则：（柱坐标下）（柱坐标下）静电场边值问题例 2已知：导体球，半径a，球体电位U 。求：球外的电位？分析：球对称球坐标系下，电位只与半径有关则：则：直接积分得：直接积分得：静电场边值问题利用边界条件确定两个待定常数利用边界条件确定两个待定常数r=ar=a时时y=y=UU，r=r=时时y y=0=0，得，得C C1 1, , C C2 2静电场边值问题例3. 同轴电缆，填充两种介质，内导体电位为U ,外导体接地。求电位。由于对称性，电位与j、z座标无关，仅与r相关柱座标系下拉氏方程静电场边值问题解得：解得：利用边界条件：利用边界条件：根据以上条件求出系数就得到介质中电位。根据以上条件求出系数就得到介质中电位。静电场边值问题内容主要包括内容主要包括:二维拉氏方程直角坐标系下柱坐标系下未包括：二维球坐标系下拉氏方程三维Laplace方程求解泊松方程（非齐次方程）求解5.4 分离变量法求解拉氏方程分离变量法求解拉氏方程静电场边值问题分离变量法的主要思想分离变量法的主要思想将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量和参数的常微分方程；运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程；利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解；最后将这些通解“组装”起来。静电场边值问题笛卡儿坐标系中分离变量法求解笛卡儿坐标系中分离变量法求解令：两边同时除以：静电场边值问题三项中每一项必须是常数！三项中每一项必须是常数！令：静电场边值问题的求解的求解1. 如果(k为正实数)2. 如果3. 如果( (k k为正实数为正实数) )静电场边值问题确定Y和Z通解的步骤类似最后再将X、Y、Z的通解“组装”在一起最后代入边界条件确定待定常数静电场边值问题P108页电势满足方程：电势满足方程：分离变量得：分离变量得：静电场边值问题解得：解得：静电场边值问题腔内电势解腔内电势解由二维傅里叶变换得由二维傅里叶变换得静电场边值问题一、求解矩形区域的Laplace方程微波导和光波导器件的 横截面常是矩形, 其中的电磁场模式多是横电波或横磁波, 即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化;此时求解矩形区域的Laplace方程是研究波导中场量和模式的重要手段。静电场边值问题举例. 如图的波导中求解电位静电场边值问题求解求解求解求解v v( (x,yx,y) )设解为：设解为：代入上面关于代入上面关于v v的方程得：的方程得：先求解哪一个？先求解哪一个？与齐次边界有关的那个。与齐次边界有关的那个。静电场边值问题 本征函数为：本征函数为：本征值为：将本征值将本征值l ln n代入代入 Y Y 的方程，可得通解：的方程，可得通解：于是由叠加原理得到v的通解为：静电场边值问题将另一对边界条件代入方程的通解得：将另一对边界条件代入方程的通解得：上两式实际上是上两式实际上是u u0 0和和UU0 0展开后的正弦级数展开后的正弦级数, , 于是于是联立上两式可得联立上两式可得A An n和和B Bn n, , 从而原方程的解得以确定。从而原方程的解得以确定。静电场边值问题上题中边界处的上题中边界处的电位分布电位分布探讨一下边界处分布函数的形状：探讨一下边界处分布函数的形状：静电场边值问题求解步骤求解步骤正确写出方程和边界条件；在齐次化边界条件下利用分离变量法求解；利用齐次边界条件求特征值、特征函数；写出通解形式代入边界，求待定系数。静电场边值问题二、求解柱坐标系下的Laplace方程此时求解圆形区域的Laplace方程是研究场量和模式的重要手段。在最常见的微波传输线(铜轴线)和最常见的光传输线(光纤)中，横截面都是圆形，其中的电磁场模式也大多是横电波或横磁波，即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化；静电场边值问题求解柱坐标系下的Laplace方程电位只与 r 有关电位只与 r、z 有关电位只与 r、j 有关静电场边值问题只与只与 r、z 有关有关的的Laplace方程方程 当当 =0=0时：时： 当当 00时：时：若要在圆柱上下底面满足齐次边界条件若要在圆柱上下底面满足齐次边界条件, , 则则 m m不可能不可能0.0.求解圆柱内部问题求解圆柱内部问题( (包含圆柱轴线包含圆柱轴线r r=0)=0)时时, , 为了满足自然边为了满足自然边界条件界条件, , NNn n( (. .) )项应舍去项应舍去. .静电场边值问题 当当m m 00时：时：R R( (r r) )没有实的零点没有实的零点, , 如果要求如果要求 u u 在圆柱侧面在圆柱侧面r r= =a a 满足齐次满足齐次边界条件，则应排除边界条件，则应排除 00的可能。的可能。求解圆柱内部问题求解圆柱内部问题( (包含圆柱轴线包含圆柱轴线r r=0)=0)时时, , 为了满足自然边为了满足自然边界条件界条件, , K Kn n( (. .) )项应舍去项应舍去. .静电场边值问题一般解为一般解为：1)如果考虑圆内问题则其解为如果考虑圆内问题则其解为2)如果考虑圆外问题则其解为如果考虑圆外问题则其解为3)如果考虑是圆环问题，则其解为如果考虑是圆环问题，则其解为一般解一般解，其中，其中的系数由边界条件确定的系数由边界条件确定。3. 电位只与电位只与 r、j j 有关有关静电场边值问题3. 球坐标系下球坐标系下与与j j无关时（轴对称情况）无关时（轴对称情况）球内电位取有限值（球内电位取有限值（r=0r=0电位有限）电位有限）球外电位取有限值（球外电位取有限值（r r取无穷大电位有限）取无穷大电位有限）静电场边值问题例1. 解题时首先看能否化简已知：已知：很长很长的同轴电缆，内导体半径为的同轴电缆，内导体半径为a, a,维持电位维持电位V V0 0，外导体半径为，外导体半径为b b，接地。，接地。求：导体区域内的电位分布？求：导体区域内的电位分布？分析：柱座标，电位对称，仅与分析：柱座标，电位对称，仅与r r有关有关静电场边值问题例2. 书p136例5.6静电场边值问题三. 球坐标系下的二维Laplace方程自学内容静电场边值问题什么是什么是“镜像法镜像法”？用适当的用适当的镜像电荷镜像电荷( (Image-ChargesImage-Charges) )代替边界代替边界，求解电位分布的方法。求解电位分布的方法。“镜像法镜像法”的依据的依据“唯一性定理唯一性定理”Uniqueness TheoremUniqueness Theorem“ “镜像法镜像法” ”思路思路用假想的用假想的镜像电荷镜像电荷代替边界上的代替边界上的感应电荷感应电荷保持求解区域中场方程和边界条件不变保持求解区域中场方程和边界条件不变 “ “镜像法镜像法” ”使用范围：使用范围：界面界面几何形状较规范，几何形状较规范，电荷个数电荷个数有限，或分布形式简单有限，或分布形式简单5.5 镜像法Method of ImagesMethod of Images静电场边值问题(1)(1)将导体移走将导体移走, ,在在“ “对称对称” ”点处放置一个点处放置一个“ “像像” ”电荷电荷q*q*第一类镜像法：平面镜像第一类镜像法：平面镜像(2)(2)仍然要满足仍然要满足“ “导体板导体板” ”存在时的条件存在时的条件, , q*q*？q*q静电场边值问题边界条件：边界条件：对称性：对称性：拉氏方程拉氏方程q*q*q q“像点像点”q*：满足：满足“导体板导体板”存在时存在时的条件的条件满足！满足！满足！满足！满足！满足！由唯一性定理知由唯一性定理知静电场边值问题静电场边值问题第二类镜像法：柱面镜像第二类镜像法：柱面镜像像？像？线电荷线电荷“电轴电轴” ”位置？位置？柱内、与线电荷平行柱内、与线电荷平行分布？分布？密度设为密度设为p*p*静电场边值问题假设：假设：导体圆柱面上任一点导体圆柱面上任一点MM静电场边值问题因为导体是等位体因为导体是等位体若若“ “三角形相似三角形相似”静电场边值问题思考：复杂的第思考：复杂的第2类镜像问题类镜像问题已知：两根无限长平行圆柱，半径为已知：两根无限长平行圆柱，半径为a a、b b，轴心距离，轴心距离d d求：两柱间单位长度上的电容求：两柱间单位长度上的电容请参考：书请参考：书P158 P158 例例5.135.13静电场边值问题第三类镜像法：球面镜像第三类镜像法：球面镜像例如：一个点电荷，位于接地导体球旁边，球半径为例如：一个点电荷，位于接地导体球旁边，球半径为a a求：该电荷受到的静电力求：该电荷受到的静电力? ?静电场边值问题导体球上任一点导体球上任一点MM静电场边值问题电介质中的镜像静电场边值问题分界面上切向电场连续分界面上切向电场连续, ,且一般情况下法向电位移连续且一般情况下法向电位移连续: :静电场边值问题结论：静电场边值问题