1. 加群、环的定义内容提要: 1.1 加群及符号的转换 1.2 环的定义及基本性质 1.3 一批例子重点:n加群的符号转换引起的运算律的不同表达.n理解和熟记环的定义.n使用定义验证.1.1 加群及符号的转换加群及符号的转换 在环的定义里要用到加群这个概念。我们先把这个概念说明一下。抽象群的代数运算到现在为止我们都用乘法的符号来表示。但我们知道，一个代数运算用什么符号来表示是没有关系的。一个交换群的代数运算，在某种场合之下，用加法的符号来表示为方便。n定定义义 一个交换群叫做一个加加群群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且用符号+来表示。n一个加群的唯一的单位元我们用0表示，并且把它叫做零元零元。我们有以下计算规则： （1） 0a=a0= a (a是任意元)n元a的唯一的逆元我们用来表示-a，并且把它叫做的负元（负元（简称负),a+(b)记为ab. (2) a-a=? (3) -(-a)=? 1.1 加群及符号的转换加群及符号的转换1.1 加群及符号的转换加群及符号的转换 (4) a+b=c b=a-c (5) (a+b)=?n由于加群的加法适合结合律，n个元 的和有意义，这个和我们有时用符号来 表示：1.1 加群及符号的转换加群及符号的转换 ( m+n)a=? n(a+b)=? n(ma)=?n加群的一个非空子集S作成一个子群的充分必要条件是 : ? 1.2 环的定义及基本性质环的定义及基本性质n定义：定义： 一个集合R叫做一个环，假如 1R是一个加群，换一句话说，R对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群；2R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；3这个乘法适合结合律： 4.两个分配律都成立： 1.2 环的定义及基本性质环的定义及基本性质n基本性质: (7) a(b-c)=?, (b-c)a=? (8) 0a=a0=?, 这里0是零元素 (9) (10)1.2 环的定义及基本性质环的定义及基本性质 (11) (12)即: 1.2 环的定义及基本性质环的定义及基本性质 (13) 这里:n是任何整数n规定: 这里:n是正整数 ,它有下面的性质: (14) 这里:正整数m，n 1.3 一批例子一批例子n数集中的环n全矩阵环: 它一些子集也可以构成环n多项式环: 它一些子集也可以构成环剩余类环: