第第3章章 流体运动学及动力学基础流体运动学及动力学基础学习重点学习重点3.1描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法3.2流体运动的基本概念流体运动的基本概念3.3流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程3.4 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 3.5 Bernoulli方程方程3.6 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程欧拉法、质点加速度欧拉法、质点加速度流动的分类流动的分类流体运动基本概念。流体运动基本概念。伯努利方程的基本形式、应用条件、能量意义、几伯努利方程的基本形式、应用条件、能量意义、几何意义及工程应用。何意义及工程应用。恒定总流连续性方程、伯努利方程及动量方程三大恒定总流连续性方程、伯努利方程及动量方程三大方程及其综合运用。方程及其综合运用。返回 学习重点学习重点3.1描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法一、一、Lagrange法（法（质点法）质点法）以研究个别流体质点的运动为基础，通过对每个质点以研究个别流体质点的运动为基础，通过对每个质点运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。运动轨迹、运动轨迹、u、a之间的关系可表示为：之间的关系可表示为： Euler变量变量 p=p(x ,y, z, t) a= a(x ,y, z, t)二、二、Euler法法 变加速度（或当地加速度）变加速度（或当地加速度）位变加速度（或迁移加速度）位变加速度（或迁移加速度） 二、二、Euler法法二、二、Euler法法一、迹线与流线一、迹线与流线（一）迹线（一）迹线液体质点运动时所走过的轨迹线液体质点运动时所走过的轨迹线迹线微分方程：迹线微分方程：3.2流体运动的基本概念流体运动的基本概念流线流线：同一时刻流场中各流体质点同时运动时的流速：同一时刻流场中各流体质点同时运动时的流速方向线。方向线。流线的特性流线的特性：非恒定流流线具有瞬时性；恒定流流线具有恒定性。非恒定流流线具有瞬时性；恒定流流线具有恒定性。恒定流时，流线与迹线重合；恒定流时，流线与迹线重合；流线一般不相交，不分支，也不能突然折转。流线一般不相交，不分支，也不能突然折转。的的特性特性流线的特性流线的特性（二）流线（二）流线 根据矢量分析，两个矢量的矢量积应等于零，即根据矢量分析，两个矢量的矢量积应等于零，即 流线微分方程流线微分方程式中时间式中时间t是个参变量是个参变量。二、流管、过流断面、元流与总流二、流管、过流断面、元流与总流 流管流管：流场中取一非流线的封闭曲线，通过曲线上各点的流线所流场中取一非流线的封闭曲线，通过曲线上各点的流线所构成的管状表面构成的管状表面。流束流束:充满流体的流管充满流体的流管过流断面过流断面:与流管上所有流线都正交的横断面与流管上所有流线都正交的横断面元流元流:过过流流断面为无限小时断面为无限小时的流束的流束。元流的几何特征与流线相同。元流的几何特征与流线相同总流总流：过过流流断面为有限大小时断面为有限大小时的流束的流束。总流由无数元流组成。总流由无数元流组成湿周湿周：过流断面上流体与固体边壁接触部分的周长。：过流断面上流体与固体边壁接触部分的周长。水力半径水力半径R：过流断面面积与湿周之比称为，即：过流断面面积与湿周之比称为，即 三三.流量与断面平均流速流量与断面平均流速体积流量体积流量（流量）（流量）Q，单位m3/s或L/s质量流量质量流量Q：kg/s点速点速u：总流过总流过流流断面上各点的速度断面上各点的速度断面平均流速断面平均流速 v：为便于计算，设想过水断为便于计算，设想过水断面上流速均匀分布，即各点流速相同，通过面上流速均匀分布，即各点流速相同，通过的流量与实际相同，于是定义的流量与实际相同，于是定义v 为该断面的为该断面的断面平均流速断面平均流速四、流动的分类四、流动的分类（一）恒定流与非恒定流（一）恒定流与非恒定流恒定流恒定流p=p（x ,y, z）a= a（x ,y, z） 非恒定流非恒定流p=p（x ,y, z, t）a= a（x ,y, z, t） （二）（二） 均匀流与非均匀流、渐变流与急变流均匀流与非均匀流、渐变流与急变流均匀流均匀流非均匀流非均匀流： 渐变流渐变流 急变流急变流 流线是相互平行的直线流线是相互平行的直线过流断面为平面，形状和尺寸沿程不变过流断面为平面，形状和尺寸沿程不变同一流线各点的流速相等同一流线各点的流速相等过流断面上的动压分布与静压强分布规律相同过流断面上的动压分布与静压强分布规律相同均匀流的特性：均匀流的特性：（三）一元流、二元流、三元流（三）一元流、二元流、三元流一元流：一元流：p=p(x , t)二元流：二元流：p=p(x ,y, t)三元流：三元流：p=p(x ,y, z, t)一元分析法一元分析法（四）（四）有压流、无压流和射流有压流、无压流和射流有压流：总流的全部边界受固体边界的约束有压流：总流的全部边界受固体边界的约束无压流：总流边界的一部分受固体边界约束，另一无压流：总流边界的一部分受固体边界约束，另一 部分与气体接触，形成自由液面部分与气体接触，形成自由液面.射流：总流的全部边界均无固体边界约束射流：总流的全部边界均无固体边界约束四、流动的分类四、流动的分类3.3流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程一、连续性微分方程一、连续性微分方程在流场中任取一以在流场中任取一以O点（点（x，y，z）为中心的微元六面）为中心的微元六面体为控制体，以体为控制体，以x轴方向为例轴方向为例,分析控制体内质量的变分析控制体内质量的变化化u=u (x，y，z，t)， = (x，y，z，t)。根据泰勒级数，略去二阶以上的无穷小量，根据泰勒级数，略去二阶以上的无穷小量，则可求出则可求出M点的流速和密度点的流速和密度一、连续性微分方程一、连续性微分方程在在dt时间内，流入的流体质量为时间内，流入的流体质量为（ dx)(ux dx)dydzdt同理，同理，dt内流出的流体质量为内流出的流体质量为（+ dx)(ux+ dx)dydzdtdt内在内在x方向流方向流进与流出控制体的与流出控制体的质量差量差为mx=- dxdydzdt同理，得同理，得y、z方向流方向流进与流出控制体的与流出控制体的质量差分量差分别为my= dxdydzdtmz= dxdydzdt一、连续性微分方程一、连续性微分方程根据质量守恒定律，根据质量守恒定律，- + + dxdydzdt= dxdydzdt整理上式，得整理上式，得 + + + =0适用于理想和实际流体适用于理想和实际流体对于恒定流，则对于恒定流，则 + + =0对于均质不可压缩流体，则对于均质不可压缩流体，则 + + =0二、恒定总流连续性方程二、恒定总流连续性方程在流场中取一元流，假定流体运动是连续恒定的，在流场中取一元流，假定流体运动是连续恒定的，根据质量守恒定律在根据质量守恒定律在dt时段内流入的质量应与流出时段内流入的质量应与流出的质量相等。由于流体质点不能穿过流管表面，故的质量相等。由于流体质点不能穿过流管表面，故1u1dA1= 2u2dA2=dQ=dQm =常数常数对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，总流总流有分流、汇流情况的连续性方程有分流、汇流情况的连续性方程 1Q1 +2Q2 =3Q3 1Q1 =2Q2+ 3Q3 【例例】 有一不可压缩流体平面流动，其速度有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为分布规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动，试分析该流动是否连续。是否连续。 【解解】 所以所以 故此流动是连续的。故此流动是连续的。3.4 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 一、理想流体运动微分方程一、理想流体运动微分方程在运动的理想流体中任取一以在运动的理想流体中任取一以C点（点（x，y，z ）点为中）点为中心的平行微元六面体，心的平行微元六面体，分析其受力状况。分析其受力状况。以以x方向为例进行分析方向为例进行分析（1）表面力）表面力a、b的压强分别为的压强分别为故表面力故表面力（2）质量力：）质量力：Fx=Xdxdydz根据牛顿根据牛顿第二定律，第二定律，x方向方向化简后得化简后得同理得同理得一、理想流体运动微分方程一、理想流体运动微分方程又称欧拉运动微分方程又称欧拉运动微分方程适用条件：适用条件：理想流体；理想流体；恒定流及非恒定流；恒定流及非恒定流；可压缩及不可压缩流体；可压缩及不可压缩流体；运动状态及平衡状态。运动状态及平衡状态。（二）实际流体运动微分方程简介（二）实际流体运动微分方程简介对于实际流体，由于粘性的存在，应力状态要比理想对于实际流体，由于粘性的存在，应力状态要比理想状态复杂得多。实际流体运动的微分方程一般称为纳状态复杂得多。实际流体运动的微分方程一般称为纳维维-斯托克斯方程，简称斯托克斯方程，简称N-S方程方程3.4 流体的运动微分方程流体的运动微分方程3.5 Bernoulli方程方程 一、一、理想理想流流体运动微分方程的伯努利积分体运动微分方程的伯努利积分将dx = ux dt、dy = uy dy、dz = uz dz分别与理想流体的分别与理想流体的运动微分方程式的三个分式相乘，然后相加，则可求运动微分方程式的三个分式相乘，然后相加，则可求出单位质量流体沿出单位质量流体沿ds运动时外力作功的能量关系式，运动时外力作功的能量关系式，即即假设：假设：1.作恒定流动作恒定流动:p=p（x，y，z ）， 2.流体不可压缩流体不可压缩 : =C 3.质量力只有重力质量力只有重力： X = Y=0， Z = - mg/m =- -g4.沿流线积分沿流线积分:恒定流时流线与迹线重合恒定流时流线与迹线重合 dx = uxdt，dy = uydt，dz = uzdt 于是于是一、一、理想理想流流体运动微分方程的伯努利积分体运动微分方程的伯努利积分一、一、理想理想流流体运动微分方程的伯努利积分体运动微分方程的伯努利积分将将假设假设条件代回原方程条件代回原方程有有积分积分得得或或由瑞士物理学家伯努利于由瑞士物理学家伯努利于17381738年推出，称伯努利方程年推出，称伯努利方程 【例】应用皮托管测量点流速【例】应用皮托管测量点流速设测速管前设测速管前A点速度为点速度为u，压强为，压强为p，测速时，将测速测速时，将测速管的开口端正对着水流的流动方向，此时测速中的水管的开口端正对着水流的流动方向，此时测速中的水柱高柱高 。先按理想流体研究，对先按理想流体研究，对A、B两点列伯努利方程得两点列伯努利方程得 二二.实际流体元流的伯努利方程实际流体元流的伯努利方程（一）方程的形式（一）方程的形式实际实际流流体具有黏滞性，流动阻力消耗机械能。体具有黏滞性，流动阻力消耗机械能。设设hw 为单位重量为单位重量流流体由过水断面体由过水断面1-1运动至运动至2-2的机械的机械能损失能损失三、伯努利方程的意义三、伯努利方程的意义 单位重量单位重量流流体所具有的位置势能体所具有的位置势能，（比）位能（比）位能 某点到基准面的位置高度某点到基准面的位置高度（位置水头位置水头） 单位重量单位重量流流体所具有的压强势能体所具有的压强势能，（比），（比）压能压能 该点的测压管高度，或压强水头；该点的测压管高度，或压强水头； 单位重量单位重量流流体所具有的总势能体所具有的总势能，（比）势能，（比）势能 该点测压管液面的总高度该点测压管液面的总高度（测压管水头测压管水头） 单位重量单位重量流流体所具有的动能体所具有的动能，（比）动能（比）动能 该点的流速高度，流速水头该点的流速高度，流速水头 单位重量单位重量流流体所具有的机械能体所具有的机械能，（总比能），（总比能） 该点的总水头该点的总水头hw 单位重量单位重量流流体由断面体由断面1-1运动至运动至2-2的机械能损的机械能损失失 （比能损失）（比能损失） 水头损失水头损失水头线水头线位置水头线位置水头线、测压管水头线测压管水头线、总水头线总水头线水力坡度水力坡度测压管坡度测压管坡度四四、实际、实际流流体恒定总流的能量方程体恒定总流的能量方程均匀流均匀流过水断面上的压强分布过水断面上的压强分布对同一过水断面，对同一过水断面，四四、实际、实际流流体恒定总流的能量方程体恒定总流的能量方程（一一）总流能量方程的推导）总流能量方程的推导单位时间内通过元流任意两个过流断面的流体的能单位时间内通过元流任意两个过流断面的流体的能量关系满足量关系满足 :对于总流，则有对于总流，则有：共含有三种类型积分：共含有三种类型积分：（一一）总流能量方程的推导）总流能量方程的推导1第一类积分若过水断面为均匀流或渐变流，则在断面上若过水断面为均匀流或渐变流，则在断面上 积分可得积分可得 2第二类积分 值取决于断面流速分布，值取决于断面流速分布，渐变流时一般为渐变流时一般为1.051.1。常取。常取1.0（一一）总流能量方程的推导）总流能量方程的推导3第三类积分一般一般用总流单位重量用总流单位重量流流体体1-1 和和 2-2 断面间的平均断面间的平均机械能损失机械能损失 hw 取代元流的水头损失取代元流的水头损失 hw综合综合1、2、3得出得出不可压缩实际流体恒定总流的能不可压缩实际流体恒定总流的能量方程量方程（二（二）恒定总流恒定总流能量方程的应用条件能量方程的应用条件流动运动时作恒定流动；流动运动时作恒定流动；作用在流体上的质量力只有重力；作用在流体上的质量力只有重力；流体均质不可压缩；流体均质不可压缩；所选取的两个过流断面必须是均匀流或渐所选取的两个过流断面必须是均匀流或渐变流断面变流断面；总流的流量沿程不变总流的流量沿程不变两过流断面间除水头损失外，总流没有能两过流断面间除水头损失外，总流没有能量的输入或输出量的输入或输出。 五、有流量分流或汇流的能量方程五、有流量分流或汇流的能量方程六、有能量输入或输出的能量方程六、有能量输入或输出的能量方程七、恒定总流总流方程的七、恒定总流总流方程的应用应用1.分析流动现象分析流动现象；2.选取计算断面；选取计算断面；3.选取计算点；选取计算点；4.选取基准面；选取基准面；5.注意注意（1）压强：可用）压强：可用相对压强，也可用绝对压强，但对相对压强，也可用绝对压强，但对同一问题必须采用相同的标准。同一问题必须采用相同的标准。（2 2）不同过水断面上地动能修正系数严格讲来是不）不同过水断面上地动能修正系数严格讲来是不相等的，且不等于相等的，且不等于1 1，实际计算中，对渐变流或均匀，实际计算中，对渐变流或均匀流断面，一般取流断面，一般取（3 3）全面分析水头损失。）全面分析水头损失。【例例】 有一足够大的贮水池如图所示，当阀门关闭时，有一足够大的贮水池如图所示，当阀门关闭时，压强计读数为压强计读数为0.5个大气压强；当将阀门全开，水从管个大气压强；当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是中流出时，压强计读数是0.2个大气压强，若不计流动个大气压强，若不计流动损失，试求当水管直径损失，试求当水管直径d=10cm时，通过出口的体积时，通过出口的体积流量。流量。 七、恒定总流总流方程的七、恒定总流总流方程的应用应用【解解】阀门关闭时，据压强计的读数，由静力学方程求阀门关闭时，据压强计的读数，由静力学方程求 阀门全开时列阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程截面的伯努利方程 - =5- =3- =5- =3可求出可求出 v2=7.67m/s七、恒定总流总流方程的七、恒定总流总流方程的应用应用【例例】 已知文丘里管的进口直径已知文丘里管的进口直径d1=10cm，喉部直径，喉部直径d2=5cm，流量系数，流量系数=0.98。当两测压管水头差。当两测压管水头差h=0.5m时，求通过管道的实际流量时，求通过管道的实际流量。 七、恒定总流总流方程的七、恒定总流总流方程的应用应用【解】【解】 选取断面取断面1-1和喉和喉部断面部断面2-2为计算断面，算断面，计，得得1-1、2-2两断面的两断面的伯努利方程伯努利方程整理得整理得 =（z1 + ）- -（z2 + ）=h 由连续性方程得由连续性方程得Q理理= v1A1 = =K其中，其中，七、恒定总流总流方程的七、恒定总流总流方程的应用应用七、恒定总流总流方程的七、恒定总流总流方程的应用应用 Q =Q理理 =K本例中，本例中，d1=10cm，d2=5cm，可求出可求出K=0.009m5/2/s已知两断面已知两断面测压管水管水头差差为h，则则Q =K=K = =0.980.009=6.23L/s七、恒定总流总流方程的七、恒定总流总流方程的应用应用实际应用中常用实际应用中常用U型压差计测两断面的测压管水位差，型压差计测两断面的测压管水位差，如图示。其换算公式为如图示。其换算公式为h=(p/)-1-1hp。则。则Q =K=K = K七、恒定总流总流方程的七、恒定总流总流方程的应用应用【例】【例】 如如图示，用抽水量示，用抽水量为20m3/h的离心水的离心水泵由水由水池抽水，安装高度池抽水，安装高度hs=5.5m，吸水管的直径，吸水管的直径为d=100mm，如水流通，如水流通过进口底口底阀、吸水管路、吸水管路、90弯弯头至至泵叶叶轮进口的口的总水水头损失失为hw=0.22m（水柱），（水柱），求求该泵进口口处的真空的真空值。【解】【解】 取水池水面取水池水面1-1和水泵进口和水泵进口断面断面2-22-2为计算断面，为计算断面，若采用绝对压强表示，取若采用绝对压强表示，取=1，列，列1-l、2-2断面的伯努利方程为断面的伯努利方程为七、恒定总流总流方程的七、恒定总流总流方程的应用应用整理得整理得 hv2 = =hs + + hw其中其中所以所以 hv2 =5.5 + + 0.22=5.75m 真空真空值 pv2 =hv2 =98005.75=56.35kN/m2 3.6 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程一一.恒定总流动量方程的推导恒定总流动量方程的推导设恒定恒定总流，流，过水断面水断面1-1、2-2面面积分分别为A1和和A2，与，与总流流侧面所面所围空空间称称为控制体。控制体。经 dt 时间，控制体内液体由控制体内液体由1-2运运动到到1-2总流内任取元流，流内任取元流，过水断面面水断面面积dA1和和dA2，流速分，流速分别为 u1 和和 u2 。经 dt时间，元流的，元流的动量增量量增量为3.6 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程l恒定流动，恒定流动，dt 前后元流重叠部分动量相同，故前后元流重叠部分动量相同，故l取过水断面为渐变流断面，取过水断面为渐变流断面，在过水断面上积分得总在过水断面上积分得总流动量方程流动量方程ldKl为简化，工程中常用为简化，工程中常用v代替代替u计算，并引进修正系数计算，并引进修正系数，则有，则有3.6 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程化简得化简得在直角坐标系中的投影为在直角坐标系中的投影为二、恒定总流动量方程的应用二、恒定总流动量方程的应用1.1.选取控制体选取控制体；2.2.选择投影轴选择投影轴；3.3.全面分析受力全面分析受力; ;4.4.几点注意：几点注意：若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为二、恒定总流动量方程的应用二、恒定总流动量方程的应用【例】【例】有一沿有一沿铅垂直立垂直立墙壁壁铺设的弯的弯管如管如图示，弯示，弯头转角角90，起始断面，起始断面1-1与与终止断面止断面2-2间轴线长L=2.355m，两断面中心高差两断面中心高差z =1.5m，已知，已知1-1断断面中心面中心处动水水压强强p1=115.0kN/m2，两两断面断面间水水头损失失hw=0.1m，管径，管径d=0.2m。当管中通。当管中通过流量流量Q=60L/s时，求：水流对弯管的作用力。求：水流对弯管的作用力。二、恒定总流动量方程的应用二、恒定总流动量方程的应用【解】由连续性方程得【解】由连续性方程得 以断面以断面2-2为基准面，基准面，对断面断面1-1和和2-2列能量方程列能量方程于是于是由此可求出由此可求出 p2=128.4kN/m2 P1=p1A=115.0 = 3.61kN；P2=p2A=128.4 = 4.03kN 二、恒定总流动量方程的应用二、恒定总流动量方程的应用x方向动量方程为方向动量方程为 P1-Rx= Q(0 -v） 移项得移项得 Rx= P1+ Qv=3.61+10.0611.91=3.72kNz方向动量方程为方向动量方程为 P2-G-Rz= Q（-v-0） 移项得移项得 Rz= P2-G+Qv其中其中G=gV=gL =0.72kN所以所以 Rz= P2-G+ Qv=3.42kN管壁对水流的总作用力管壁对水流的总作用力 R= =5.05kNR与水平方向的夹角与水平方向的夹角=arctan =55.95由此可得水流对管壁的作用力与由此可得水流对管壁的作用力与R大小相等，方向相反大小相等，方向相反。二、恒定总流动量方程的应用二、恒定总流动量方程的应用【例】【例】设有一股恒定射流冲有一股恒定射流冲击在水平放置的光滑固定在水平放置的光滑固定平板上，如平板上，如图示，射流示，射流对平板的平板的倾角角为60，射流截面，射流截面远小于平板面小于平板面积；射流冲；射流冲击平板后沿壁面流去。通平板后沿壁面流去。通过射流断面射流断面0-0的流量的流量为Q，水平流速，水平流速为v；冲；冲击后后1-1及及2-2断面上的流量分断面上的流量分别Q1、Q2，平均流速分，平均流速分别为v1和和v2。不不计水流在平板上的阻力，求射流水流在平板上的阻力，求射流对平板的冲平板的冲击力力R，以及，以及Q1、Q2和和Q三者三者间的关系。的关系。 【解】【解】 选择控制面如控制面如图虚虚线所示，坐所示，坐标xoy如如图所示。所示。p0=p1=p2=pa。分分别对0-0、1-1及及0-0、2-2列伯努利方程，可得列伯努利方程，可得v= v1= v2二、恒定总流动量方程的应用二、恒定总流动量方程的应用因不计水流在平板上的阻力，可知平板对水流的作用力因不计水流在平板上的阻力，可知平板对水流的作用力F必必与平板垂直。假设与平板垂直。假设F方向如图所示。方向如图所示。于是，列出于是，列出y方向的动量方程方向的动量方程F= 0+0-(-Qvsin）=Qvsin射流射流对平板的冲平板的冲击力力F与与F大小相等方向相反，即指向平板。大小相等方向相反，即指向平板。再列出再列出x方向的方向的动量方程量方程 Q1v1+(-Q2v2)-Qvcos =0 因因为v= v1= v2，所以所以 Q1-Q2=Qcos 根据连续性方程根据连续性方程Q= Q 1+ Q 2 联合求解，得联合求解，得