1.1.1 1.1.1 变化率问题变化率问题第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 一个变量相对于另一个变量的变化一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度而变化的快慢程度叫做叫做变化率变化率问题问题1:如图如图, 是一座山的剖面示意图是一座山的剖面示意图, 并在并在上面建立平面直角上面建立平面直角坐标系坐标系, A是出发点是出发点, H是山顶是山顶, 爬山路线爬山路线用函数用函数y=f(x)表示表示.探究探究1.如图如图, 哪段路线最陡峭哪段路线最陡峭?探究探究2.你怎样描述其陡峭程度你怎样描述其陡峭程度?探究探究3.如何用数学式刻画这个陡峭程度如何用数学式刻画这个陡峭程度?0 ABCDHx yx0x1x2xkxk+1问题问题2: 如图是一天当中气温变化的曲线图。如图是一天当中气温变化的曲线图。探究探究1.从从ABC中中,哪个时间段温度变化大哪个时间段温度变化大?探究探究2.如何用数学式刻画温度变化情况如何用数学式刻画温度变化情况?0 ABCt(h) y1224121528问题问题 气球的平均膨胀率气球的平均膨胀率一、一、 变化率问题变化率问题 吹气球的过程吹气球的过程,可可以发现以发现,随着气球内空随着气球内空气容量的增加气容量的增加,气球的气球的半径增加越来越慢半径增加越来越慢.从从数学角度数学角度,如何描述这如何描述这种现象呢种现象呢? 气球的体积气球的体积V(V(单位单位:L):L)与半径与半径r(r(单位单位:dm):dm)之间的之间的函数关系是：函数关系是：如果将半径如果将半径r r表示为体积表示为体积V V的函数的函数, ,那么那么问题、问题、 气球变化率问题气球变化率问题当当V V从从0 0增加到增加到1 1时时, ,气球半径增加了气球半径增加了 气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为当当V V从从1 1增加到增加到2 2时时, ,气球半径增加了气球半径增加了 气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为显然显然0.620.160.620.16问题 高台跳水问题 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高度度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）（单位：秒）存在函数关系：存在函数关系： h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态略地描述其运动状态? ?请计算请计算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。需要用瞬时速度描述运动状态。 高台跳水运动中，高台跳水运动中，二、二、 跳水问题跳水问题平均变化率定义平均变化率定义:2.2.若设若设xx=x=x2 2-x-x1 1, , ff=f(x=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )（即（即yy） 则则平均变化率平均变化率为为 1.上述两个问题中的变化率可用式子上述两个问题中的变化率可用式子 来表示来表示我们称之为我们称之为函数函数f(xf(x) )从从x x1 1到到x x2 2的的平均变化率平均变化率注意：注意：注意：注意：这里这里“x”是一个整体符号，而不是是一个整体符号，而不是与与x的积。的积。它表示：对于它表示：对于x1的一个的一个“增量增量”，故：，故：x2x1+x同样同样f=y=f(x2)-f(x1)，故：，故： y2y1+y探究活动探究活动 气球的平均膨胀率，跳水运动员的平均气球的平均膨胀率，跳水运动员的平均速度是特殊的情况，我们把这一思路延伸到速度是特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数上，归纳一下得出函数函数 的平均变化率的平均变化率直线直线AB的斜率的斜率AB平均变化率曲线陡峭程度曲线陡峭程度数数形形变量变化的快慢 平均变化率是曲线陡峭程度的平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化视觉化”理解：理解：1、式子中、式子中x x 、 y y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 x x值不能为值不能为0， y y 的值可以为的值可以为02、若函数、若函数f f (x x)为常函数时，为常函数时， y =0 =0 3、变式、变式探究活动探究活动 T( (月月) )W(kg)639123.56.58.611例例1 1 某婴儿从出生到第某婴儿从出生到第1212个月的体重变化如图个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第所示，试分别计算从出生到第3 3个月与第个月与第6 6个月到个月到第第1212个月该婴儿体重的平均变化率。个月该婴儿体重的平均变化率。知识运用知识运用解：从出生到第解：从出生到第3 3个月，个月，婴儿体重的平均变化率为婴儿体重的平均变化率为从第从第6 6个月到第个月到第1212个月，个月，婴儿体重的平均变化率为婴儿体重的平均变化率为 比较它们的实际比较它们的实际意义，你能从中意义，你能从中得出什么结论？得出什么结论？例例2 2、已知函数、已知函数 分分别计算在区间别计算在区间-3-3，-1-1，00，55上上 及及 的平均变化率。的平均变化率。 思考：思考： y=kx+b在区间在区间m，n上的平均变上的平均变化率有什么特点？化率有什么特点？ 知识运用知识运用一次函数一次函数y=y=kx+bkx+b在区间在区间 m,nm,n 上的上的平均变化率就等于斜率平均变化率就等于斜率 k k. .例例3. 3. 已知函数已知函数 ，分别计算，分别计算 在下列区间在下列区间上的平均变化率：上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001。 432.12.001（5）0.9，1；（6）0.99，1；（7）0.999，1.1.991.91.999知识运用知识运用例例 求函数求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。的平均变化率。解：解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 例4.请分别计算出下面两个图象表示的函数h(t)在区间0，3上的平均变化率。OthAOthB13101031观察这三个数据你有什么发现？观察这三个数据你有什么发现？OthC10311 、已知函数、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点及临近一点B(-1+x,-2+y),则则y/x=( ) A 、3 B、 3x-(x)2 C、 3-(x)2 D 、3-x Dv2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度。附近的平均速度。 2x0+x 练习练习v4.物体按照物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直的规律作直线运动线运动,求在求在4s附近的平均变化率附近的平均变化率.A练习练习练习：练习：5.过曲线过曲线y=f(x)=x3上两点上两点P（1，1）和）和 Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出作曲线的割线，求出 当当x=0.1时割线的斜率时割线的斜率. 小结：小结：1.函数的平均变化率函数的平均变化率v2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率3.3.平均变化率是曲线陡峭程度的平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化数量化”，是一种粗略，是一种粗略的刻画的刻画-导导数数 微积分的创始人微积分的创始人 牛顿，莱布尼兹牛顿，莱布尼兹导数的产生导数的产生1 1、由、由s=s=f(tf(t) )求速度和加速度。求速度和加速度。 2 2、求已知曲线的切线、求已知曲线的切线。导数的作用：导数的作用：可以研究函数的增减性，变化快可以研究函数的增减性，变化快慢，最值问题，可以描述任何事物的瞬时变化慢，最值问题，可以描述任何事物的瞬时变化率如效率、率如效率、GDPGDP、CPICPI增长率等等。增长率等等。积分的的作用：积分的的作用：可以求平面图形的面积，变速可以求平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力做功等问题，积分在生直线运动的路程，变力做功等问题，积分在生活生产科研等很多领域都有广泛应用。活生产科研等很多领域都有广泛应用。微积分的创立是微积分的创立是 数数学史上划时代的里程学史上划时代的里程碑。碑。