2.2.1 平方差公式1.1.用多项式乘多项式的法则计算下列各式：用多项式乘多项式的法则计算下列各式：(1)(x(1)(x2)(x2)(x2)=_.2)=_.(2)(3(2)(3y)(3y)=_. y)(3y)=_. (3)(m(3)(m5n)(m5n)=_.5n)(m5n)=_.2.2.观察以上算式，两个因式第一个是两项的观察以上算式，两个因式第一个是两项的_，第二个是两项，第二个是两项的的_，它们的积是这两项的，它们的积是这两项的_._.x x2 2-4-49-y9-y2 2m m2 2-25n-25n2 2和和差差平方差平方差【归纳归纳】上述规律用公式表示：上述规律用公式表示：(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)=_两个数的两个数的_与这两个数的与这两个数的_的积，等于这两个数的的积，等于这两个数的_a a2 2-b-b2 2和和差差平方差平方差【预习思考预习思考】平方差公式中的平方差公式中的a a，b b有什么特点有什么特点? ?提示：提示：a a是两个二项式中相同的项是两个二项式中相同的项,b,b是互为相反数的项是互为相反数的项. . 平方差公式平方差公式【例例1 1】(6(6分分) )计算：计算：(1)(3x+1)(3x-1).(1)(3x+1)(3x-1).(2)(a-2b)(-a-2b).(2)(a-2b)(-a-2b).【规范解答规范解答】(1)(3x+1)(1)(3x+1)(3x-1)=(3x-1)=(3x)(3x)2 2- -1 12 2= =9x9x2 2-1-1. . 3 3分分(2)(a-2b)(-a-2b)=(-2b+a)(-2b(2)(a-2b)(-a-2b)=(-2b+a)(-2b-a-a) )4 4分分= =(-2b)(-2b)2 2 - -a a2 2= =4b4b2 2-a-a2 2. . 6 6分分【规律总结规律总结】运用平方差公式进行计算的三步法运用平方差公式进行计算的三步法变形变形将算式变形为两数和与两数差的积的形式将算式变形为两数和与两数差的积的形式套公式套公式套用公式，将结果写成两数平方差的形式套用公式，将结果写成两数平方差的形式计算计算根据积的乘方计算根据积的乘方计算. .套用平方差公式时，套用平方差公式时，结果为（完全相同项）结果为（完全相同项）2 2- -（互为相反数的（互为相反数的项）项）2 2【跟踪训练跟踪训练】1.1.计算计算(2a+b)(2a-b)(2a+b)(2a-b)的结果是的结果是( )( )(A)4a(A)4a2 2-b-b2 2 (B)b (B)b2 2-4a-4a2 2(C)2a(C)2a2 2-b-b2 2 (D)b (D)b2 2-2a-2a2 2【解析解析】选选A.(2a+b)(2a-b)=(2a)A.(2a+b)(2a-b)=(2a)2 2-b-b2 2=4a=4a2 2-b-b2 2. .2.2.下列各式能用平方差公式计算的是下列各式能用平方差公式计算的是( )( )(A)(3a+b)(a-b) (B)(-3a-b)(-3a+b)(A)(3a+b)(a-b) (B)(-3a-b)(-3a+b)(C)(3a+b)(-3a-b) (D)(-3a+b)(3a-b)(C)(3a+b)(-3a-b) (D)(-3a+b)(3a-b)【解析解析】选选B.B.平方差公式中必须存在一组完全相同的项和一组平方差公式中必须存在一组完全相同的项和一组互为相反数的项互为相反数的项.A.A，C C，D D中不存在相同的项，因此中不存在相同的项，因此A A，C C，D D都不都不符合平方差公式的要求符合平方差公式的要求. .3.3.计算：计算：(2x+3y)(2x-3y)=_.(2x+3y)(2x-3y)=_.【解析解析】(2x+3y)(2x-3y)=(2x)(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2 2-(3y)-(3y)2 2=4x=4x2 2-9y-9y2 2. .答案：答案：4x4x2 2-9y-9y2 24.(-xy-1)(_)=x4.(-xy-1)(_)=x2 2y y2 2-1.-1.【解析解析】根据平方差公式右边根据平方差公式右边a a2 2-b-b2 2中被减数中的中被减数中的a a代表相同的项代表相同的项, ,而减数中的而减数中的b b在等式左边中应是互为相反数的项在等式左边中应是互为相反数的项. .本式中含本式中含xyxy的的项为项为a,a,即相同的项即相同的项, ,而含而含1 1的项为的项为b,b,即互为相反数的项，所以括即互为相反数的项，所以括号中应填号中应填-xy+1.-xy+1.答案：答案：-xy+1-xy+15.(20125.(2012无锡中考无锡中考) )计算：计算：3(x3(x2 2+2)-3(x+1)(x-1).+2)-3(x+1)(x-1).【解析解析】原式原式=3x=3x2 2+6-3(x+6-3(x2 2-1)=3x-1)=3x2 2+6-3x+6-3x2 2+3=9.+3=9. 平方差公式的简单应用平方差公式的简单应用【例例2 2】计算计算1 003997.1 003997.【解题探究解题探究】直接计算比较麻烦，考虑利用平方差公式进行计直接计算比较麻烦，考虑利用平方差公式进行计算算. .为此，需把为此，需把1 0031 003看成两个数的看成两个数的和和，而把，而把997997看作这两个数的看作这两个数的差差，设较小的数为，设较小的数为x x，则较大的数为，则较大的数为1 003-x1 003-x，故，故1 003-x-1 003-x-x x =997=997，所以所以x=3x=3，1 003-x=1 003-x=1 0001 000，因此因此1 003997=1 003997=(1 000+3)(1 000+3)(1 000-3)(1 000-3)= =1 0001 0002 2 - -3 32 2= =999 991999 991. .【规律总结规律总结】灵活运用平方差公式的三种情形灵活运用平方差公式的三种情形1.1.用平方差公式简便计算两数的积用平方差公式简便计算两数的积. .2.2.在整式的混合运算中，正确识别符合平方差公式的部分在整式的混合运算中，正确识别符合平方差公式的部分. .3.3.变化系数灵活运用平方差公式变化系数灵活运用平方差公式. .【跟踪训练跟踪训练】6.2 0116.2 0112 2-2 0102 012-2 0102 012的计算结果是的计算结果是( )( )(A)1(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2 (B)-1 (C)2 (D)-2【解析解析】选选A.A.原式原式=2 011=2 0112 2-(2 011-1)(2 011+1)-(2 011-1)(2 011+1)=2 011=2 0112 2-(2 011-(2 0112 2-1)=2 011-1)=2 0112 2-2 011-2 0112 2+1=1.+1=1.7.(20127.(2012长春中考长春中考) )先化简，再求值：先化简，再求值：(a+2)(a-2)+2(a(a+2)(a-2)+2(a2 2+3)+3)，其中其中a= .a= .【解析解析】(a+2)(a-2)+2(a(a+2)(a-2)+2(a2 2+3)=a+3)=a2 2-4+2a-4+2a2 2+6=3a+6=3a2 2+2+2，当，当a= a= 时，时，原式原式=3( )=3( )2 2+2= .+2= .8.8.街心花园有一块边长为街心花园有一块边长为a a米的正方形草坪，经规划后，草坪南米的正方形草坪，经规划后，草坪南北方向要加长北方向要加长2 2米，而东西方向要缩短米，而东西方向要缩短2 2米，问改造后的长方形米，问改造后的长方形草坪的面积和以前相比变化多少？草坪的面积和以前相比变化多少？【解析解析】改造后草坪的面积为：改造后草坪的面积为：(a+2)(a-2)=a(a+2)(a-2)=a2 2-4(-4(平方米平方米).).而以前正方形草坪的面积为而以前正方形草坪的面积为a a2 2平方米，故改造后草坪的面积和以平方米，故改造后草坪的面积和以前相比减少前相比减少4 4平方米平方米. .1.(20121.(2012哈尔滨中考哈尔滨中考) )下列运算中，正确的是下列运算中，正确的是( )( )(A)a(A)a3 3aa4 4=a=a1212 (B)(a (B)(a3 3) )4 4=a=a1212(C)a+a(C)a+a4 4=a=a5 5 (D)(a+b)(a-b)=a (D)(a+b)(a-b)=a2 2+b+b2 2【解析解析】选选B.B.因为因为a a3 3a a4 4=a=a7 7；(a(a3 3) )4 4=a=a1212；a a与与a a4 4不是同类项，不不是同类项，不能合并；能合并；(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2，所以，所以A A，C C，D D错误，错误，B B正确正确. .2.2.下列计算能用平方差公式的是下列计算能用平方差公式的是( )( )(A)(m+n)(-m-n) (B)(3- xy(A)(m+n)(-m-n) (B)(3- xy2 2)(3+ x)(3+ x2 2y)y)(C)(2x+3)(3x-2) (D)(2m(C)(2x+3)(3x-2) (D)(2m2 2-3n)(-2m-3n)(-2m2 2-3n)-3n)【解析解析】选选D.D.根据平方差公式根据平方差公式(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2知等号左边为两知等号左边为两个二项式相乘，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项个二项式相乘，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数，故选互为相反数，故选D.D.3.3.计算：计算：(- +a)(-a- )=_.(- +a)(-a- )=_.【解析解析】原式原式=(- +a)(- -a)=(- )=(- +a)(- -a)=(- )2 2-a-a2 2= -a= -a2 2. .答案：答案： -a-a2 24. 4. 用简便方法计算：用简便方法计算：503497=_503497=_；1.020.98=_.1.020.98=_.【解析解析】503497=(500+3)(500-3)=500503497=(500+3)(500-3)=5002 2-3-32 2=250 000-9=249 991=250 000-9=249 991；1.020.98=(1+0.02)(1-0.02)=1-0.021.020.98=(1+0.02)(1-0.02)=1-0.022 2=0.999 6.=0.999 6.答案：答案： 249 991 0.999 6249 991 0.999 65.(20125.(2012茂名中考茂名中考) )先化简，再求值：先化简，再求值：a(a+1)-(a+1)(a-1)a(a+1)-(a+1)(a-1)，其，其中中a=3.a=3.【解析解析】原式原式=a=a2 2+a-(a+a-(a2 2-1)=a-1)=a2 2+a-a+a-a2 2+1=a+1+1=a+1，当当a=3a=3时，原式时，原式=a+1=3+1=4.=a+1=3+1=4.