第二章第二章 控制系统的模型控制系统的模型一 控制系统的时域数学模型二 控制系统的复数域数学模型三 控制系统的构造图与信号流图 四 数学模型的实验测定2.1 2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型1 1、线性系统微分方程的建立、线性系统微分方程的建立 步骤：步骤：1. 1. 确定系统的输入量确定系统的输入量( (给定量给定量和扰和扰 动量动量) )与输出量与输出量( (被被控制量控制量, , 也称也称 为系统的呼应为系统的呼应) ) 2. 2. 列写系统各部分的列写系统各部分的微分方程微分方程 3. 3. 消去中间变量消去中间变量, , 求出系统的微求出系统的微 分方程分方程 例2.1 编写如图2-1所示RC电路的微分方程式图 2-1 RC电路解解:(1) :(1) 定定输入入输出量出量: : u1 (t) - u1 (t) -输入量入量, , u2(t) - u2(t) -输出量出量 (2) (2) 列写微分方程列写微分方程 u1 = iR+u2 u1 = iR+u2 式中式中 u2 = q/c u2 = q/c i = dq/dt i = dq/dt 3 3消去中消去中间变量量, ,可得可得电路微分方程路微分方程式式 例2-2 编写电枢控制的他激直流电动机的微分方程式图 2-2 直流电动机电枢电路(1)确定输入量和输出量。取输入量为电动机的电枢电压ud，xr=u取输出量为电动机的转速xc=n(2)列写微分方程式。电枢回路的微分方程式：电动机的机械运动方程式：3消去中间变量。得电动机的动态微分方程式以算子表示：TdTmp2xc+Tmpxc+xc=xr/Ce2、非线性数学模型线性化实践的物理元件都存在一定的非线性，例如：实践的物理元件都存在一定的非线性，例如： 弹簧系数弹簧系数 是位移的函数是位移的函数 电阻、电容、电感与任务环境、任务电流有关电阻、电容、电感与任务环境、任务电流有关 电动本身的摩擦、死区电动本身的摩擦、死区小偏向线性化法小偏向线性化法 设延续变化的非线性函数设延续变化的非线性函数平衡形状A为任务点在平衡形状点运用台劳级数展开为l 具有两个自具有两个自变变量的非量的非线线性函数的性函数的线线性化性化增量增量线性方程性方程2.2 2.2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型1、传送函数的定义和性质 定义设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描画：在零初始条件下，取拉氏在零初始条件下，取拉氏变换得：得： 称为系统或环节的传送函数，可以写成例例 2-3 图 2-1 所示所示RC电路的微分方程式路的微分方程式为初始条件为零时，拉氏变换为该电路的传送函数为 式中式中 RC RC电电路的路的时间时间常数。常数。例例2-4 求直流他激求直流他激电动机的机的传送函数。送函数。以电枢电压为输入量、转速为输出量的微分方程式 ： 在初始条件在初始条件为为零零时时，上式的拉氏，上式的拉氏变换为变换为： 传送函数为：传送函数的性送函数的性质1因果系统的传送函数是s 的有理真分式函数，具有 复变函数的性质。2传送函数取决于系统或元件的构造和参数，与输入信号的方式无关。3传送函数与微分方程可相互转换。4传送函数 的Laplace反变换是系统的脉冲呼应 。2.典型典型环节的的传送函数及送函数及暂态特性特性1 比例比例环节 ：其：其输出量和出量和输入量的关系，入量的关系，由下面的代数方程式来表示：由下面的代数方程式来表示：式中 环节的放大系数，为一常数。 传传送函数送函数为为：图2-3 比例环节2惯性性环节惯性环节的传送函数可以写成如下表达式。现求输入量为单位跃阶函数时，惯性环节输出量的函数关系求拉氏反变换得3积分分环节传送函数为：当输入量为阶跃函数时，那么输出量为：4微分微分环节传送函数为：5振振荡环节 这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态呼应能够作周期性的变化。今以RLC 电路图2-4为例加以阐明。电路的电压平衡方程式为:在零初始条件下取拉氏变换得传送函数为：图2-4RLC电路将传送函数转换为：式中：当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：当 时，上式特征方程的根为共轭复数输出量为：6时滞滞环节 传送函数为：2.3 2.3 控制系统的构造图与信号流图控制系统的构造图与信号流图控制系控制系统的构造的构造图：描画系：描画系统各元部件之各元部件之间的信的信号号传送关系的一种送关系的一种图形化表示，特形化表示，特别对于复于复杂控制控制系系统的信号的信号传送送过程程给出了一种直出了一种直观的描画。的描画。系系统构造构造图的的组成：系成：系统构造构造图普通有四个根本普通有四个根本单元元组成成1信号信号线；2引出点或丈量点；引出点或丈量点；3比比较点或信号点或信号综合点表示合点表示对信号信号进展叠加；展叠加；4方框或方框或环节表示表示对信号信号进展展变换，方框中，方框中写入元部件或系写入元部件或系统的的传送函数。送函数。1 1、控制系、控制系统统的构造的构造图图1首先按照系统的构造和任务原理，分解出各环节并写出它的传送函数。 2绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传送函数，并以箭头和字母符号阐明其输入量和输出量， 按 照信号的传送方向把各方框图依次联接起来，就构成了系统构造图。 系系统动态构造构造图的的绘制步制步骤 ：例例2.5 电压丈量安装方框构造图电压丈量安装方框构造图被测电压：被测电压： 指示的丈量电压：指示的丈量电压：电压丈量误差：电压丈量误差：系统组成：比较电路、机械调制器、放大器系统组成：比较电路、机械调制器、放大器 两相交流伺服电动机、指针机构两相交流伺服电动机、指针机构比较电路：比较电路：调制器：调制器：放大器：放大器：两相伺服电动机：两相伺服电动机：绳轮传动机构：绳轮传动机构：丈量电位器：丈量电位器：系统构造图系统构造图无源网络的方框构造图无源网络的方框构造图2、系统传送函数和构造图的变换和简化任何复杂的系统构造图，各方框之间的根本衔接方式只任何复杂的系统构造图，各方框之间的根本衔接方式只需串联、并联和反响衔接三种。方框构造图的简化是经需串联、并联和反响衔接三种。方框构造图的简化是经过挪动引出点、比较点，交换比较点，进展方框运算后，过挪动引出点、比较点，交换比较点，进展方框运算后，将串联、并联和反响衔接的方框合并。将串联、并联和反响衔接的方框合并。等效变换的原那么：变换前后的变量之间关系坚持不变等效变换的原那么：变换前后的变量之间关系坚持不变一、典型衔接的等效传送函数一、典型衔接的等效传送函数1串联等效串联等效2并联并联3反响反响二、相加点及分支点的换位运算二、相加点及分支点的换位运算 原那么：原那么： 挪动前后坚持信号的等效性挪动前后坚持信号的等效性 1相加点从单元的输入端移到输出端相加点从单元的输入端移到输出端 ，如图，如图2-5 图2-5相加点后移变位运算2 2相加点从单元的输出端移到输入端，如图相加点从单元的输出端移到输入端，如图相加点从单元的输出端移到输入端，如图相加点从单元的输出端移到输入端，如图2-62-6所示所示所示所示图图2-6 相加点前移变位运算相加点前移变位运算3 3分支点从单元的输入端移到输出端，如图分支点从单元的输入端移到输出端，如图分支点从单元的输入端移到输出端，如图分支点从单元的输入端移到输出端，如图2-72-7所示所示所示所示图2-7分支点后移的变位运算4 4分支点从单元的输出端移到输入端，如图分支点从单元的输出端移到输入端，如图分支点从单元的输出端移到输入端，如图分支点从单元的输出端移到输入端，如图2-82-8所示所示所示所示 图2-8分支点前移的变位运算三、系统开环传送函数 开环传送函数：反响引入点断开时，输入端对应比较器开环传送函数：反响引入点断开时，输入端对应比较器 输出输出 E(s) 到输入端对应的比较器的反响到输入端对应的比较器的反响 信号信号 B(s) 之间之间一切传送函数的乘积，记一切传送函数的乘积，记 为为GK(s), GK(s)=G(s)H(s)前向通道传送函数：输入端对应比较器输出前向通道传送函数：输入端对应比较器输出 E(s) 到输出到输出 端输出端输出 C(s) 一切传送函数的乘积，记为一切传送函数的乘积，记为G(s) 反响通道传送函数：输出反响通道传送函数：输出 C(s) 到到 输入端比较器的反响信输入端比较器的反响信号号 B(s) 之间的一切传送函数之乘积，记之间的一切传送函数之乘积，记 为为 H(s) 四、系统闭环传送函数四、系统闭环传送函数在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传送函数。闭环传送函数是分析系统动态性能的主要的数学模型。例2-6试简化图示系统构造图，并求系统传送函数五、系统对给定作用和扰动作用的传送函数五、系统对给定作用和扰动作用的传送函数 图2-11所示系统中有两个输入量给定作用量和扰动作用量，同时作用于系统。对于线性系统来说，可以对每一个输入量分别求出输出量，然后再进展叠加，就得到系统的输出量图2-11Xr(s)和Xc(s)同时作用于系统1 1只需给定作用时的闭环传送函数只需给定作用时的闭环传送函数 和输和输出量出量 为：为：(2) (2) 只需扰动作用时的闭环传送函数只需扰动作用时的闭环传送函数 和输和输出量出量 为为 因此当两个输入量同时作用于系统时，那么输出量为：3、信号流、信号流图信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。一、信号流图中的术语1源点。只需输出支路的节点称为源点或称为输入节点2汇点。只需输入支路的节点称为汇点或称为输出节点3混合节点。既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点4通路。从某一节点开场沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点或同一节点构成的途径称为通路5开通路。与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路6闭通路。假设通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通路或称为回环7回环增益。回环中各支路传输的乘积称为回环增益或传输8前向通路。是指从源头开场并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为前向通路增益9不接触回环。假设一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环 二、信号流图的绘制二、信号流图的绘制二、信号流图的绘制二、信号流图的绘制例阐明绘制信号流图的过程。一系统的方例阐明绘制信号流图的过程。一系统的方例阐明绘制信号流图的过程。一系统的方例阐明绘制信号流图的过程。一系统的方程组为：程组为：程组为：程组为： 首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当一切方程式的信号流图绘制终了后，即得系统的信号流图，如图2-12a。该系统相应的构造图如图2-12b所示图2-12系统信号流图和构造图三、三、 梅逊增益公式梅逊增益公式从源点到阱点的传送函数或总增益从源点到阱点的传送函数或总增益从源点到阱点的前向通路总数从源点到阱点的前向通路总数从源点到阱点的第从源点到阱点的第k k条前向通路总增益条前向通路总增益流图特征式一切单独回路之和两、两不接触回路增益的乘积之和三、三不接触回路增益的乘积之和流图余因子例例 2-18 求如图求如图2-13所示系统的传送函数所示系统的传送函数 该系统的前向通路及其传输为：系统的回环及其传输为上述各环相互接触，因此由此得系统的特征式由此得系统的特征式 ：上述各回环都与前向通路T1和T2相接触有共同环节或公共节点，因此得：图2-13系统构造图根据梅逊公式求得系统传送函数为： 小小 结结 l数学模型的根本概念。数学模型是描画系统暂态过程的数学表达式，是对系统进展实际分析研讨的主要根据。l经过解析法对实践系统建立数学模型。在本章中，根据系统各环节的任务原理，建立其微分方程式，反映其动态本质。l非线性元件的线性化。针对非线性元件的非线性微分方程分析的难度，本章引见采用小偏向线性化方法对非线性系统的线性化描画。l传送函数。经过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分方程求解方法。本章引见了如何将线性微分方程转换为复数s域的数学模型传送函数以及典型环节的传送函数。l动态构造图。动态构造图是传送函数的图解化，可以直观笼统地表示出系统中信号的传送变换特性，有助于求解系统的各种传送函数，分析研讨系统。l信号流图。信号流图是一种用图线表示系统中信号流向的数学模型，完全包括了描画系统的一切信息及相互关系。经过运用梅逊公式可以简便、快捷地求出系统的传送函数。