宇轩图书宇轩图书目目 录录考点知识精讲中考典例精析第7讲一元二次方程考点训练举一反三考点知识精讲首首 页页宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页考点一考点一 一元二次方程的定义一元二次方程的定义在整式方程中，只含有在整式方程中，只含有_个未知数，并且含未知数项的最高次数个未知数，并且含未知数项的最高次数是是_，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是_. .考点二考点二 一元二次方程的常用解法一元二次方程的常用解法一一2ax2bxc0(a0)中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页C Ck k为任何实数，方程都有两个相等的实数根为任何实数，方程都有两个相等的实数根D D根据根据k k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种的实数根和有两个相等的实数根三种【点拨点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法本组题考查一元二次方程的相关概念和解法中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页 (2011 (2011南京南京) )解方程解方程x x2 24 4x x1 10.0.【点拨点拨】本题考查一元二次方程的解法本题考查一元二次方程的解法中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页方法总结：方法总结：解一元二次方程有以下几种方法：解一元二次方程有以下几种方法：(1)(1)直接开平方法；直接开平方法；(2)(2)配方法；配方法；(3)(3)公式法；公式法；(4)(4)因式分解法因式分解法. .解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解. .一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，应采用直接开平方法；若能因式分解就用因式分解法；当两种方法都行不应采用直接开平方法；若能因式分解就用因式分解法；当两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法通时，可采用公式法或配方法. .中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页 (2010 (2010成都成都) )若关于若关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 24 4x x2 2k k0 0有两个实有两个实数根，求数根，求k k的取值范围及的取值范围及k k的非负整数值的非负整数值【点拨点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式，当本题考查一元二次方程的根的判别式，当b b2 24 4acac00时，方时，方程有两个实数根程有两个实数根【解答解答】方程方程x x2 24 4x x2 2k k0 0有两个实数根，有两个实数根，b b2 24 4acac4 42 2412412k k0.0.即即16168 8k k00，解得，解得k k2.2.k k的非负整数值为的非负整数值为k k2,1,0.2,1,0.中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页 （20112011桂林）某市为争创全国文明卫生城，桂林）某市为争创全国文明卫生城，20082008年市政府对年市政府对市区绿化工程投入的资金是市区绿化工程投入的资金是2 0002 000万元，万元，20102010年投入的资金是年投入的资金是2 4202 420万元，万元，且从且从20082008年到年到20102010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同(1)(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；(2)(2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在20122012年需投入多少年需投入多少万元？万元？【点拨点拨】求年平均增长率问题：一般列方程求年平均增长率问题：一般列方程a a(1(1x x) )n nb b. .其中其中a a为原始为原始数据，数据，b b为增长为增长( (减少减少) )后数据，后数据，n n为变化周期，为变化周期，x x为增长为增长( (降低降低) )率率【解答解答】(1)(1)设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x x，根，根据题意得，据题意得，2 000(12 000(1x x) )2 22 4202 420，解得，解得x x1 10.10.1，x x2 22.1(2.1(舍去舍去) )中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%.10%.(2)2012(2)2012年需投入资金：年需投入资金：2 420(12 420(110%)10%)2 22 928.2(2 928.2(万元万元) )答：答：20122012年需投入资金年需投入资金2 928.22 928.2万元万元方法总结：方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验最后的结果，对不符合列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验最后的结果，对不符合实际问题的未知数的值应舍去实际问题的未知数的值应舍去. .举一反三宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1 1一元二次方程一元二次方程a a2 24 4a a7 70 0 的解为的解为_._.2 2已知已知x x1 1是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程2 2x x2 2kxkx1 10 0的一个根，则实数的一个根，则实数k k的值是的值是_._.3 3方程方程x x( (x x1)1)5(5(x x1)1)的解是的解是_._.5 5某公司某公司4 4月份的利润为月份的利润为160160万元，要使万元，要使6 6月份的利润达到月份的利润达到250250万元，万元，则平均每月增长的百分率是则平均每月增长的百分率是_._.1x15，x211 125%举一反三宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页7 7用配方法解方程：用配方法解方程：6 6x x2 2x x12120.0.8 8【前情提示前情提示】为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答行解答青山村种的水稻青山村种的水稻20092009年平均每公顷产年平均每公顷产8 000 kg,20118 000 kg,2011年平均每公顷产年平均每公顷产9 9 680 kg680 kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率【解题方案解题方案】设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x x. .(1)(1)用含用含x x的代数式表示：的代数式表示：举一反三宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页20102010年种的水稻平均每公顷的产量为年种的水稻平均每公顷的产量为_ _ ；20112011年种的水稻平均每公顷的产量为年种的水稻平均每公顷的产量为 ；(2)(2)根据题意，列出相应方程根据题意，列出相应方程 ；(3)(3)解这个方程，得解这个方程，得 ；(4)(4)检验：检验： _ _；(5)(5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为_. .8000(1x)8000(1x)28000(1x)29680x10.1 x22.1 x10.1，x22.1都是原方程的根，但都是原方程的根，但x22.1不符不符合题意，所以只能取合题意，所以只能取x0.110%考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页一元二次方程一元二次方程训练时间：训练时间：6060分钟分钟 分值：分值：100100分分考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页一、选择题一、选择题( (每小题每小题3 3分，共分，共3030分分) )1 1(2011(2011安徽安徽) )一元二次方程一元二次方程x x( (x x2)2)2 2x x 的根是的根是( () )A A1 1 B B2 2C C1 1和和2 2 D D1 1和和2 2【解析解析】由由x x( (x x2)2)2 2x x得得( (x x1)(1)(x x2)2)0 0，x x1 11 1，x x2 22.2.【答案答案】D D考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页2 2(2011(2011江西江西) )已知已知x x1 1 是方程是方程x x2 2bxbx2 20 0 的一个根，则方程的一个根，则方程的另一个根是的另一个根是( () )A A1 B1 B2 C2 C2 D2 D1 1【解析解析】把把x x1 1代入方程代入方程x x2 2bxbx2 20 0得得1 1b b2 20 0，b b1 1，解方程，解方程x x2 2x x2 20 0得得x x1 12 2，x x2 21 1，方程的另一个根是方程的另一个根是x x2.2.【答案答案】C C考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页3 3(2010(2010中考变式题中考变式题) )一元二次方程一元二次方程axax2 2bxbxc c0(0(a a0)0)有两个不相有两个不相等的实数根，则等的实数根，则b b2 24 4acac满足的条件是满足的条件是( () )A Ab b2 24 4acac0 0 B Bb b2 24 4acac00C Cb b2 24 4acac0 0.0.【答案答案】B B考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页4 4(2011(2011兰州兰州) )用配方法解方程用配方法解方程 x x2 22 2x x5 50 0 时，原方程应变形时，原方程应变形为为( () )A A( (x x1)1)2 26 6 B B( (x x2)2)2 29 9C C( (x x1)1)2 26 6 D D( (x x2)2)2 29 9【解析解析】由由x x2 22 2x x5 50 0得得x x2 22 2x x5 5，x x2 22 2x x1 16 6，( (x x1)1)2 26 6，故选，故选C.C.【答案答案】C C考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页5 5(2010(2010中考变式题中考变式题) )上海世博会的某纪念品原价上海世博会的某纪念品原价168168元，连续两次元，连续两次降价降价a a% %后售价为后售价为128128元，下面所列方程中正确的是元，下面所列方程中正确的是( () )A A168(1168(1a a%)%)2 2128 128 B B168(1168(1a a%)%)2 2128128C C168(1168(12 2a a%)%)128 128 D D168(1168(1a a2 2%)%)128128【解析解析】第一次降价第一次降价a a% %后，售价为后，售价为168(1168(1a a%)%)，第二次降价后为，第二次降价后为168168(1(1a a%)(1%)(1a a%)%)168(1168(1a a%)%)2 2，即，即168(1168(1a a%)%)2 2128.128.【答案答案】B B考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页6 6(2011(2011福州福州) )一元二次方程一元二次方程x x( (x x2)2)0 0 根的情况是根的情况是( () )A A有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B B有两个相等的实数根有两个相等的实数根C C只有一个实数根只有一个实数根D D没有实数根没有实数根【解析解析】解一元二次方程解一元二次方程x x( (x x2)2)0 0得得x x1 10 0，x x2 22 2，所以方程有，所以方程有两个不相等的实数根两个不相等的实数根【答案答案】A A考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页7 7(2010(2010中考变式题中考变式题) )一元二次方程一元二次方程x x2 2x x2 20 0的两根之积是的两根之积是( () )A A1 B1 B2 C2 C1 D1 D2 2【答案答案】B B考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页8 8(2011(2011成都成都) )已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程mxmx2 2nxnxk k0(0(m m0)0)有有两个实数根，则下列关于判别式两个实数根，则下列关于判别式n n2 24 4mkmk 的判断正确的是的判断正确的是( () )A An n2 24 4mkmk0 0 B Bn n2 24 4mkmk0 0C Cn n2 24 4mkmk0 0 D Dn n2 24 4mkmk00【解析解析】方程有两个实数根，方程有两个实数根，n n2 24 4mkmk0.0.【答案答案】D D考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页9 9(2010(2010中考变式题中考变式题) )如果方程如果方程axax2 22 2x x1 10 0有两个不等的实根，有两个不等的实根，则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是( () )A Aa a1 1 B Ba a100，即，即2 22 24 4a a00，a a1.1.又又a a00，a a11且且a a0.0.【答案答案】B B考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1010(2012(2012中考预测题中考预测题) )在一幅长在一幅长80 cm80 cm、宽、宽50 cm50 cm的矩形风景画的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是个挂图的面积是5 400 cm5 400 cm2 2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为x x cm cm，那么，那么x x满足的满足的方程是方程是( () )考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页A Ax x2 2130130x x1 4001 4000 0 B Bx x2 26565x x3503500 0C Cx x2 2130130x x1 4001 4000 0 D Dx x2 26565x x3503500 0【解析解析】由题意可列方程为由题意可列方程为(80(802 2x x)(50)(502 2x x) )5 4005 400，化简为，化简为x x2 26565x x3503500.0.【答案答案】B B考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页二、填空题二、填空题( (每小题每小题3 3分，共分，共2424分分) )1111(2010(2010中考变式题中考变式题) )方程方程x x2 24 4x x0 0的解是的解是_【解析解析】x x2 24 4x x0 0，x x( (x x4)4)0 0，x x0 0或或x x4 40 0，即，即x x1 10 0，x x2 24.4.【答案答案】x x1 10 0，x x2 24 4考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1212(2010(2010中考变式题中考变式题) )两圆的圆心距两圆的圆心距d d5 5，它们的半径分别是一元，它们的半径分别是一元二次方程二次方程x x2 25 5x x4 40 0的两个根，这两个圆的位置关系是的两个根，这两个圆的位置关系是_【解析解析】设半径为设半径为R R、r r，则，则R Rr r5.5.d d5 5，R Rr rd d，故两圆位，故两圆位置关系是外切置关系是外切【答案答案】外切外切考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1313(2011(2011山西山西)“)“十二五十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力.2010.2010年全年全省全年旅游总收入大约省全年旅游总收入大约1 0001 000亿美元，如果到亿美元，如果到20122012年全省全年旅游总收入年全省全年旅游总收入要达到要达到1 440 1 440 亿元，那么年平均增长率应为亿元，那么年平均增长率应为_【解析解析】设年平均增长率为设年平均增长率为x x，根据题意列方程，得，根据题意列方程，得1 000(11 000(1x x) )2 21 4401 440，解得，解得x x1 10.20.2，x x2 22.2(2.2(舍去舍去) )所以年平均增长率应为所以年平均增长率应为20%.20%.【答案答案】20%20%考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1414(2010(2010中考变式题中考变式题) )方程方程2 2x x2 23 3x x1 10 0的解是的解是_考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案】10考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1616(2010(2010中考变式题中考变式题) )已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程( (m m1)1)x x2 2x x1 10 0有实数根，则有实数根，则m m的取值范围是的取值范围是_考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案】7考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1818(2012(2012中考预测题中考预测题) )已知已知x x1 1是方程是方程x x2 2mxmx5 50 0的一个根，的一个根，则则m m_，方程的另一根为，方程的另一根为_【解析解析】把把x x1 1代入方程，得代入方程，得( (1)1)2 2m m5 50 0，m m1 15 54 4，原方程为原方程为x x2 24 4x x5 50 0，( (x x5)(5)(x x1)1)0 0，x x5 50 0或或x x1 10 0，x x1 15 5，x x2 21 1，即另一根为，即另一根为x x5.5.【答案答案】4 4x x5 5考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页三、解答题三、解答题( (共共4646分分) )1919(15(15分分) )解方程解方程(1)(2012(1)(2012中考预测题中考预测题) )用用配方法配方法解一元二次方程：解一元二次方程：x x2 25 54 4x x；(2)(2011(2)(2011武汉武汉) )x x2 23 3x x1 10 0；(3)(2012(3)(2012中考预测题中考预测题)()(x x1)1)2 29(9(x x1)1)【答案答案】解：解：(1)(1)移项，得移项，得x x2 24 4x x5 5配方，得配方，得x x2 24 4x x4 45 54 4，即，即( (x x2)2)2 29 9开方，得开方，得x x2 233即即x x2 23 3或或x x2 23 3，x x1 15 5，x x2 21 1(2)(2)a a1 1，b b3 3，c c1 1，考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页2020(6(6分分)(2012)(2012中考预测题中考预测题) )如图，在宽为如图，在宽为20 m20 m、长为、长为32 m32 m的矩形地的矩形地面上修筑同样宽的道路面上修筑同样宽的道路( (图中阴影部分图中阴影部分) )，余下部分作为草坪，要使草坪的，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为面积为540 m540 m2 2，求道路的宽，求道路的宽【答案答案】解：设道路的宽为解：设道路的宽为x x m m，根据题意，得，根据题意，得(20(20x x)(32)(32x x) )540540，x x2 25252x x1001000 0，x x1 12 2，x x2 250(50(不合题意，舍去不合题意，舍去) )答：道路的宽为答：道路的宽为2 m.2 m.考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页2121(7(7分分)(2011)(2011南充南充) )关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 22 2x xk k1 10 0的的实数解是实数解是x x1 1和和x x2 2. .(1)(1)求求k k 的取值范围；的取值范围；(2)(2)如果如果x x1 1x x2 2x x1 1x x2 21 1且且k k为整数，求为整数，求k k 的值的值【答案答案】解：解：(1)(1)方程有实数根，方程有实数根，2 22 24(4(k k1)01)0，解得，解得k k0.0.k k的取值范围是的取值范围是k k0.0.考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页(2)(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得根据一元二次方程根与系数的关系，得x x1 1x x2 22 2，x x1 1x x2 2k k1 1，x x1 1x x2 2x x1 1x x2 22 2( (k k1)1)由已知，得由已知，得2 2k k1 11 1，解得，解得k k2.2.又由又由(1)(1)得得k k00，2 2k k0.0.k k为整数，为整数，k k的值为的值为1 1或或0.0.考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页2222(8(8分分)(2011)(2011日照日照) )为落实国务院房地产调控政策，使为落实国务院房地产调控政策，使“居者有居者有其屋其屋”，某市加快了廉租房的建设力度，某市加快了廉租房的建设力度.2010.2010年市政府共投资年市政府共投资2 2亿元人民亿元人民币建设了廉租房币建设了廉租房8 8万平方米，预计到万平方米，预计到20122012年底三年共累计投资年底三年共累计投资9.59.5亿元人亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同(1)(1)求每年市政府投资的增长率；求每年市政府投资的增长率；(2)(2)若这两年的建设成本不变，求到若这两年的建设成本不变，求到20122012年底共建设了多少万平方米年底共建设了多少万平方米廉租房廉租房【答案答案】解：解：(1)(1)设每年市政府投资的增长率为设每年市政府投资的增长率为x x，根据题意，得，根据题意，得2 22 2(1(1x x) )2(12(1x x) )2 29.59.5，整理，得，整理，得x x2 23 3x x1.751.750 0，考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页答：每年市政府投资的增长率为答：每年市政府投资的增长率为50%.50%.(2)(2)到到20122012年底共建廉租房面积年底共建廉租房面积9.5(82)9.5(82)38(38(万平方米万平方米) )考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页2323(10(10分分)(2012)(2012中考预测题中考预测题) )随着人们经济收入的不断提高及汽车随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点据某市交通部门统计，增长点据某市交通部门统计，20082008年年底全市汽车拥有量为年年底全市汽车拥有量为180180万辆，万辆，而截止到而截止到20102010年年底，全市的汽车拥有量已达年年底，全市的汽车拥有量已达216216万辆万辆(1)(1)求求20082008年年底至年年底至20102010年年底该市汽车拥有量的年平均增长率；年年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(2)(2)为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到总量，要求到20122012年底全市汽车拥有量不超过年底全市汽车拥有量不超过231.96231.96万辆；另据估计，万辆；另据估计，从从20112011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.10%.假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆？多不能超过多少万辆？考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案答案】解：解：(1)(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为设该市汽车拥有量的年平均增长率为x x，根据题，根据题意，得意，得150(1150(1x x) )2 2216216，解得，解得x x1 10.20.220%20%，x x2 22.2(2.2(不合题意，舍不合题意，舍去去) )答：该市汽车拥有量的年平均增长率为答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.20%.(2)(2)设全市每年新增汽车数量为设全市每年新增汽车数量为y y万辆，则万辆，则20112011年底全市的汽车拥年底全市的汽车拥有量为有量为(21690%(21690%y y) )万辆，万辆，20122012年底全市的汽车拥有量为年底全市的汽车拥有量为(21690%(21690%y y)90%)90%y y 万辆根据题意得万辆根据题意得(21690%(21690%y y)90%)90%y y231.96231.96，解，解得：得：y y3030，即该市每年新增汽车数量最多不能超过，即该市每年新增汽车数量最多不能超过3030万辆万辆