2.10 函数的凸性与曲线的拐点函数的凸性与曲线的拐点问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?一、一、函数函数凸性的定义凸性的定义1图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方下凸下凸上凸上凸2点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称设设f(x)在区间在区间a,b上连续，若曲线上连续，若曲线 y=f(x)上的任意上的任意两点间的弧段两点间的弧段,总是位于连接这两点的弦之下总是位于连接这两点的弦之下,则称则称函数函数 f(x)在在(a,b)内为内为下凸下凸；若曲线；若曲线 y=f(x)上任意两上任意两函数函数 f(x)在在(a,b)内为内为上凸上凸; 函数函数下凸或上凸下凸或上凸的性质的性质统称为函数的统称为函数的凸性凸性. 定义：定义：34凸凸5有时也用这两个不等式来定义有时也用这两个不等式来定义函数上凸、下凸函数上凸、下凸.下凸下凸上凸上凸上凸上凸6琴生不等式琴生不等式7二、函数凸性的判定二、函数凸性的判定证明见证明见P1878例例1 1解解注意到注意到:9三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法1.1.定义定义 设设 f( (x) )在点在点x0 0附近连续，若附近连续，若 f( (x) )在点在点x0 0 的左右两侧凸性相反，则称曲线上的点的左右两侧凸性相反，则称曲线上的点(x0, f(x0)为为曲线曲线 y=f(x)的拐点的拐点.注意注意:(1)拐点拐点(x0, f(x0)在曲线上在曲线上, 必满足曲线方程；必满足曲线方程；(2)拐点拐点(x0, f(x0)是两个坐标是两个坐标, 与与 f(x)的极值点不同的极值点不同.拐点拐点(x0, f(x0)102.2.拐点的求法拐点的求法数数, ,则点则点是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是定理定理2 2 如果如果)(xf在在内存在二阶导内存在二阶导11注意注意: :12例例2 2解解13综上所述可归纳出综上所述可归纳出求曲线求曲线 拐点的步骤：拐点的步骤：14例例3 3解解下凸下凸上凸上凸下凸下凸拐点拐点拐点拐点1516例例4 4解解17解解 函数的定义域为（函数的定义域为（-，+）.下凸非拐点非拐点下凸拐点上凸+ +不存在不存在+ +0 0- -0 0yx18x xy yo o拐点拐点192-11 函函 数数 作作 图图一、渐近线一、渐近线定义定义: :.一条渐近线一条渐近线,的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷远点时移向无穷远点时LP)(,的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零xfyL= =)(沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线Pxfy = =1.1.铅直渐近线铅直渐近线20例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :212.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :223.3.斜渐近线斜渐近线其中：其中：记住公式记住公式23直线直线 y=a x+b是曲线是曲线 y=f(x)当当x时的时的证证 由函数的极限与无穷小的关系可得：由函数的极限与无穷小的关系可得：同理可证同理可证x-时的情况时的情况.渐近线的充要条件是：渐近线的充要条件是：24注意注意:例例1 1解解2526二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形的步骤：利用函数特性描绘函数图形的步骤：域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,确定函数确定函数)(xfy = =的定义域的定义域,对函数进行奇对函数进行奇1.和二阶导数和二阶导数求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数 求出方程求出方程在函数定义在函数定义2.27号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综凸性与拐点凸性与拐点 （ 可列表进行讨论）；可列表进行讨论）； 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线4.合前四步讨论的结果画出函数的图形合前四步讨论的结果画出函数的图形. 3. 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内的符的符5.以及其他变化趋势以及其他变化趋势;描出与方程描出与方程的根对的根对应的应的28三、作图举例三、作图举例例例2 2解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.29不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点(4) 渐近线渐近线30（5）补充点并作图）补充点并作图-2-2不存在不存在拐点拐点极值极值点点间间断断点点31例例3 3解解偶函数偶函数, , 图形关于图形关于y 轴对称轴对称. .32拐点拐点极大值极大值拐点拐点AB33