第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲二、平面上曲线积分与路径无关的分与路径无关的 等价条件等价条件机动目录上页下页返回结束格林公式及其应用 第十章 区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一、一、 格林公式格林公式机动目录上页下页返回结束证明明:1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且则定理1 目录上页下页返回结束即同理可证、两式相加得:定理1 目录上页下页返回结束2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域 , 如图证毕定理1 目录上页下页返回结束推推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式例如例如, 椭圆所围面积定理1 目录上页下页返回结束例例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明证: 令则利用格林公式 , 得机动目录上页下页返回结束例例2. 计算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令, 则利用格林公式 , 有机动目录上页下页返回结束例例3. 计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知机动目录上页下页返回结束在D 内作圆周取逆时针方向, 对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得机动目录上页下页返回结束二、平面上曲二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动目录上页下页返回结束说明明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明明 (1) (2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 则(根据条件(1)定理2 目录上页下页返回结束证明明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式格林公式 , 得所围区域为证毕定理2 目录上页下页返回结束说明明:根据定理2 , 若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线.1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;定理2 目录上页下页返回结束例例4. 计算其中L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D , 则机动目录上页下页返回结束例例5. 设质点在力场作用下沿曲线 L :由移动到求力场所作的功W解解:令则有可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.机动目录上页下页返回结束思考思考: 积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !机动目录上页下页返回结束内容小内容小结1. 格林公式2. 等价条件在 D 内与路径无关.对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有机动目录上页下页返回结束 *等价条件(3)的应用可用积分法求的原函数：与积分路径无关，选取折线。作作业P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4)