第八章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如例如, ,方程组方程组表示圆柱面与平面的交线 C. C机动 目录 上页 下页 返回 完毕 又如又如, ,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度, 称为螺距 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 （空间一点M在圆柱面上以角速度w绕z轴旋转同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升，点M构成的图形）例例1. 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:解解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为故所求为得所求为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 求空间曲线求空间曲线 :绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解解:点 M1绕 z 轴旋转, 转到点 那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例如例如, 直线直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 , 得旋转曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如又如, xoz 面上的半圆周面上的半圆周说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如形如机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例如例如, ,在xoy 面上的投影曲线方程为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 又如又如, ,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 备用题备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结 空间曲线三元方程组或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考与练习思考与练习 P324 题 1，2，7展示空间图形）P324 题1 (2)(1)答案答案:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (3)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 P324 题2 (1)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 考虑考虑: :交线情况如何?交线情况如何?P324 题2(2)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 P325 题 7机动 目录 上页 下页 返回 完毕 P324 3，4，5，6, 8作业作业第五节 目录 上页 下页 返回 完毕 备用题备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的机动 目录 上页 下页 返回 完毕