第六章 条件异方差模型 EViews中中的的大大多多数数统统计计工工具具都都是是用用来来建建立立随随机机变变量量的的条条件件均均值值模模型型。本本章章讨讨论论的的重重要要工工具具具具有有与与以以往往不不同同的的目目的的建立变量的条件方差或变量波动性模型。建立变量的条件方差或变量波动性模型。 我我们们想想要要建建模模并并预预测测其其变变动动性性通通常常有有如如下下几几个个原原因因: 首首先先，我我们们可可能能要要分分析析持持有有某某项项资资产产的的风风险险；其其次次，预预测测置置信信区区间间可可能能是是时时变变性性的的，所所以以可可以以通通过过建建立立残残差差方方差差模模型型得得到到更更精精确确的的区区间间；第第三三，如如果果误误差差的的异异方方差差是是能能适适当当控制的，我们就能得到更有效的估计。控制的，我们就能得到更有效的估计。 1 6.1 6.1 自回归条件异方差模型自回归条件异方差模型自回归条件异方差模型自回归条件异方差模型 自自 回回 归归 条条 件件 异异 方方 差差 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模模型型是是特特别别用用来来建建立立条条件件方差模型并对其进行预测的。方差模型并对其进行预测的。 ARCH模模型型是是1982年年由由恩恩格格尔尔(Engle, R.)提提出出，并并由由博博勒勒 斯斯 莱莱 文文 (Bollerslev, T., 1986)发发 展展 成成 为为 GARCH (Generalized ARCH)广广义义自自回回归归条条件件异异方方差差。这这些些模模型型被被广广泛泛的的应应用用于于经经济济学学的的各各个个领领域域。尤尤其其在在金金融融时时间间序序列列分分析中。析中。 按按照照通通常常的的想想法法，自自相相关关的的问问题题是是时时间间序序列列数数据据所所特特有有，而而异异方方差差性性是是横横截截面面数数据据的的特特点点。但但在在时时间间序序列列数数据据中中，会会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？不会出现异方差呢？会是怎样出现的？ 2 恩格尔和克拉格（恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。方差取决于后续扰动项的大小。3 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。预测误差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。模型。ARCH的主要思想是时刻的主要思想是时刻 t 的的ut 的方差的方差( (= t2 ) )依赖于时刻依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于的扰动项平方的大小，即依赖于 t2- 1 。 4 6.1.1 ARCH6.1.1 ARCH模型模型模型模型 为了说得更具体，让我们回到为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型：变量回归模型：(6.1.1) 如如果果 ut 的的均均值值为为零零，对对 yt 取取基基于于(t-1)时时刻刻的的信信息息的的期期望望，即即Et-1(yt)，有如下的关系：有如下的关系： (6.1.2)由由于于 yt 的的均均值值近近似似等等于于式式（）的的估估计计值值，所所以以式式（）也也称称为为均值方程均值方程均值方程均值方程。5 在这个模型中，变量在这个模型中，变量 yt 的条件方差为的条件方差为 （）（）其中：其中：var(yt Yt-1)表示基于表示基于 (t-1) 时刻的信息集合时刻的信息集合Yt-1 = yt-1, yt-2, , y1的的 yt 的条件方差，的条件方差， 假设在时刻假设在时刻 ( t 1 ) 所有信息已知的条件下，扰动项所有信息已知的条件下，扰动项 ut 的条件分布是：的条件分布是： (6.1.7) 也也就就是是，ut 遵遵循循以以0为为均均值值，( 0+ 1u2t-1 )为为方方差差的的正正态态分布。分布。6 由于由于(6.1.7)中中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为称它为ARCH(1)过程：过程： 通通常常用用极极大大似似然然估估计计得得到到参参数数 0, 1, 2, , k, 0, 1的的有效估计。有效估计。 容易加以推广，容易加以推广，ARCH ( (p) )过程可以写为：过程可以写为： (6.1.8)这时方差方程中的这时方差方程中的(p+1)个参数个参数 0, 1, 2, , p也要和回归也要和回归模型中的参数模型中的参数 0, 1, 2, , k一样，利用极大似然估计法进一样，利用极大似然估计法进行估计。行估计。7 如果扰动项方差中没有自相关，就会有如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ：这时这时 从而得到扰动项方差的同方差性情形。从而得到扰动项方差的同方差性情形。 恩恩格格尔尔曾曾表表明明，容容易易通通过过以以下下的的回回归归去去检检验验上上述述虚虚拟拟假设：假设：其中，其中，t 表示从原始回归模型（）估计得到的表示从原始回归模型（）估计得到的OLS残差。残差。 8 在在 ARCH(p) 过过程程中中，由由于于 ut 是是随随机机的的，ut2 不不可可能能为为负负，所所以以对对于于 ut 的的所所有有实实现现值值，只只有有是是正正的的，才才是是合合理理的的。为为使使 ut2 协协方方差差平平稳稳，所所以以进进一一步步要要求求相相应应的的特征方程特征方程 （）（）的根全部位于单位圆外。如果的根全部位于单位圆外。如果 i（i = = 1, 2, , p）都非都非负，式（）等价于负，式（）等价于 1 + + 2 + + + + p 1 1。 96.1.2 ARCH6.1.2 ARCH的检验的检验的检验的检验 下下面面介介绍绍检检验验一一个个模模型型的的残残差差是是否否含含有有ARCH效效应应的的两种方法：两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。检验和残差平方相关图检验。 1. ARCH LM1. ARCH LM检验检验检验检验 Engle在在1982年提出检验残差序列中是否存在年提出检验残差序列中是否存在ARCH效效应的拉格朗日乘数检验（应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即），即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的本身不能使标准的OLS估计无效，估计无效，但是，忽略但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。影响可能导致有效性降低。 10 ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验验原假设：残差中直到原假设：残差中直到原假设：残差中直到原假设：残差中直到q q阶都没有阶都没有阶都没有阶都没有ARCHARCH，运行如下回归：运行如下回归： 式式中中 t 是是残残差差。这这是是一一个个对对常常数数和和直直到到 q 阶阶的的滞滞后后平平方方残残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量：差所作的回归。这个检验回归有两个统计量： （1）F 统统计计量量是是对对所所有有残残差差平平方方的的滞滞后后的的联联合合显显著著性性所所作的一个省略变量检验；作的一个省略变量检验； （2）T R2 统统计计量量是是Engles LM检检验验统统计计量量，它它是是观观测测值个数值个数 T 乘以回归检验的乘以回归检验的 R2 ； 11 普通回归方程的普通回归方程的ARCH检验都是在残差检验下拉列表中检验都是在残差检验下拉列表中进行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二阶段最小进行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二阶段最小二乘法和非线性最小二乘法估计的方程才有此项检验。二乘法和非线性最小二乘法估计的方程才有此项检验。 Breusch-Pagan-GodfreyHarveyGlejserARCHWhiteCustom Test Wizard图图图图6.4 6.4 普通方程的普通方程的普通方程的普通方程的ARCHARCH检验列表检验列表检验列表检验列表122. 2. 残差平方相关图残差平方相关图残差平方相关图残差平方相关图 显显示示直直到到所所定定义义的的滞滞后后阶阶数数的的残残差差平平方方t2的的自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数，计计算算出出相相应应滞滞后后阶阶数数的的Ljung-Box统统计计量量。残残差差平平方方相相关关图图可可以以用用来来检检查查残残差差自自回回归归条条件件异异方方差差性性（ARCH）。如如如如果果果果残残残残差差差差中中中中不不不不存存存存在在在在ARCHARCH，在在在在各各各各阶阶阶阶滞滞滞滞后后后后自自自自相相相相关关关关和和和和偏偏偏偏自自自自相相相相关关关关系系系系数数数数应应应应为为为为0 0，且且且且QQ统统统统计计计计量量量量应应应应不不不不显显显显著著著著。可可适适用用于于LS，TSLS，非非线线性性LS方方程程。在在图图中中选选择择Residuals Tests/ Correlogram Squared Residuals项项，它它是是对对方方程程进进行行残残差差平平方方相相关关图图的的检检验验。单单击击该该命命令令，会会弹弹出出一一个个输输入入计计算算自自相相关关和和偏偏自自相相关关系系数数的的滞滞后后阶阶数数设设定定的的对对话话框框，默默认认的的设设定定为为36，单击，单击OK按钮，得到检验结果。按钮，得到检验结果。 13 例例例例6. 6.1 1 沪市股票价格指数波动的沪市股票价格指数波动的沪市股票价格指数波动的沪市股票价格指数波动的ARCHARCH检验检验检验检验 为为了了检检验验股股票票价价格格指指数数的的波波动动是是否否具具有有条条件件异异方方差差性性，本本例例选选择择了了沪沪市市股股票票的的收收盘盘价价格格指指数数的的日日数数据据作作为为样样本本序序列列，这这是是因因为为上上海海股股票票市市场场不不仅仅开开市市早早，市市值值高高，对对于于各各种种冲冲击击的的反反应应较较为为敏敏感感，因因此此，本本例例所所分分析析的的沪沪市市股股票票价价格格波波动动具具有有一一定定代代表表性性。在在这这个个例例子子中中，我我们们选选择择的的样样本本序序列列sp是是1996年年1月月1日日至至2006年年12月月31日日的的上上海海证证券券交交易易所所每每日日股股票票价价格格收收盘盘指指数数，为为了了减减少少舍舍入入误误差差，在在估估计计时时，对对sp进进行行自自然然对对数数处处理理，即即将将序序列列ln(sp)作为因变量进行估计。作为因变量进行估计。14 由由于于股股票票价价格格指指数数序序列列常常常常用用一一种种特特殊殊的的单单位位根根过过程程随随机机游游动动（Random Walk）模模型型描描述述，所所以以本本例例进进行行估估计的基本形式为：计的基本形式为： (6.1.12) 首首先先利利用用最最小小二二乘乘法法，估估计计了了一一个个普普通通的的回回归归方方程程，结结果如下：果如下：(6.1.13) (2.35) (951) R2= 0.997 15 可可以以看看出出，这这个个方方程程的的统统计计量量很很显显著著，而而且且，拟拟合合 的的程程度度也也很很好好。但但是是需需要要检检验验这这个个方方程程的的误误差差项项是是否否存存在条件异方差性，。在条件异方差性，。16 图图图图 股票价格指数方程回归残差股票价格指数方程回归残差股票价格指数方程回归残差股票价格指数方程回归残差 观观察察上上图图，该该回回归归方方程程的的残残差差，我我们们可可以以注注意意到到波波动动的的“成成群群”现现象象：波波动动在在一一些些较较长长的的时时间间内内非非常常小小，在在其其他他一一些些较较长长的的时间内非常大，这说明残差序列存在高阶时间内非常大，这说明残差序列存在高阶ARCH效应。效应。17 因此，对式因此，对式(6.1.26)进行条件异方差的进行条件异方差的ARCH LM检验，检验，得到了在滞后阶数得到了在滞后阶数p = 3时的时的ARCH LM检验结果如下。此处的检验结果如下。此处的P值为值为0，拒绝原假设，说明式（）的残差序列存在，拒绝原假设，说明式（）的残差序列存在ARCH效应。效应。 可以计算式（）的残差平方可以计算式（）的残差平方t2的自相关（的自相关（AC）和偏自相关）和偏自相关（PAC）系数，结果说明式（）的残差序列存在）系数，结果说明式（）的残差序列存在ARCH效应。效应。18 例例例例6. 6.2 2 中国中国中国中国CPICPI模型的模型的模型的模型的ARCHARCH检验检验检验检验 本例建立本例建立CPI模型，因变量为中国的消费价格指数（上年同月模型，因变量为中国的消费价格指数（上年同月=100）减去）减去100，记为，记为cpit；解释变量选择货币政策变量：狭义货；解释变量选择货币政策变量：狭义货币供应量币供应量M1的增长率，记为的增长率，记为m1rt；3年期贷款利率，记为年期贷款利率，记为Rt，样本，样本期间是期间是1994年年1月月2007年年12月。由于是月度数据，利用月。由于是月度数据，利用X-12季节季节调整方法对调整方法对 cpit 和和 m1rt 进行了调整，结果如下：进行了调整，结果如下： t = (19.5) (-5.17) (2.88) (-2.74) R2=0.99 对数似然值对数似然值 = -167 19 这个方程的统计量很显著，拟合的程度也很好。但是这个方程的统计量很显著，拟合的程度也很好。但是观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的“成群成群”现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大，现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大，这说明误差项可能具有条件异方差性。这说明误差项可能具有条件异方差性。20 从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶着一阶ARCH效应。再进行条件异方差的效应。再进行条件异方差的ARCH LM检验，检验，得到了在滞后阶数得到了在滞后阶数p = 1时的时的ARCH LM检验结果：检验结果： 因此计算残差平方因此计算残差平方t2的自相关（的自相关（AC）和偏自相关）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：）系数，结果如下： 21 从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶ARCH效应。因此利用效应。因此利用ARCH(1)模型重新估计模型模型重新估计模型（），结果如下：（），结果如下： 均值方程：均值方程： z = (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85) 方差方程：方差方程： z = (5.03) (3.214) R2=0.99 对数似然值对数似然值 方差方程中的方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数似然值项的系数是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时有所增加，同时AIC和和SC值都变小了，这说明值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更模型能够更好的拟合数据。好的拟合数据。 22 再对这个方程进行条件异方差的再对这个方程进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了检验，得到了残差序列在滞后阶数残差序列在滞后阶数p=1时的统计结果：时的统计结果： 此时的相伴概率为，接受原假设，认为该残差序列不存此时的相伴概率为，接受原假设，认为该残差序列不存在在ARCH效应，说明利用效应，说明利用ARCH(1)模型消除了式（）的残差模型消除了式（）的残差序列的条件异方差性。式（）的残差平方相关图的检验结果序列的条件异方差性。式（）的残差平方相关图的检验结果为：为： 自相关系数和偏自相关系数近似为自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明了。这个结果也说明了残差序列不再存在残差序列不再存在ARCH效应。效应。 23 6.1.3 6.1.3 GARCHGARCH模型模型模型模型 扰扰动动项项 ut 的的方方差差常常常常依依赖赖于于很很多多时时刻刻之之前前的的变变化化量量（特特别别是是在在金金融融领领域域，采采用用日日数数据据或或周周数数据据的的应应用用更更是是如如此此）。因因此此 必必须须估估计计很很多多参参数数，而而这这一一点点很很难难精精确确的的做做到到。但但是是如果我们能够意识到方程如果我们能够意识到方程(6.1.8)不过是不过是 t2 的分布滞后模型，的分布滞后模型，我我们们就就能能够够用用一一个个或或两两个个 t2 的的滞滞后后值值代代替替许许多多 ut2 的的滞滞后后值值，这这 就就 是是 广广 义义 自自 回回 归归 条条 件件 异异 方方 差差 模模 型型 (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简简记记为为GARCH模模型型)。在在GARCH模模型型中中，要要考考虑虑两两个个不不同同的的设设定定：一个是条件均值，另一个是条件方差。一个是条件均值，另一个是条件方差。 24 在标准化的在标准化的GARCH(1,1)模型中：模型中：均值方程：均值方程：(6.1.17)方差方程：方差方程：(6.1.18)其其中中：xt 是是 (k+1)1维维外外生生变变量量向向量量， 是是(k+1)1维维系系数数向向量量。 (6.1.17)中中给给出出的的均均值值方方程程是是一一个个带带有有扰扰动动项项的的外外生生变变量量函函数数。由由于于 t2是是以以前前面面信信息息为为基基础础的的一一期期向向前前预预测测方方差差 ，所以它被称作条件方差，所以它被称作条件方差，式式（）（）也被称作也被称作条件方差方程条件方差方程条件方差方程条件方差方程 。25 (6.1.18)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1常数项（均值）：常数项（均值）： 2用用均均值值方方程程(6.1.11)的的扰扰动动项项平平方方的的滞滞后后来来度度量量从前期得到的波动性的信息：从前期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。项）。 3上一期的预测方差：上一期的预测方差： t2-1 （GARCH项）。项）。 GARCH(1,1)模模型型中中的的(1,1)是是指指阶阶数数为为1的的GARCH项项（括括号号中中的的第第一一项项）和和阶阶数数为为1的的ARCH项项（括括号号中中的的第第二二项项）。一一个个普普通通的的ARCH模模型型是是GARCH模模型型的的一一个个特特例例，GARCH(0,1)，即即在在条条件件方方差差方方程程中中不不存存在在滞滞后后预预测方差测方差 t2-1的说明。的说明。 26 在在EViews中中ARCH模模型型是是在在扰扰动动项项是是条条件件正正态态分分布布的的假假定定下下，通通过过极极大大似似然然函函数数方方法法估估计计的的。例例如如，对对于于GARCH(1,1)，t 时时期期的对数似然函数为：的对数似然函数为：(6.1.19) 其中其中 (6.1.20) 这这个个说说明明通通常常可可以以在在金金融融领领域域得得到到解解释释，因因为为代代理理商商或或贸贸易易商商可可以以通通过过建建立立长长期期均均值值的的加加权权平平均均（常常数数），上上期期的的预预期期方方差差（GARCH项项）和和在在以以前前各各期期中中观观测测到到的的关关于于变变动动性性的的信信息息（ARCH项项）来来预预测测本本期期的的方方差差。如如果果上上升升或或下下降降的的资资产产收收益益出出乎乎意意料料地地大大，那那么么贸贸易易商商将将会会增增加加对对下下期期方方差差的的预预期期。这这个个模模型型还还包包括括了了经经常常可可以以在在财财务务收收益益数数据据中中看看到到的的变变动动组组，在在这这些些数数据据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。27 有有两两个个可可供供选选择择的的方方差差方方程程的的描描述述可可以以帮帮助助解解释释这这个个模模型：型： 1如如果果我我们们用用条条件件方方差差的的滞滞后后递递归归地地替替代代（）式式的的右右端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的加权平均：端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的加权平均： （）（） 我我们们看看到到GARCH(1,1)方方差差说说明明与与样样本本方方差差类类似似，但但是是，它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。 28 2设设 vt = ut2 t2。用用其其替替代代方方差差方方程程（）中中的的方方差差并并整理，得到关于扰动项平方的模型：整理，得到关于扰动项平方的模型： （）（）因此，扰动项平方服从一个异方差因此，扰动项平方服从一个异方差ARMA(1, 1)过程。决定波过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是动冲击持久性的自回归的根是 加加 的和。在很多情况下，这的和。在很多情况下，这个根非常接近个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。，所以冲击会逐渐减弱。 29 方差方程的回归因子方差方程的回归因子方差方程的回归因子方差方程的回归因子 方方程程(6.1.18)可可以以扩扩展展成成包包含含外外生生的的或或前前定定回回归归因因子子 z 的方差方程：的方差方程： （）（） 注注意意到到从从这这个个模模型型中中得得到到的的预预测测方方差差不不能能保保证证是是正正的的。可可以以引引入入到到这这样样一一些些形形式式的的回回归归算算子子，它它们们总总是是正正的的，从从而而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：30 高阶高阶高阶高阶GARCH(GARCH(p p, , q q) )模型模型模型模型 高高阶阶GARCH模模型型可可以以通通过过选选择择大大于于1的的 p 或或 q 得得到到估估计，记作计，记作GARCH(q, p)。其方差表示为：其方差表示为：（）（） 这里这里，q 是是GARCH项的阶数，项的阶数， p是是ARCH项的阶数项的阶数，p0并并且且, , (L)和和 (L)是滞后算子多项式是滞后算子多项式。 31 为了使为了使GARCH(q, p)模型的条件方差有明确的定义，模型的条件方差有明确的定义，相应的相应的ARCH()模型模型 （）（）的所有系数都必须是正数。只要的所有系数都必须是正数。只要 (L)和和 (L)没有相同的根没有相同的根并且并且 (L)的根全部位于单位圆外，那么当且仅当的根全部位于单位圆外，那么当且仅当 0= 0/(1- (L)， (L)= (L)/(1- (L)的所有系数都非的所有系数都非负时，这个正数限定条件才会满足。例如，对于负时，这个正数限定条件才会满足。例如，对于GARCH(1, 1)模型模型 （）（）这些条件要求所有的这些条件要求所有的3个参数都是非负数个参数都是非负数。326.1.4 IGARCH6.1.4 IGARCH模型模型模型模型 如果限定如果限定GARCH模型的方差方程中的参数和等于模型的方差方程中的参数和等于1，并且去掉常数项：并且去掉常数项： （）（）其中其中 （）（） 这就是这就是Engle和和Bollerslev（1986）首先提出的单整）首先提出的单整GARCH模型（模型（Intergrated GARCH Model，IGARCH）。）。336.1.5 6.1.5 约束及回推约束及回推约束及回推约束及回推 1 1约束约束约束约束 在估计一个在估计一个GARCH模型时，有两种方式对模型时，有两种方式对GARCH模型模型的参数进行约束（的参数进行约束（restrictions）。一个选择是）。一个选择是IGARCH方法，方法，它将模型的方差方程中的所有参数之和限定为它将模型的方差方程中的所有参数之和限定为1。另一个就。另一个就是方差目标（是方差目标（variance target）方法，它把方差方程（）中）方法，它把方差方程（）中的常数项设定为的常数项设定为GARCH模型的参数和无条件方差的方程：模型的参数和无条件方差的方程： （）（）这里的这里的 是残差的无条件方差。是残差的无条件方差。34 2 2回推回推回推回推 在计算在计算GARCH模型的回推初始方差时，首先用系数值模型的回推初始方差时，首先用系数值来计算均值方程中的残差，然后计算初始值的指数平滑算子来计算均值方程中的残差，然后计算初始值的指数平滑算子 （）（）其中：其中：t 是来自均值方程的残差，是来自均值方程的残差， 是无条件方差的估计：是无条件方差的估计： （）（）平滑参数平滑参数 为至为至1之间的数值。也可以使用无条件方差来初之间的数值。也可以使用无条件方差来初始化始化GARCH过程：过程： （）（）356.1.6 GARCH6.1.6 GARCH模型的残差分布假设模型的残差分布假设模型的残差分布假设模型的残差分布假设 在实践中我们注意到，许多时间序列，特别是金融时间在实践中我们注意到，许多时间序列，特别是金融时间序列的无条件分布往往具有比正态分布更宽的尾部。为了更序列的无条件分布往往具有比正态分布更宽的尾部。为了更精确地描述这些时间序列分布的尾部特征，还需要对误差项精确地描述这些时间序列分布的尾部特征，还需要对误差项ut的分布进行假设。的分布进行假设。GARCH模型中的扰动项的分布，一般模型中的扰动项的分布，一般会有会有3个假设：正态（高斯）分布、学生个假设：正态（高斯）分布、学生t-分布和广义误差分分布和广义误差分布（布（GED）。给定一个分布假设，）。给定一个分布假设，GARCH模型常常使用极模型常常使用极大似然估计法进行估计。下面分别介绍这大似然估计法进行估计。下面分别介绍这3种分布，其中的种分布，其中的 代表参数向量。代表参数向量。 1对于扰动项服从正态分布的对于扰动项服从正态分布的GARCH(1, 1)模型，它模型，它的对数似然函数为的对数似然函数为 （）（）这里的这里的 t2是是ut的条件方差。的条件方差。36 2如果扰动项服从学生如果扰动项服从学生t分布，分布，GARCH(1, 1)模型的对数似模型的对数似然函数的形式就是然函数的形式就是 （）（） 这样，参数的估计就变成了在自由度这样，参数的估计就变成了在自由度k2的约束下使对数似的约束下使对数似然函数（）最大化的问题。当然函数（）最大化的问题。当k时，学生时，学生t-分布接近于正态分分布接近于正态分布。布。注注 式（）和（）中的式（）和（）中的 ( )代表代表 函数：函数： 若若N是偶整数，则是偶整数，则 (N/2)=1 2 3 (N/2)-1，有，有 (2/2)=1； 若若N是奇整数，则是奇整数，则 ， 有有 。37 3扰动项的分布为广义误差分布（扰动项的分布为广义误差分布（GED）时，）时，GARCH(1, 1)模型的对数似然函数的形式为模型的对数似然函数的形式为 （）（）这里的参数这里的参数r 0。如果。如果r = 2，那么，那么GED就是一个正态分布。就是一个正态分布。38 ARCH-MARCH-M模型模型模型模型 金金融融理理论论表表明明具具有有较较高高可可观观测测到到风风险险的的资资产产可可以以获获得得更更高高的的平平均均收收益益，其其原原因因在在于于人人们们一一般般认认为为金金融融资资产产的的收收益益应应当当与与其其风风险险成成正正比比，风风险险越越大大，预预期期的的收收益益就就越越高高。这这种种利利用用条条件件方方差差表表示示预预期期风风险险的的模模型型被被称称为为ARCH均均值值模模型型(ARCH-in-mean)或或ARCH-M回回归归模模型型。在在ARCH-M中中我我们们把把条件方差引进到均值方程中条件方差引进到均值方程中: （）（） ARCH-M模模型型的的另另一一种种不不同同形形式式是是将将条条件件方方差差换换成成条条件件标准差：标准差：（）（） 或取对数或取对数 （）（） 39 ARCH-M模模型型通通常常用用于于关关于于资资产产的的预预期期收收益益与与预预期期风风险险紧紧密密相相关关的的金金融融领领域域。预预期期风风险险的的估估计计系系数数是是风风险险收收益益交交易易的的度度量量。例例如如，我我们们可可以以认认为为某某股股票票指指数数，如如上上证证的的股股票票指指数的收益率数的收益率（returet）依赖于一个常数项及条件方差依赖于一个常数项及条件方差(风险风险)： 这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。模型。 40在在在在EViewsEViews中中中中估计估计估计估计ARCHARCH模型模型模型模型 估计估计GARCH和和ARCH模型，首先模型，首先选择选择Object/ New Object/ Equation，然后在然后在Method的下的下拉菜单中选择拉菜单中选择ARCH，得到如下，得到如下的对话框。的对话框。图图图图6.5 ARCH6.5 ARCH模型定义对话框模型定义对话框模型定义对话框模型定义对话框41 与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。差方程。 一、均值方程一、均值方程一、均值方程一、均值方程(Mean equation)(Mean equation) 在在因因变变量量编编辑辑栏栏中中输输入入均均值值方方程程形形式式，均均值值方方程程的的形形式式可可以以用用回回归归列列表表形形式式列列出出因因变变量量及及解解释释变变量量。如如果果方方程程包包含含常常数数，可可在在列列表表中中加加入入C。如如果果需需要要一一个个更更复复杂杂的的均均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。值方程，可以用公式的形式输入均值方程。 42 如果解释变量的表达式中含有如果解释变量的表达式中含有ARCHM项，就需要项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。点击对话框右上方对应的按钮。EViews中的中的ARCH-M的的下拉框中下拉框中，有有4个选项：个选项： 1.选项选项None表示方程中不含有表示方程中不含有ARCHM项；项； 2.选项选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差表示在方程中加入条件标准差 ； 3.选项选项Variance则表示在方程中含有条件方差则表示在方程中含有条件方差 2。 4.选选项项Log(Var)，表表示示在在均均值值方方程程中中加加入入条条件件方方差差的的对数对数ln( 2)作为解释变量。作为解释变量。 43 二、二、二、二、方差设定和分布设定方差设定和分布设定方差设定和分布设定方差设定和分布设定 (Variance and distribution (Variance and distribution specification) specification) EViews的选择模型类型列表的选择模型类型列表 (1) 在下拉列表中可以选择所要估计的在下拉列表中可以选择所要估计的ARCH模型的类模型的类型。型。 44 设定了模型形式以后，就可以选择设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和项和GARCH项的阶数。缺省的形式为包含一阶项的阶数。缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶项和一阶GARCH项的模型，这是现在最普遍的设定。项的模型，这是现在最普遍的设定。 如果估计一个非对称的模型，就应该在如果估计一个非对称的模型，就应该在Threshold编辑编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为型，即该选项的个数为0。可以估计含有多个非对称项的非。可以估计含有多个非对称项的非对称模型。对称模型。 这里需要注意，这里需要注意，EViews只能估计只能估计Component ARCH (1,1)模型，也就是说如果选择该项，则不能再选择模型，也就是说如果选择该项，则不能再选择ARCH项项和和GARCH项的阶数，但可以通过选择包含非对称项来估计项的阶数，但可以通过选择包含非对称项来估计非对称非对称Component ARCH模型，但该模型也只能包含一个非模型，但该模型也只能包含一个非对称项。对称项。 45 （2）在）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于方程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包在进行方差回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。 （3）约束（）约束（Restriction）下拉列表则允许我们进行）下拉列表则允许我们进行IGARCH约束或者方差目标（约束或者方差目标（variance target）约束，当然）约束，当然也可以不进行任何约束（也可以不进行任何约束（None）。）。46 (4) Error组合框可以设定误差的分布形式：组合框可以设定误差的分布形式： 缺省的形式：缺省的形式：Normal（Gaussian），）， 备选的选项有：备选的选项有： Students-t； Generalized Error（GED）；）； Students-t with fixed df.； GED with fixed parameter。 需需要要注注意意，选选择择了了后后两两个个选选项项的的任任何何一一项项都都会会弹弹出出一一个个选选择择框框，需需要要在在这这个个选选择择框框中中分分别别为为这这两两个个分分布布的的固固定定参数设定一个值。参数设定一个值。47 三、估计选项三、估计选项三、估计选项三、估计选项（OptionsOptions） EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击要点击Options按钮并按要求填写对话即可。按钮并按要求填写对话即可。 48 1. 1. 回推回推回推回推 (Backcasting)(Backcasting) 在缺省的情况下，在缺省的情况下，MA初始的扰动项和初始的扰动项和GARCH项中要项中要求的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。如果求的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。如果不选择回推算法，不选择回推算法，EViews会设置残差为零来初始化会设置残差为零来初始化MA过过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化差来初始化GARCH模型的效果要理想。模型的效果要理想。 49 2. 2. 系数协方差系数协方差系数协方差系数协方差 (Coefficient Covariance) (Coefficient Covariance) 点点击击Heteroskedasticity Consistent Covariances计计算算极大似然（极大似然（QML）协方差和标准误差。）协方差和标准误差。 如如果果怀怀疑疑残残差差不不服服从从条条件件正正态态分分布布，就就应应该该使使用用这这个个选选项项。只只有有选选定定这这一一选选项项，协协方方差差的的估估计计才才可可能能是是一一致的，才可能产生正确的标准差。致的，才可能产生正确的标准差。 注注意意如如果果选选择择该该项项，参参数数估估计计将将是是不不变变的的，改改变变的的只是协方差矩阵。只是协方差矩阵。50 3. 3. 导数方法导数方法导数方法导数方法 (Derivatives)(Derivatives) EViews现现在在用用数数值值导导数数方方法法来来估估计计ARCH模模型型。在在计计算算导导数数的的时时候候，可可以以控控制制这这种种方方法法达达到到更更快快的的速速度度（较较大大的的步步长长计计算）或者更高的精确性（较小的步长计算）。算）或者更高的精确性（较小的步长计算）。 4. 4. 迭代估计控制迭代估计控制迭代估计控制迭代估计控制 (Iterative process)(Iterative process) 当当用用默默认认的的设设置置进进行行估估计计不不收收敛敛时时，可可以以通通过过改改变变初初值值、增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。 5 5算法选择算法选择算法选择算法选择 (Optimization algorithm)(Optimization algorithm) ARCH模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用选择迭代算法（选择迭代算法（Marquardt、BHHH/高斯高斯-牛顿）使其达到收牛顿）使其达到收敛。敛。 51例例例例6.3 6.3 沪市股票价格指数波动的沪市股票价格指数波动的沪市股票价格指数波动的沪市股票价格指数波动的GARCHGARCH模型模型模型模型 在例中，检验了方程（）含有在例中，检验了方程（）含有ARCH效应。因此利用效应。因此利用GARCH(1，1)模型重新估计式（），结果如下：模型重新估计式（），结果如下：52 ARCH估估计计的的结结果果可可以以分分为为两两部部分分：上上半半部部分分提提供供了了均均值值方方程程的的标标准准结结果果；下下半半部部分分，即即方方差差方方程程包包括括系系数数，标标准准误误差差，z-统统计计量量和和方方差差方方程程系系数数的的P值值。在在方方程程(6.1.12)中中ARCH的的参参数数对对应应于于 ，GARCH的的参参数数对对应应于于 。在在表表的的底底部部是是一一组组标标准准的的回回归归统统计计量量，使使用用的的残残差差来来自于均值方程。自于均值方程。 注注意意如如果果在在均均值值方方程程中中不不存存在在回回归归量量，那那么么这这些些标标准准回归统计量，例如回归统计量，例如R2也就没有意义了。也就没有意义了。 53 利用利用利用利用GARCH(1, 1)GARCH(1, 1)模型重新估计例的方程如下：模型重新估计例的方程如下：模型重新估计例的方程如下：模型重新估计例的方程如下： 均值方程：均值方程： (2.74) (1480) 方差方程：方差方程： (13.49) (17.69) (75.61) R2=0.997 54 方差方程中的方差方程中的ARCH项和项和GARCH项的系数都是统项的系数都是统计显著的，说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这计显著的，说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的个方程进行条件异方差的ARCHLM检验，取滞后阶检验，取滞后阶数数p=3。结果统计量的相伴概率为，说明利用。结果统计量的相伴概率为，说明利用GARCH模型消除了原残差序列的异方差效应。模型消除了原残差序列的异方差效应。ARCH项和项和GARCH项的系数和小于项的系数和小于1，满足参数约束条件。，满足参数约束条件。55 利用利用利用利用GARCH(0, 1)GARCH(0, 1)模型重新估计例的中国模型重新估计例的中国模型重新估计例的中国模型重新估计例的中国CPICPI模型模型模型模型 均值方程：均值方程： (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85) 方差方程：方差方程： (5.03) (3.21) R2=0.997 56 方差方程中的方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数项的系数是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时似然值有所增加，同时AIC和和SC值都变小了，这说明值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行异模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行异方差的方差的ARCH LM检验，得到的残差序列在滞后阶数检验，得到的残差序列在滞后阶数p=1时时的统计结果：的统计结果： 接受原假设，认为该残差序列不存在接受原假设，认为该残差序列不存在ARCH效应，说明效应，说明利用利用ARCH(1)模型消除了残差序列的条件异方差性。模型消除了残差序列的条件异方差性。57 残差平方相关图的检验结果为：残差平方相关图的检验结果为： 自相关系数和偏自相关系数近似为自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明。这个结果也说明了残差序列不再存在了残差序列不再存在ARCH效应效应。 58 例例例例6. 6.4 4 估计我国股票收益率的估计我国股票收益率的估计我国股票收益率的估计我国股票收益率的ARCHMARCHM模型模型模型模型 选选择择的的时时间间序序列列是是1996年年1月月1日日至至2006年年12月月31日日的的上上海海证证券券交交易易所所每每日日股股票票价价格格收收盘盘指指数数sp，股股票票的的收收益益率率是是根根据据公公式式：re ln(spt /spt-1) ，即即股股票票价价格格收收盘盘指指数数对对数数的的差差分分计计算算出出来来的的。 ARCH-M模型：模型： re + t + ut 5960 估计出的结果写成方程估计出的结果写成方程:均值方程均值方程: : (-2.5) (2.9)方差方程方差方程: : (12.46) (18.38) (74.8) 对数似然值对数似然值 在在收收益益率率方方程程中中包包括括 t 的的原原因因是是为为了了在在收收益益率率的的生生成成过过程程中中融融入入风风险险测测量量，这这是是许许多多资资产产定定价价理理论论模模型型的的基基础础 “均均值值方方程程假假设设” 的的含含义义。在在这这个个假假设设下下， 应应该该是是正正数数，结结果果 ，因因此此我我们们预预期期较较大大值值的的条条件件标标准准差差与与高高收收益益率率相相联联系系。估估计计出出的的方方程程的的所所有有系系数数都都很很显显著著。并并且且方方差差方方程程系系数数 + 之之和和小小于于1，满满足足平平稳稳条条件件。均均值值方方程程中中 t 的的系系数数为为，表表明明当当市市场场中中的的预预期期风风险险增增加加一一个个百百分分点点时时，就就会会导导致致收收益益率率也相应的增加个百分点。也相应的增加个百分点。 61ARCHARCH模型的视图与过程模型的视图与过程模型的视图与过程模型的视图与过程 一一旦旦模模型型被被估估计计出出来来，EViews会会提提供供各各种种视视图图和和过过程程进行推理和诊断检验。进行推理和诊断检验。 一、一、一、一、ARCHARCH模型的视图模型的视图模型的视图模型的视图 1. 1. Actual, Actual, Fitted, Fitted, ResidualResidual 窗窗口口列列示示了了各各种种残残差差形形式式，例如，表格，图形和标准残差。例如，表格，图形和标准残差。 2. 2. 条件条件条件条件SDSD图图图图 显显示示了了在在样样本本中中对对每每个个观观测测值值绘绘制制向向前前一一步步的的标标准准偏偏差差 t 。t 时期的观察值是由时期的观察值是由t-1期可得到的信息得出的预测值。期可得到的信息得出的预测值。 62 3. 3. 协方差矩阵协方差矩阵协方差矩阵协方差矩阵 显显示示了了估估计计的的系系数数协协方方差差矩矩阵阵。大大多多数数ARCH模模型型（ARCHM模模型型除除外外）的的矩矩阵阵都都是是分分块块对对角角的的，因因此此均均值值系系数数和和方方差差系系数数之之间间的的协协方方差差就就十十分分接接近近零零。如如果果在在均均值值方方程程中中包包含含常常数数，那那么么在在协协方方差差矩矩阵阵中中就就存存在在两两个个C；第一个第一个C是均值方程的常数，第二个是均值方程的常数，第二个C是方差方程的常数。是方差方程的常数。 4. 4. 系数检验系数检验系数检验系数检验 对估计出的系数进行标准假设检验。对估计出的系数进行标准假设检验。63 5. 5. 残差检验残差检验残差检验残差检验/ / / /相关图相关图相关图相关图-Q-Q-统计量统计量统计量统计量 显显示示了了标标准准残残差差的的相相关关图图（自自相相关关和和偏偏自自相相关关）。这这个个窗窗口口可可以以用用于于检检验验均均值值方方程程中中的的剩剩余余的的序序列列相相关关性性和和检检查查均均值值方方程程的的设设定定。如如果果均均值值方方程程是是被被正正确确设设定定的的，那那么么所有的所有的Q统计量都不显著。统计量都不显著。 64 二、二、二、二、ARCHARCH模型的过程模型的过程模型的过程模型的过程 1 1构造残差序列构造残差序列构造残差序列构造残差序列 将将残残差差以以序序列列的的名名义义保保存存在在工工作作文文件件中中，可可以以选选择择保保存存普普通通残残差差 ut 或或标标准准残残差差 ut / t 。残残差差将将被被命命名名为为RESID1，RESID2等等等等。可可以以点点击击序序列列窗窗口口中中的的name按按钮钮来来重重新新命名序列残差。命名序列残差。 2 2构造构造构造构造GARCHGARCH方差序列方差序列方差序列方差序列 将条件方差将条件方差 t2以序列的名义保存在工作文件中。条件以序列的名义保存在工作文件中。条件方差序列可以被命名为方差序列可以被命名为GARCH1，GARCH2等等。取平方等等。取平方根得到如根得到如View/Conditional SD Gragh所示的条件标准偏差。所示的条件标准偏差。 65 3 3预测预测预测预测 例例例例3 3 假设我们估计出了如下的假设我们估计出了如下的ARCH(3) (采用采用Marquardt方法方法)模型：模型：(留下留下2001年年11月月2001年年12月的月的2个月做检验性数据个月做检验性数据) 66 使用估计的使用估计的ARCH模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和它的预测标准误差和条件方差。为了在工作文件中保存预测值，要在相应它的预测标准误差和条件方差。为了在工作文件中保存预测值，要在相应的对话栏中输入名字。如果选择了的对话栏中输入名字。如果选择了Do gragh选项选项EViews就会显示预测值图就会显示预测值图和两个标准偏差的带状图。和两个标准偏差的带状图。67 估计期间是估计期间是1/02/1995- 10/30/2001，预测期间是，预测期间是11/01/2001 - 12/31/2001左图表示了由均值方程和左图表示了由均值方程和SP的预测值的两个标准偏差带。的预测值的两个标准偏差带。68696.2 6.2 非对称非对称非对称非对称ARCHARCH模型模型模型模型 在资本市场中，经常可以发现这样的现象：资产的向下在资本市场中，经常可以发现这样的现象：资产的向下运动通常伴随着比之程度更强的向上运动。为了解释这一现运动通常伴随着比之程度更强的向上运动。为了解释这一现象，象，Engle和和Ng（1993）绘制了好消息和坏消息的非对称信）绘制了好消息和坏消息的非对称信息曲线，息曲线， 波动性波动性 0 0 信息信息70 资资本本市市场场中中的的冲冲击击常常常常表表现现出出一一种种非非对对称称效效应应。这这种种非非对对称称性性是是十十分分有有用用的的，因因为为它它允允许许波波动动率率对对市市场场下下跌跌的的反反应应比比对对市市场场上上升升的的反反应应更更加加迅迅速速，因因此此被被称称为为“杠杠杆杆效效应应”，是是许许多多金金融融资资产产的的一一个个重重要要事事实实特特征征。例例如如，许许多多研研究究人人员员发发现现了了股股票票价价格格行行为为的的非非对对称称实实例例负负的的冲冲击击似似乎乎比比正正的的冲冲击击更更容容易易增增加加波波动动。本本节节将将介介绍绍2种种能能够够描描述述这这种种非非对对称称冲冲击击的的模模型型：TARCH模模型型和和EGARCH模模型。型。 716.2.1 TARCH6.2.1 TARCH模型模型模型模型 TARCH或或者者门门限限(Threshold)ARCH模模型型由由Zakoian (1990) 和和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)独独立立的的引引入入。条条件件方方差差指定为：指定为：(6.2.1)其中，其中，dt-1是虚拟变量：当是虚拟变量：当ut-10)和和坏坏消消息息(ut 0 ，我我们们说说存存在在杠杠杆杆效效应应，非非对对称称效效应应的的主主要要效效果果是是使使得得波波动动加加大大；如果如果 0是是“好消息好消息”，此时此时CPI大于货币政策的拟合值；大于货币政策的拟合值；ut-1 0，则，则 dt-1 0 ，所以该冲击，所以该冲击会给会给CPI带来一个带来一个 倍的冲击。倍的冲击。 而出现而出现“坏消息坏消息”时，时，ut-1 0，此时，此时 dt-1 1 ，则，则“坏消坏消息息”仅会带来一个仅会带来一个 = 0.69+(-0.568)= 0.122 倍的冲击。倍的冲击。 由于非对称效应项的系数由于非对称效应项的系数 是负数，因此所带来的冲击是负数，因此所带来的冲击是减少是减少CPI的波动，表明货币政策的实施能够减少价格的波的波动，表明货币政策的实施能够减少价格的波动。动。 786.2.2 EGARCH6.2.2 EGARCH模型模型模型模型 EGARCH或或指指数数（Exponential）GARCH模模型型由由纳纳尔尔什什（Nelson，1991）提出。条件方差被指定为：）提出。条件方差被指定为： (6.2.3) 等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。杠杆效而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。杠杆效应的存在能够通过应的存在能够通过 0的假设得到检验。当的假设得到检验。当 0)和坏消息和坏消息(ut 0)对条件方差有不同的影响：好消息有一个对条件方差有不同的影响：好消息有一个 + + 的冲击；坏消息有一个对的冲击；坏消息有一个对 + + (-1)(-1) 的冲击。如果的冲击。如果 0，则信息是非对称的。，则信息是非对称的。79 EViews指定了更高阶的指定了更高阶的EGARCH模型：模型：(6.2.4) 估计估计EGARCH模型只要选择模型只要选择ARCH指定设置下的指定设置下的EGARCH 项即可。项即可。 克克里里斯斯汀汀(Christie，1982)的的研研究究认认为为，当当股股票票价价格格下下降降时时，资资本本结结构构当当中中附附加加在在债债务务上上的的权权重重增增加加，如如果果债债务务权权重重增增加加的的消消息息泄泄漏漏以以后后，资资产产持持有有者者和和购购买买者者就就会会产产生生未未来来资资产产收收益益率率将将导导致致更更高高波波动动性性的的预预期期，从从而而导导致致该该资资产产的的股股票票价价格格波波动动。因因此此，对对于于股股价价反反向向冲冲击击所所产产生生的的波波动动性性，大大于于等等量量正正向向冲冲击击产产生生的的波波动动性性，这这种种“利利空空消消息息”作作用用大大于于“利利好好消消息息”作作用用的的非非对对称称性性，在美国等国家的一些股价指数序列当中得到验证。在美国等国家的一些股价指数序列当中得到验证。806.2.3 PARCH6.2.3 PARCH模型模型模型模型 Taylor（1986）和）和Schwert（1989）介绍了标准差的）介绍了标准差的GARCH模型。这个模型模拟的不是方差，而是标准差。这模型。这个模型模拟的不是方差，而是标准差。这样，大幅冲击对条件方差的影响比在标准样，大幅冲击对条件方差的影响比在标准GARCH模型中要模型中要小。基于这种思想，小。基于这种思想，Ding et al.(1993) 对该模型进一步加以拓对该模型进一步加以拓展，提出了展，提出了PARCH（power ARCH）模型。该模型指定的条）模型。该模型指定的条件方差方程的形式为件方差方程的形式为 （）（）其中：其中： 0，当，当 i =1, 2, , r 时时 | i| 1，当，当 ir 时，时， i = 0, r p。81 在在PARCH模型中，标准差的幂参数模型中，标准差的幂参数 是估计的，而是估计的，而不是指定的，用来评价冲击对条件方差的影响幅度；而不是指定的，用来评价冲击对条件方差的影响幅度；而 是捕捉直到是捕捉直到 r 阶的非对称效应的参数。阶的非对称效应的参数。 在对称的在对称的PARCH模型中，对于所有的模型中，对于所有的 i， i = 0。需。需要注意，如果对于所有的要注意，如果对于所有的 i， = 2 且且 i = 0，PARCH模模型就退化为一个标准的型就退化为一个标准的GARCH模型。模型。 和前面介绍的非对称模型一样，只要和前面介绍的非对称模型一样，只要 i 0，非对称，非对称效应就会出现。效应就会出现。82 例例例例6.6 6.6 股票价格波动的股票价格波动的股票价格波动的股票价格波动的TARCHTARCH模型和模型和模型和模型和EGARCHEGARCH模型模型模型模型 那那么么在在我我国国的的股股票票市市场场运运行行过过程程当当中中，是是否否也也存存在在股股票票价价格格波波动动的的非非对对称称性性呢呢？利利用用沪沪市市1996年年1月月1日日至至2006年年12月月31日日的的股股票票收收盘盘价价格格指指数数数数据据，我我们们估估计计了了股股票票价价格格波波动动的的两两种种非对称模型，结果分别如下：非对称模型，结果分别如下： TARCH TARCH模型模型模型模型：均值方程：均值方程： (3.5) (1598) 方差方程：方差方程： (13.75) (12.41) (2.02) (72.97) R2 =0.997 AIC = SC = 8384 杠杠杆杆效效应应项项 由由结结果果中中的的RESID(-1)2(RESID(-1) 0 意味着条件方差中的暂意味着条件方差中的暂时杠杆效应。需要注意，这种非对称效应只出现在短期波动中，时杠杆效应。需要注意，这种非对称效应只出现在短期波动中，对长期波动率的影响则主要体现在系数对长期波动率的影响则主要体现在系数 的变化上。的变化上。 97在在在在EViewsEViews中估计成分中估计成分中估计成分中估计成分ARCHARCH模型模型模型模型 选选 择择 Model下下 拉拉 列列 表表 中中 的的 Component ARCH(1,1)，非非对对称称成成分分ARCH模模型型还还要要对对非非对对成成项个数做选择。项个数做选择。 我我们们在在前前面面的的例例子子中中已已经经估估计计了了沪沪市市的的股股票票收收盘盘价价格格指指数数的的GARCH模模型型，但但是是方方差差方方程程被被假假定定为为均均值值不不变变的的，在在引引入入了了CGARCH模模型型后后，重重新新进进行估计，得到的结果为：行估计，得到的结果为：98例例例例6.7 6.7 股票价格指数的股票价格指数的股票价格指数的股票价格指数的CARCHCARCH模型模型模型模型 99 均值方程均值方程均值方程均值方程： (2.3) (1241) 方差方程方差方程方差方程方差方程：长期长期成分方程成分方程: (9.94) (749) (6.27) 暂时成分方程暂时成分方程: : (10.56) (20.87) 在暂时成分方程中，在暂时成分方程中， + 之和为之和为，小于小于1，表示暂时成分，表示暂时成分 2- qt 将收敛于将收敛于零；而长期波动率零；而长期波动率 qt 则通过则通过 的作用，本例中的作用，本例中 ，缓慢的收敛于均值缓慢的收敛于均值。1002. 2. 非对称的非对称的非对称的非对称的CGARCHCGARCH模型：模型：模型：模型：101 前面已经证明了股价的波动具有非对称效应，前面已经证明了股价的波动具有非对称效应，“利空消息利空消息”产生的波动比等量的产生的波动比等量的“利好消息利好消息”产生的波动大，利用非对产生的波动大，利用非对称称CGARCH模型，我们可以进一步印证这个结论：模型，我们可以进一步印证这个结论： 均值方程均值方程均值方程均值方程： (28.85) (307939) 方差方程方差方程方差方程方差方程：长期成分方程长期成分方程: : （）（） （）（） （）（）暂时成分方程暂时成分方程: : (10.48) (-3.74) (76.14) R2 = AIC = SC = 102 方差方程的统计结果中的系数方差方程的统计结果中的系数C(2)、C(3)、C(4)和和C(5)的含义与对称的的含义与对称的CARCH模型的含义相同，系数模型的含义相同，系数C(7) 代表了暂时方程代表了暂时方程(6.3.7)中的非对称项的系数中的非对称项的系数 。此处的估此处的估计值为，由于哑变量计值为，由于哑变量 d 表示负冲击，所以可以解释为负的表示负冲击，所以可以解释为负的冲击比正的冲击带来的波动小。需要注意的是，这种非对冲击比正的冲击带来的波动小。需要注意的是，这种非对称效应只出现在暂时方程中，也就是说，出现的这种非对称效应只出现在暂时方程中，也就是说，出现的这种非对称效应只是暂时的，它对长期波动率称效应只是暂时的，它对长期波动率 qt 的影响与对称的的影响与对称的CARCH模型的相同，模型的相同， ，长期波动率，长期波动率 qt 以同样的速度收以同样的速度收敛于稳态。敛于稳态。 103