一元一次方程教材分析清华附中 张波第三章 一元一次方程本章主要内容本章主要内容教学目标和要求教学目标和要求教学重点和难点教学重点和难点教学建议教学建议典型题选典型题选教学课例教学课例小学内容衔接小学内容衔接小学内容衔接 苏教版小学数学教材在四年级下册、苏教版小学数学教材在四年级下册、五年级下册和六年级上册三册教材接触五年级下册和六年级上册三册教材接触“方程方程”。 四年级下册四年级下册“用字母表示数用字母表示数”这部分这部分内容，主要包括用字母表示数，用含有字内容，主要包括用字母表示数，用含有字母的式子表示实际问题的数量关系或者计母的式子表示实际问题的数量关系或者计算公式。求简单的含有字母式子的值等。算公式。求简单的含有字母式子的值等。小学内容衔接 五年级下册主要教学方程的意义，用五年级下册主要教学方程的意义，用等式的性质解一步计算的方程，列方程解等式的性质解一步计算的方程，列方程解决一步计算的实际问题。决一步计算的实际问题。 六年级上册主要教学用等式的性质解六年级上册主要教学用等式的性质解形如形如ax b=c，axb=c和和ax bx=c的方程，的方程，列方程解决两、三步计算的实际问题。列方程解决两、三步计算的实际问题。本章主要内容1、一元一次方程及其相关概念；、一元一次方程及其相关概念；2、一元一次方程的解法；、一元一次方程的解法；3、利用一元一次方程分析与解决实际、利用一元一次方程分析与解决实际问题问题数学建模思想数学建模思想化归思想化归思想本章主要内容实际实际问题问题数学问题数学问题（一元一次方程）（一元一次方程）实际问题实际问题的答案的答案数学问题的解数学问题的解设未知数设未知数列方程列方程解方程解方程检验检验教学目标和要求1、基本要求、基本要求（1）了解方程，方程的解，一元一次）了解方程，方程的解，一元一次方程等有关概念；方程等有关概念；（2）理解一元一次方程解法中的各个）理解一元一次方程解法中的各个步骤；步骤；（3）辨别实际问题中的已知量和未知）辨别实际问题中的已知量和未知量量教学目标和要求2、中等要求、中等要求（1）会利用方程的解和一元一次方程）会利用方程的解和一元一次方程的概念求方程中的参数；的概念求方程中的参数；（2）熟练掌握一元一次方程的解法；）熟练掌握一元一次方程的解法；（3）能根据具体问题列出一元一次方）能根据具体问题列出一元一次方程程教学目标和要求3、较高要求、较高要求（1）能熟练运用等式性质对等式作变）能熟练运用等式性质对等式作变形；形；（2）解决含有字母系数的方程分类讨）解决含有字母系数的方程分类讨论的问题；论的问题；（3）能运用一元一次方程解决简单的）能运用一元一次方程解决简单的实际问题实际问题教学重点和难点重点重点难点难点一元一次方程的一元一次方程的概念概念等式的性质等式的性质一元一次方程的一元一次方程的解法解法含有参数的方程含有参数的方程运用一元一次方程解决实际问题运用一元一次方程解决实际问题教学建议及典型题选一、关于方程的背景一、关于方程的背景建议：建议：介绍相关数学史，提高学生学习介绍相关数学史，提高学生学习兴趣：兴趣：（1）九章算术九章算术最先提到最先提到“方程方程”一词；一词；一一今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？秉各几何？教学建议及典型题选一、关于方程的背景一、关于方程的背景方程方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。即上禾之实。实皆如法，各得一斗。教学建议及典型题选一、关于方程的背景一、关于方程的背景（2）丢番图的墓志铭：）丢番图的墓志铭： “他的生命的六分之一是幸福的童年；再他的生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了生命的七分之一；再过须；他结了婚，又度过了生命的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了。悲痛中度过了四年，也与世长辞了。” 教学建议及典型题选二、关于一元一次方程的概念二、关于一元一次方程的概念“只含有只含有1个未知数（元），并且未知个未知数（元），并且未知数的指数是数的指数是1（次）的方程。（次）的方程。” 形如形如ax+b=0（a，b为常数，为常数，a 0）的方程叫做一元一次方程。）的方程叫做一元一次方程。一元一次方程必有唯一解一元一次方程必有唯一解建议：建议：对普通学生不用给出严格定义。对普通学生不用给出严格定义。教学建议及典型题选二、关于一元一次方程的概念二、关于一元一次方程的概念题题1、下列哪些是一元一次方程？下列哪些是一元一次方程？（1）x(x 3)=0；（；（2）2x=2(x 5)；（3）4x+7；（；（4）3y=2y；（5） =3；（；（6） 2=0；（7）x+2y=1；（；（8）x2+x=x2 1教学建议及典型题选二、关于一元一次方程的概念二、关于一元一次方程的概念题题2、已知已知(a 2)xb 1=3是关于是关于x的一元的一元一次方程，则一次方程，则a_，b_题题3、已知已知x= 2是方程是方程2x+m 4=0的的一个根，则一个根，则m的值是（的值是（ ）A. 8 B. 8 C. 0 D. 2 2=2A教学建议及典型题选三、关于等式的性质三、关于等式的性质1、对称性：、对称性：a=bb=a；2、传递性：、传递性：a=b，b=ca=c；3、同加同减原理：、同加同减原理：a=b，a c=b c；推论推论1（移项原理）：（移项原理）：a b=ca=b c；推论推论2（叠加原理）：（叠加原理）：a=b，c=da c=b d；4、同乘同除原理：、同乘同除原理：a=bac=bc； a=b，c 0 =教学建议及典型题选三、关于等式的性质三、关于等式的性质题题4、判断题判断题（1）若）若a+c=b+c，则，则a=b（2）若）若a+b=c+d， 则则a=c，b=d或或a=d，b=c（3）若）若ac=bc，则，则a=b（4）若）若 ，则，则a=b教学建议及典型题选四、关于一元一次方程的解法四、关于一元一次方程的解法去去分分母母去去括括号号移移项项合合并并同同类类项项系系数数化化为为1误点排行榜教学建议及典型题选四、关于一元一次方程的解法四、关于一元一次方程的解法建议建议1：去分母时保留括号去分母时保留括号题题5、解方程解方程建议建议2：将不含分母项添加分母将不含分母项添加分母题题6、解方程解方程x= 1教学建议及典型题选四、关于一元一次方程的解法四、关于一元一次方程的解法建议建议3：移项，合并让移项，合并让x的系数为正的系数为正题题7、解方程解方程x 2=3x 4x=1建议建议4：可以举办解一元一次方程大赛可以举办解一元一次方程大赛教学建议及典型题选五、五、*关于可化为一元一次方程的含绝关于可化为一元一次方程的含绝对值的方程对值的方程（1）如果绝对值外只有常数，可以去）如果绝对值外只有常数，可以去掉绝对值符号，得到两个方程；掉绝对值符号，得到两个方程；（2）如果绝对值外还含有未知数，要）如果绝对值外还含有未知数，要根据绝对值的定义分段讨论；根据绝对值的定义分段讨论；（3）如果含有多个绝对值，则要依据）如果含有多个绝对值，则要依据每个绝对值的零点，分多段讨论。每个绝对值的零点，分多段讨论。教学建议及典型题选五、五、*关于可化为一元一次方程的含绝关于可化为一元一次方程的含绝对值的方程对值的方程题题8、解方程解方程（1）|2x 1| 3=0；（2）|x+1|+2x=1；（3）|x| 2|x 1|+1=0x=2或或x= 1 x=0 x= 或或x=3 教学建议及典型题选六、六、*关于含字母系数的方程关于含字母系数的方程（1）将字母视为常数，进行去分母，）将字母视为常数，进行去分母，去括号，移项，合并等变形；去括号，移项，合并等变形；（2）如果最后）如果最后x的系数为非的系数为非0常数，方常数，方程两边同除以这个系数即可；程两边同除以这个系数即可；（3）如果最后）如果最后x的系数含有字母，则需的系数含有字母，则需分类讨论：分类讨论：教学建议及典型题选六、六、*关于含字母系数的方程关于含字母系数的方程）该系数不为）该系数不为0，方程两边同除以这个，方程两边同除以这个系数，得方程的解；系数，得方程的解；）该系数为）该系数为0，而不含，而不含x的项不等于的项不等于0，则方程无解；则方程无解；）该系数为）该系数为0，而不含，而不含x的项也等于的项也等于0，则方程的解为任意数。，则方程的解为任意数。教学建议及典型题选六、六、*关于含字母系数的方程关于含字母系数的方程x=i)若若a= ，无解；，无解；ii)若若a ，x=题题9、解下列关于解下列关于x的方程的方程（1）2(x+a)=3a x；（2） 2x=1；（3）ax b=x abi)若若a=1，x为任意数；为任意数；ii)若若a 1，x= b教学建议及典型题选六、六、*关于含字母系数的方程关于含字母系数的方程题题10、m为何值时，关于为何值时，关于x的方程的方程5m+12x=2x+5的解比关于的解比关于x的方程的方程x(m+1)=m(1+x)的解大的解大2 前一方程：前一方程：x= ；后一方程：；后一方程：x=m m=2，解得：，解得：m= 1教学建议及典型题选七、关于一元一次方程的应用七、关于一元一次方程的应用学生中常见问题：学生中常见问题：问题问题1：习惯于算术方法习惯于算术方法题题11、今有鸡兔同笼，上露今有鸡兔同笼，上露35头，下露头，下露94足，问鸡兔各几何？足，问鸡兔各几何？问题问题2：设未知数后列不出方程设未知数后列不出方程问题问题3：格式不规范格式不规范鸡鸡23只，兔只，兔12只只 教学建议及典型题选七、关于一元一次方程的应用七、关于一元一次方程的应用建议建议1：给出应用题尽量不便用算术方给出应用题尽量不便用算术方法解法解题题12、某足球联赛每队一赛季共打某足球联赛每队一赛季共打38场比场比赛，某队共积赛，某队共积78分，已知它胜的场数恰好分，已知它胜的场数恰好是负的场数的是负的场数的3倍，求它一共平了多少场？倍，求它一共平了多少场？ 设负了设负了x场，场，3 3x+(38 4x)=78，x=8，共平了共平了6场。场。 教学建议及典型题选七、关于一元一次方程的应用七、关于一元一次方程的应用建议建议2：给学生归纳总结设元的方法给学生归纳总结设元的方法建议建议3：讲解应用题解答过程开始阶段讲解应用题解答过程开始阶段多用板书多用板书建议建议4：向学生介绍近几年北京中考题向学生介绍近几年北京中考题中的应用题中的应用题建议建议5：让学生了解一些决策问题让学生了解一些决策问题教学建议及典型题选七、关于一元一次方程的应用七、关于一元一次方程的应用题题13、某地有两种计程车，甲种计程车起步某地有两种计程车，甲种计程车起步价价10元，起步里程为元，起步里程为3公里，超过公里，超过3公里的部公里的部分按每公里分按每公里2元计价；乙种计程车无起步价，元计价；乙种计程车无起步价，直接按每公里直接按每公里3元计价。根据你的出行里程，元计价。根据你的出行里程，应该如何选择计程车比较划算。应该如何选择计程车比较划算。小于小于4公里，选乙种计程车；大于公里，选乙种计程车；大于4公里，选公里，选甲种计程车；等于甲种计程车；等于4公里，两者一样。公里，两者一样。谢谢大家谢谢大家欢迎指正欢迎指正易错指数：易错指数：易错指数：易错指数：易错指数：易错指数：易错指数：易错指数：