运用多元统计分析运用多元统计分析第三章习题解答第三章习题解答第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3-1 设XNn(,2In), A为对称幂等阵,且rk(A)=r(rn),证明 证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只需r个非0特征值，即存在正交阵(其列向量ri为相应特征向量)，使第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验其中非中心参数为其中非中心参数为第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-2 3-2 设X XNn(,2In), ANn(,2In), A，B B为n n阶对称称阵. .假假设AB AB 0 ,0 ,证明明XAXXAX与与XBXXBX相互独相互独立立. . 证明的思绪：记rk(A)=r. 因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得 A=diag(1,r 0,.,0) 令YX，那么YNn(,2In), 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验且且 又由于又由于 XBX=YB Y= YHY其中其中H=B 。假。假设可以可以证明明XBX可表示可表示为Yr+1，,Yn的函数，即的函数，即H只是只是右下子右下子块为非非0的矩的矩阵。那么那么XAX 与与XBX相互独立。相互独立。第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 证明 记rk(A)=r. 假设r=n,由ABO,知B Onn,于是XAX与XBX独立； 假设r=0时,那么A0,那么两个二次型也是独立的. 以下设0rn.因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 其中其中i0i0为A A的特征的特征值(i=1,r).(i=1,r).于是于是令令r第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 由由ABABO O可得可得DrH11DrH11O O ， DrH12 DrH12O .O .因因DrDr为满秩秩阵, ,故有故有H11H11OrrOrr，H12H12Or(n-Or(n-r) .r) . 由于由于H H为对称称阵，所以，所以H21H21O(n-r)r .O(n-r)r .于于是是 由于由于Y1Y1，,Yr ,Yr+1 ,Yn,Yr ,Yr+1 ,Yn相互独立，相互独立，故故XAXXAX与与XBXXBX相互独立相互独立. .第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验令令Y YXX，那么，那么Y Y Nn(,2In), Nn(,2In), 且且 设X XNp(,),Np(,),0,A0,A和和B B为p p阶对称称阵, ,试证明明 (X-)A(X-)(X-)A(X-)与与(X-)B(X-)(X-)B(X-)相互独立相互独立 AB AB0pp.0pp.第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-3由由“1.“1.结论6 6知知与与相互独立相互独立 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X() Np(0,) (1,n)相互独立，其中又知随机矩又知随机矩阵那么那么第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验试证明试证明Wishart分布的性质分布的性质(4)和和T2分布的性质分布的性质(5).3-4第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验证明证明: 设设记记, 那么那么即即第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验当当12 =O 时,对1,2,n, 相相互互 独立独立.故有故有W11与与W22相互独立相互独立.由定义由定义3.1.4可知可知 性质5 在非退化的线性变换下,T2统计量坚持不变. 证明:设X() (1,n) 是来自p元总体Np(,)的随机样本, X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,那么由性质1有第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验令令其中其中C是是pp非退化常数矩非退化常数矩阵，d是是p1常向量。常向量。那么那么第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验所以所以第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-5 对单个p维正态总体Np(,)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:=0(=0知)的似然比统计量及分布. 解:总体XNp(,0)(00),设X()(=1,n) (np)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为P66当当=0知知的的检验第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验因因所以由所以由3“一一2.的的结论1可知可知第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-6 (均值向量各分量间构造关系的检验) 设总体XNp(,)(0),X()(1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本，记(1,p).C为kp常数(kp),rank(C)=k,r为知k维向量.试给出检验H0:Cr的检验统计量及分布.解：令解：令那么那么Y()(1,n) 为来自来自k维正正态总体体Y的的样本，且本，且第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验检验检验这是是单个个k维正正态总体均体均值向量的向量的检验问题.利用利用3.2当当y = CC未知未知时均均值向量向量的的检验给出的出的结论,取取检验统计量量:第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-7 设总体XNp(，) (0), X() (1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本，样本均值为X，样本离差阵为A.记(1,p).为检验H0:1=2=p ,H1:1,2,p至少有一对不相等.令那么上面的假那么上面的假设等价于等价于H0：C=0p-1,H1：C 0p-1试求求检验H0 的似然比的似然比统计量和分布量和分布.解：解：至少有一至少有一对不相等不相等.第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验利用利用3-6的的结果知，果知，检验H0的似然比的似然比统计量及量及分布分布为：其中其中(留意留意:3-6中的中的k在在这里里为p-1)第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-8 假定人体尺寸有这样的普通规律:身高(X1),胸围(X2)和上半臂围(X3)的平均尺寸比例是641.假设X ()(1,n)为来自总体X=(X1,X2,X3)的随机样本.并设XN3(,)，试利用表3.5中男婴这一组数据检验三个尺寸(变量)能否符合这一规律(写出假设H0,并导出检验统计量). 解：解：检验三个尺寸三个尺寸(变量量)能否符合能否符合这一一规律律的的问题可提成假可提成假设检验问题.由于由于其中其中留意留意:第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验检验的假的假设H0为 利用利用3-6的的结论，取，取检验统计量量为：由男由男婴丈量数据丈量数据(p=3,n=6)计算可得算可得 T2=47.1434, F=18.8574, p值=0.0091950未知未知.检验H0似然比似然比统计量量为记记其中其中第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验其中其中 A=A1+A2称为组内离差阵称为组内离差阵.B称为组间离差称为组间离差阵阵. 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验由于由于似然比统计量似然比统计量第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验所以所以第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验由定义由定义3.1.5可知可知由由或或由于由于第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验可取检验统计量为可取检验统计量为检验假设检验假设H0的否认域为的否认域为第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-11 表3.5给出15名2周岁婴儿的身高(X1)，胸围(X2)和上半臂围(X3)的丈量数据.假设男婴的丈量数据X()(1,6)为来自总体N3( (1)，)的随机样本.女婴的丈量数据Y() (1,9)为来自总体N3 (2)，)的随机样本.试利用表3.5中的数据检验H0:(1) =(2) (=0.05). 解解:这是两总体均值向量的检验问题这是两总体均值向量的检验问题. 检验统检验统计量取为计量取为(p=3,n=6,m=9):第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验其中其中故检验统计量为故检验统计量为用观测数据代入计算可得用观测数据代入计算可得:故故H0相容相容.显著性概率值显著性概率值 第三章第三章 多元正态总体参数的检多元正态总体参数的检验验 3-12 在地质勘探中，在A、B、C三个地域采集了一些岩石，测其部分化学成分见表3.6.假定这三个地域岩石的成分服从N3(i)，i)(i1，2，3)(=0.05). (1) 检验H0：123；H1：1,2,3不全等; (2) 检验H0：(1)(2),H1：(1)(2); (3) 检验H0:(1) (2)(3),H1:存在ij,使(i)(j); (4) 检验三种化学成分相互独立. 解解:(4)设来自三个总体的样本为设来自三个总体的样本为(p=3,k=3)检验检验H0的似然比统计量为的似然比统计量为第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验似然比统计量的分子为似然比统计量的分子为第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验称为合并组内离差阵称为合并组内离差阵.第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验似然比统计量的分母为似然比统计量的分母为第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验检验检验H0的似然比统计量可化为的似然比统计量可化为:第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 Box证明了，在明了，在H0成立下当成立下当n时， =-blnV2(f)，其中其中 V=0.7253, =-blnV=3.2650,因因 p=0.35250.05.故故H0相容，即随机向量的三个分量相容，即随机向量的三个分量(三种三种化学成分化学成分)相互独立相互独立.第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 或者利用定理或者利用定理3.2.1,当当n充分大充分大时， =-2ln2(f)，其中其中 f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3, V=0.7253, =0.1240 , =-2ln =-nlnV=4.1750,因因 p=0.24320.05.故故H0相容，即随机向量的三个分量相容，即随机向量的三个分量(三种三种化学成分化学成分)相互独立相互独立.第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-13 对表3.3给出的三组观测数据分别检验能否来自4维正态分布. (1) 对每个分量检验能否一维正态? (2) 利用2图检验法对三组观测数据分别检验能否来自4维正态分布.