高等数学多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系2.1 2.1 导数的概念导数的概念第二章第二章 一元函数的导数与微分一元函数的导数与微分物物理理学学、工工学学、经经济济学学和和其其它它许许多多学学科科研研究究的的重重要要问问题题都都涉涉及及到到函函数数的的变变化化率率与与函函数数的的增增量量，这这就就是是本章要研究的本章要研究的导数导数与与微分微分本本章章我我们们主主要要研研究究导导数数与与微微分分的的概概念念及及计计算算方方法法，关关于于导导数数与与微微分分的的应应用用将将在在下一章讨论下一章讨论2.1 导数的概念导数的概念2.2 导数的性质导数的性质2.3 高阶导数高阶导数2.4 隐函数的导数隐函数的导数2.5 函数的微分及其应用函数的微分及其应用2.12.1导数的概念导数的概念一、导数产生的背景一、导数产生的背景例例1 求变速直线运动物体的瞬时速度求变速直线运动物体的瞬时速度设某物体作变速直线运动，在设某物体作变速直线运动，在时间内运动时间内运动，求物体在时间，求物体在时间的瞬时速度的瞬时速度路程为路程为为求为求我们先求物体在我们先求物体在（或（或当当很小时，很小时，近似代替近似代替当当越来越小，越来越小，越接近越接近当当无限变小时，无限变小时，的极限就等于的极限就等于因此，因此，则极限值即为则极限值即为这一段的平均速度这一段的平均速度物体运动的速度变化不大，物体运动的速度变化不大，可以用可以用时，时，即即极限存在，极限存在，若若所以所以,同样，对运动物体从同样，对运动物体从时刻到时刻到时刻平均速度时刻平均速度，越接近越接近，值就越接近值就越接近因此因此也可表示为也可表示为（2.2）若记若记为自变量为自变量的的改变量改变量改变量改变量，为由为由自变量改变量自变量改变量自变量改变量自变量改变量，产生的因变量的改变量，产生的因变量的改变量，还可表示为还可表示为:（2.3）我们把我们把（2.1）、（）、（2.2）、（）、（2.3）式中的极限值式中的极限值时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度称为运动物体在称为运动物体在（2.2）用此结论，我们可以推出用此结论，我们可以推出自由落体运动自由落体运动（为常数）在时刻为常数）在时刻处的速度为处的速度为例例2 求曲线切线的斜率求曲线切线的斜率如图如图2.1，设连续曲线，设连续曲线及及上的点上的点在曲线在曲线上任取一点上任取一点作割线作割线得到直线得到直线的极限位置的极限位置则称则称为曲线在点为曲线在点如果如果在在上逐渐向上逐渐向点移动，点移动，处的切线处的切线定义包含了中学数学圆的定义包含了中学数学圆的切线定义切线定义这个这个0 0下面我们求曲线下面我们求曲线在点在点处切线的斜率处切线的斜率由于由于曲线曲线在点在点的切线方程的切线方程0 0例例1，例，例2尽管解决的问题完全不同（例尽管解决的问题完全不同（例1是解决是解决这种类型的极限我们统称这种类型的极限我们统称“导数导数”物理问题，例物理问题，例2是解决几何问题），但研究方法有共是解决几何问题），但研究方法有共同的特点，都归结为求函数因变量的改变量和自变量同的特点，都归结为求函数因变量的改变量和自变量的改变量比值的极限的改变量比值的极限二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 设函数设函数在在的某个邻域的某个邻域定义，任取自变量的增量定义，任取自变量的增量增量增量若若存在，那么称函数存在，那么称函数在点在点处处可导可导，在在点的点的导数，导数，内有内有相应有相应有函数函数且极限值称为函数且极限值称为函数记为记为（2.4）也可以记作也可以记作或或导数定义公式（导数定义公式（2.4）还可以有以下几种形式）还可以有以下几种形式 （2.5）（2.6）上述公式求极限要注意上述公式求极限要注意是是常量常量， ，才是变量才是变量（2.7）由导数的定义可知例由导数的定义可知例1 1中提到的自由落体运动中提到的自由落体运动在在时刻的速度时刻的速度实际就是实际就是在在时的时的导数导数， 因此因此故物体作自由落体运动在任意时刻故物体作自由落体运动在任意时刻的速度的速度由导数定义公式由导数定义公式知，知，为自变量的函数极限，为自变量的函数极限，存在，称存在，称分别为函数分别为函数在在点的点的右导数右导数和和左导数左导数. 在在点的左导数和右导数称为点的左导数和右导数称为在在点的点的单侧导数单侧导数 导数实际上是求以导数实际上是求以由极限存在的由极限存在的充要条件充要条件，我们有以下结论：，我们有以下结论：存在存在 与与存在，存在，且且 若若例例3 证明函数证明函数在在点不可导点不可导解解 由导数定义可求由导数定义可求在在点导数不存在点导数不存在如果函数如果函数在开区间在开区间内每一点都可导，内每一点都可导，这样对每一这样对每一有一个导数值有一个导数值的函数，的函数，在开区间在开区间则称函数则称函数内可导内可导从而得到一个新从而得到一个新，记为记为即得导函数的定义即得导函数的定义公式（公式（2.4）、（）、（2.6）、（）、（2.7）中把）中把换成换成，如果函数如果函数在开区间在开区间内可导，内可导， 都存在，都存在， 的的导函数导函数，这一新的函数我们称为这一新的函数我们称为，且且根据导数的定义和例根据导数的定义和例2求曲线切线斜率问题，我们求曲线切线斜率问题，我们在在点导数点导数的几何意义的几何意义:是函数是函数表示的曲线在表示的曲线在点切线点切线的斜率的斜率，即，即(为切线为切线的倾斜角的倾斜角) 可以得到导数的几何意义可以得到导数的几何意义.函数函数由定义求导数由定义求导数步骤步骤:例例4解解例例5 求函数求函数的导数的导数解解 对一般幂函数对一般幂函数( ( 为常数为常数) ) 例如，例如，（以后将证明）以后将证明）说明：说明：例例6 求函数求函数的导数的导数类似方法，我们可证明类似方法，我们可证明解解 所以所以例例7 求函数求函数的导数的导数由例由例7可得可得 解解 例例8 求函数求函数的导数的导数解解 所以所以 xy0y = f (x)M xN y.x0令令 x0导数的几何意义导数的几何意义xy0y = f (x)M xN yx0令令 x0导数的几何意义导数的几何意义.xy0y = f (x)M= tan . .x0令令 x0.导数的几何意义导数的几何意义.解解 由导数几何意义知，所求曲线由导数几何意义知，所求曲线在点在点处切线的斜率处切线的斜率所求切线方程为所求切线方程为，即，即曲线在点曲线在点处法线的斜率处法线的斜率所求法线方程为所求法线方程为即即例例9 求曲线求曲线在点在点处的切线方程与处的切线方程与法线方程法线方程问题讨论问题讨论问题讨论问题讨论问题讨论问题讨论3设函数设函数在在处可导，问函数处可导，问函数在点在点处是否一定可导处是否一定可导?本节引入了函数导数的定义，函数导数其实质就是本节引入了函数导数的定义，函数导数其实质就是当当时的极限，即函数的变化率时的极限，即函数的变化率 其几何意义其几何意义（为常数），为常数），与自变量改变量与自变量改变量比值比值函数因变量改变量函数因变量改变量是函数曲线切线的斜率利用导数定义我们得到了常是函数曲线切线的斜率利用导数定义我们得到了常值函数，指数函数，对数函数，部分幂函数，部分三值函数，指数函数，对数函数，部分幂函数，部分三角函数的导数公式：角函数的导数公式：