医用高等数学医用高等数学医用高等数学”医用高等数学第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一、偏导数的概念一、偏导数的概念二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义三、高阶偏导数三、高阶偏导数四、全微分四、全微分医用高等数学一、偏导数的概念一、偏导数的概念定义定义4-4 设函数设函数 在点 的某一邻域 内有定义，当 固定在 而 在 处有增量 时，相应 地函数有增量 假如存在，则称此极限为函数 在点 处对 的偏导数(partial derirative)，记作 医用高等数学或 同样，当 固定在 ，而 在 处有增量 时，假如 极限 存在，则称此极限为函数 在点 处对 的 偏导数，记作 或 偏导数是函数 沿着两个特殊方向的变化率，即一个平行于 ，另一个平行于 轴的变化率 医用高等数学如果函数 在区域 内每一点 都有关于 的偏导数，这个偏导数就是 的函数，称为函数 关于 的偏导函数，简称为偏导数，记作 或 即同样，有函数 关于 的偏导函数 或 即医用高等数学函数 在点 处关于 的偏导数 显然就是偏导函数 在点 处的函数值； 显然就是偏导函数 在点 处的函数 值 例例4-12 设函数设函数 ，求 解解 把把 看成常量，对 求导数，（注意到其中 为常数，其导数为0得 医用高等数学把 看成常量，对 求导数，得 在点1，2处的偏导数为例例4-13 设函数设函数 ，证明： 证证 把把 看成常数，那么 把 看成常数，那么 所以 医用高等数学例例4-14 已知理想气体状态方程已知理想气体状态方程 为常量）， 试证： 证证 因为因为 所以注意： 对一元函数来说，导数 可看作函数的微分 与自变量的微分 之商而 偏导数的记号“ ”是一个 整体记号，其中的横线没有相除的意义 医用高等数学 如果一元函数在某点可导，则它在该点必定连续但对于.二元函数，即使在某点两个偏导数都存在，也不能保证它在该点连续例如函数在点0，0处的两个偏导数医用高等数学都存在，但由第一节中例4-13知此函数在0，0点不连续 医用高等数学二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的医用高等数学三、高阶偏导数三、高阶偏导数设函数 在区域 内具有偏导数 这两个偏导数在 内都是 的二元函数如果这 两个函数的偏导数也存在，则称这两个函数的偏导数为原来函数 的二阶偏导数依照对变量求导次序的不 同，而有下列四个二阶偏导数： 医用高等数学 如果二阶偏导数也具有偏导数，则称为原来函数的三阶偏导数一般地，函数 的 阶偏导数的偏 导数称为函数 的 阶偏导数二阶及二 阶以上 的偏导数统称为高阶偏导数higher-order partial derivatives） 例例4-15 设设 求 和 医用高等数学解解: 在这个例子中 这不是偶然的事实上， 我们有下述定理 定理定理4-1 如果函数如果函数 的两个二阶偏导数 和 在区域 内连续，则在 内有 医用高等数学例例4-16 验证函数验证函数 满足方程证证 由由 ，得 同理 故医用高等数学四、全微分四、全微分对于二元函数 ，如果自变量 和 分别有 有改变量 和 时，对应的函数的改变量 叫做函数 的全增量 例例4-17 已知矩形的边长为已知矩形的边长为 与 ，当边长 与 分 别由 变为 时 研究矩形面积 的全增量 表达式 解解 矩形面积为矩形面积为 于是矩形面积 的全增量为 医用高等数学矩形面积 的全增量 由两部分组成，第一部分 是 的线性函数；第二部分 ，当 时，是比 高阶的无穷小 因而，当 都足够小时，全增量 可由 近似表示，此式中 的系数恰是函数 在点 处分别对 的偏导数，类似于一元函数微分概念，可定义 为二元函数 在点 医用高等数学处的全微分从而引入如下二元函数全微分定义 定义定义4-5 如果函数如果函数 在点 的某邻域内有 定义，当自变量 和 分别有增量 和 时，相应的 函数全增量 可表示为 其中 与 无关，而仅与 有关， 是 当 时比 高阶的无穷小（ ），那么 称函数 在点 处可微，而 称 为函数 在点 处的全微分total 医用高等数学differential），记作），记作 ，即 与一元函数类似，全微分是 的线性函数，它与 只相差一个比 高阶的无穷小，所以也称 是 的线 性主部当 很小时，可用全微分 作为函数全增量 的近似值 下面讨论函数 在点 处可微分的条件 如果函数 在点 处可微分，那么 在点 处的偏导数 必定存在，且函数 在点 处的全微分为 医用高等数学与一元函数类似，把自变量的增量叫做自变量的微分，即 ，所以全微分又可写成 上式中的第一项是函数 对 的偏导数与 的乘积，称为函数关于 的偏微分partial differential） ，第二项称为函数关于 的偏微分 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事，称为二元函数的微分符合叠加原理 医用高等数学叠加原理也适用于二元以上的函数例如，如果三元 函数 可微分，那么，它的全微分等于它的三 个偏微分之和，即 在一元函数中，可导与可微是等价的，但对二元函数来说，偏导数存在，函数不一定可微但是如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微的，即有下面结论： 医用高等数学如果函数 的偏导数 在点 连续， 则函数在该点可微 初等函数都满足偏导数连续条件，因此对二元初等函数来说它是可微的 如果函数 在点 可微，则它在该点必连续 以上关于二元函数的全微分定义及全微分存在的充分条件，完全可以推广到多元函数 例例4-22 求函数求函数 的全微分 解：解： 由于由于而 医用高等数学所以 例例4-18 求函数求函数 在点2，3处当 的全微分及全增量 解解: 所以在点2，3处当 时 医用高等数学例例4-19 求函数求函数 的全微分 解解: 因为因为 所以 医用高等数学主主 要要 内内 容容作业：作业： 思考与练习思考与练习 1. 2. 3. 1、偏导数的概念、偏导数的概念 2、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义 3、高阶偏导数、高阶偏导数 4、全微分、全微分