E-mail: xuxinahu.edu.cn 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布小小 结结5 5 二维随机变量及其联合分布函数二维随机变量及其联合分布函数E-mail: xuxinahu.edu.cn一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 定义定义定义定义1 1 1 1 设在试验设在试验E E的样本空间的样本空间=w=w上定义了两上定义了两 个随机变量个随机变量X X、Y,Y,称向量称向量(X,Y)(X,Y)为为二维随机二维随机 变量变量或或二维随机向量二维随机向量. .E-mail: xuxinahu.edu.cn实例实例1 炮弹的弹着点的炮弹的弹着点的位置位置 (X,Y) 就是一个二维就是一个二维随机变量随机变量. 二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与的性质不仅与X 、Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学区学前儿童的发育情况前儿童的发育情况 , 则儿则儿童的身高童的身高 H 和体重和体重 W 就就构成二维随机变量构成二维随机变量(H,W).说明说明 E-mail: xuxinahu.edu.cn 因此因此, ,不能试图通过单独研究随机变量不能试图通过单独研究随机变量X,YX,Y而来了解二维随机变量而来了解二维随机变量(X,Y),(X,Y),必须将必须将(X,Y)(X,Y)作作为一个为一个整体整体来研究来研究. . 类似于一维随机变量类似于一维随机变量, ,我们也可利用我们也可利用“分布分布函数函数”来研究二维随机变量来研究二维随机变量(X,Y),(X,Y),并且分别就并且分别就离离散型散型与与连续型连续型来加以分析来加以分析. . 注注 意意E-mail: xuxinahu.edu.cn 定义定义定义定义2 2 2 2 设设(X,Y)(X,Y)为二维随机变量为二维随机变量, ,称二元函数称二元函数 分布函数分布函数 在点在点 处的函数值就是事件处的函数值就是事件“随机点随机点(X,Y)落在以点落在以点 为右上顶点的角形区为右上顶点的角形区域域”的概率的概率.定义域为定义域为全平面全平面 为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随的分布函数或称为随机变量机变量X和和Y的的分布函数分布函数或或联合分布函数联合分布函数。E-mail: xuxinahu.edu.cn分布函数具有下列基本性质分布函数具有下列基本性质:（1） 且对于任意固定的且对于任意固定的y， 对于任意固定的对于任意固定的x，即即 E-mail: xuxinahu.edu.cn（2） 是关于是关于x或或y是是单调不减的单调不减的； 即对固定的即对固定的y， 对固定的对固定的x， （3） 是关于是关于x或或y均是均是右连续右连续， 即即 （4） 对于任意对于任意 有有 随机向量落在矩随机向量落在矩形区域的概率形区域的概率E-mail: xuxinahu.edu.cn 事实上事实上故故 E-mail: xuxinahu.edu.cn二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量1、概念、概念定义定义3 如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值为有所有可能取值为有 限个或可列无限个点限个或可列无限个点,则称则称(X,Y)为为二维离散二维离散 型随机变量。型随机变量。2、二维离散型随机变量的分布律、二维离散型随机变量的分布律 定义定义4 设离散型二维随机变量设离散型二维随机变量(X,Y)的所有可能取的所有可能取 值点为值点为 称为离散型二维随机变量称为离散型二维随机变量(X,Y)的概率分布的概率分布 分布律分布律（分布列分布列）或随机变量）或随机变量X和和Y的的联合联合 分布律。分布律。E-mail: xuxinahu.edu.cn 分布律分布律满足满足: 分布律可用表格分布律可用表格表示表示:XY概率的非负性概率的非负性概率的规范性概率的规范性E-mail: xuxinahu.edu.cn 已知离散型二维随机变量已知离散型二维随机变量(X,Y)的概率分布的概率分布则其分布函数为则其分布函数为 E-mail: xuxinahu.edu.cn例例1 设袋中有设袋中有a+b个球，其中个球，其中a个红球，个红球，b只白球只白球. 今从中任取一球，观察其颜色后将球今从中任取一球，观察其颜色后将球放回放回袋袋 中，并加入与所取求相同颜色的球中，并加入与所取求相同颜色的球c只，然后只，然后 再从袋中任取一球，设再从袋中任取一球，设求二维随机变量求二维随机变量(X,Y)的分布律的分布律.解：解：X的可能取值为的可能取值为0，1；Y的可能取值为的可能取值为0，1， 利用乘法公式有：利用乘法公式有：E-mail: xuxinahu.edu.cn用表格表示即为：用表格表示即为： 0101E-mail: xuxinahu.edu.cn二维离散型随机变量的分布列形象化解释二维离散型随机变量的分布列形象化解释 设想将一单位质量的物质分配在（设想将一单位质量的物质分配在（X，Y）所）所有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概率值。率值。 这样一来，随机变量取值落在某个平面区域这样一来，随机变量取值落在某个平面区域G上的概率就等于上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。内各可能取值点处概率之和。E-mail: xuxinahu.edu.cn三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量1 1、概念、概念、概念、概念定义定义5 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为 如果存在非负函数如果存在非负函数，使得对任意的，使得对任意的X，Y均有均有则称则称(X,Y)为为连续型二维随机变量连续型二维随机变量，其中称，其中称为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的的概率密度概率密度或随机变或随机变量量X和和Y的的联合概率密度联合概率密度。E-mail: xuxinahu.edu.cn2 2、概率密度及其性质、概率密度及其性质、概率密度及其性质、概率密度及其性质设设G为平面为平面xoy上的一个区域上的一个区域,则随机点则随机点 (X,Y) 落在落在G内的概率为内的概率为: 曲顶柱体体积曲顶柱体体积确定待定参数确定待定参数E-mail: xuxinahu.edu.cn 若若 在点在点 处连续处连续,则有则有由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度由概率密度求分布函数由概率密度求分布函数E-mail: xuxinahu.edu.cn说说 明明（1）几何上，）几何上，表示空间一个曲面表示空间一个曲面.（2） 表示介于表示介于 p(x, y)和和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于平面之间的空间区域的全部体积等于1.（3）的值等于以的值等于以G为底，以曲面为底，以曲面为顶面的曲边柱体的体积为顶面的曲边柱体的体积.E-mail: xuxinahu.edu.cn例例3 设设设设r.v.(X,Y)r.v.(X,Y)的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为解解:由概率密度性质得由概率密度性质得 (1) 因为因为 所以所以（1）求）求C值；（；（2）分布函数）分布函数（3）求概率）求概率 E-mail: xuxinahu.edu.cn 故故 (2)由概率密度求分布函数由概率密度求分布函数. 解题思路解题思路 画出画出联合概率密度的联合概率密度的非零区域非零区域; 点点(x,y)在全平面范围在全平面范围内取值内取值; 综合上述两点得出就综合上述两点得出就(x,y)的分段情形的分段情形.E-mail: xuxinahu.edu.cn 本例中分布函数应分为两段来计算本例中分布函数应分为两段来计算:就就x0,y0 与与“其它其它”。利用重积分对积分利用重积分对积分区域的可加性区域的可加性,只只保留非零积分保留非零积分E-mail: xuxinahu.edu.cn(3)求概率求概率PYX. 只需在只需在概率密度概率密度概率密度概率密度f f的非零的非零的非零的非零区域区域区域区域与与事件区域事件区域事件区域事件区域 G=(x,y)|yx的的交集交集交集交集D D上积分上积分.由公式由公式 得得:E-mail: xuxinahu.edu.cn 本例是一个本例是一个本例是一个本例是一个典型题典型题典型题典型题. . . .大家应熟练掌握分析与计大家应熟练掌握分析与计大家应熟练掌握分析与计大家应熟练掌握分析与计算的方法。特别是会根据算的方法。特别是会根据算的方法。特别是会根据算的方法。特别是会根据不同形状不同形状不同形状不同形状的的的的概率密度非零概率密度非零概率密度非零概率密度非零区域区域区域区域与所求概率的与所求概率的与所求概率的与所求概率的事件事件区域区域区域区域G G G G来处理这类问题。来处理这类问题。来处理这类问题。来处理这类问题。E-mail: xuxinahu.edu.cn解解练习题练习题E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn1、均匀分布、均匀分布 设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 A,若二维若二维随机变量随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度具有概率密度则称则称( X , Y )在在 D 上服从上服从均匀分布均匀分布.记为记为(X,Y)U(G)四、两个常用的二维连续型分布四、两个常用的二维连续型分布 E-mail: xuxinahu.edu.cn 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为2、二维正态分布、二维正态分布 其中其中 均为常数均为常数,称称(X,Y)为服从参数为为服从参数为 的二维正态分布的二维正态分布,记为记为E-mail: xuxinahu.edu.cn二维正态分布的图形二维正态分布的图形E-mail: xuxinahu.edu.cn1. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数二维离散型随机变量的分布律及分布函数3. 二维连续型随机变量的概率函数二维连续型随机变量的概率函数五、小结五、小结