复习回顾： 空间直线和平面有几种位置关系？ l?l?l?ml?/l?lA?l?A l?大桥的桥柱与水面垂直 生活中有很多直线与平面垂直的实例 实例引入实例引入 一、直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. ? ? A 平面的垂线 直线的垂面 垂足 , .llmm?任意? L P 直线和平面垂直的画法直线和平面垂直的画法: 通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。 深入理解深入理解“线面垂直定义线面垂直定义” 判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例） 1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直. （ ） 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直. （ ） b a 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质. 探索新知： 但是，直接考察直线与平面内所有直线都垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法! , .llmm?任意探索新知：探索新知： 做一做 想一想 A B C D 1.折痕AD与桌面垂直吗？ 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触） ABCD? 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直 ?ABCD?ABCD2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 探索新知： 探索新知： 由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的判定需要哪几个条件？ 你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂 直判定定理吗 (1) 平面有两条直线 (2) 这两条直线要相交 (3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直 二、 直线与平面垂直的判定定理： mnmnpllmln?线线垂直 线面垂直 ?lm n P ? ? 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直 判断下列命题是否正确？ (1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直( ) (2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直( ) ?P ?l?P ?l例1.在下图的长方体中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？ BACDBACD例2、在正方体AC1中，求证： (1)AC平面D1DB C1 B D1 A C A1 D B1 (1)ABCD是正方形,ACBD?1,D DAC? 平面1,ACD D?1,D DDBD?1.ACD DB? 平面GC1 B D1 A C A1 D B1 例2、在正方体AC1中，求证： (2)D1B平面ACB1 由异成直线所成的角知 D1B平面ACB1 ?901所成角为与ACBD?9011所成角为与ABBD11ABBD?ACBD?1AABAC?1?OH例例3、三棱锥V-ABC中，中，VA=VC,AB=BC,K 是是AC的中点。 （1）求证：AC 平面VKB （2）求证：VB AC A B C V K (1)连接VK,KB，由VA=VC,K为AC中点，由三线合一可知 VK AC, 同理可得KB AC，且VKKB=K 所以AC 平面VKB (判定定理) (2)由(1)可知，AC 平面VKB 又因为VB 平面VKB 所以VB AC (定义) ? ?变式：变式： 1、在例3中若E、F分别为AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系 A V B C E F K 例3、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K 是AC的中点。 （1）求证：AC 平面VKB （2）求证：VB AC 2、在1的条件下，有人说“VBAC，VBEF， VB平面ABC”，对吗？ ?B C D A F E ,(1):(2):(3):4:ABCDAPAABCDAAEPBEEEFPCFBCPABAEPBCAFPC?已知矩形过 作面再过 作于过 作于求证面求证面求证例如图,点Q是 是点是点P到平面 的垂线段 ?p Q 过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影； 这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。 ?一一.斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影 . .垂线、斜线、射影 ()垂线垂线 点点P在平面 内的射影内的射影 ?线段线段PQ （2）斜线 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平面的交点叫做斜足。 从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段 P R ?如图：是斜线 AC 在 内的射影，线段BC是 ?A C B 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影 ?()射影 直线BC 斜线段AC在 内的射影 ?A C B ?F E 说明：说明：斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。 思考：斜线上的一个点在平面上的射思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？影会在哪呢？ 思考： 从平面外一点向这个平面引的垂线段和斜线段，它们的射影和线段本身之间有什么关系？ 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE中，那一条最短？ ?A C B D E 垂线段比任何 一条斜线段都短 ?ba 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么 这两条直线平行。 3.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理 例2、如图，已知 AC、AB分别是平面 的垂线和斜 线，C、B分别是垂足和斜足， a ，aBC。 求证：aAB A a C B 线面垂直 ?线线垂直 三垂线定理:在平面内的一条直线, 如果它和这个平面的一条斜线的 射影垂直,那么它就和这条斜线垂直. ?A a C B 变:如图，已知AC、AB分别是平面的垂线和斜线, C、B分别是垂足和斜足， a ， 。 ? aAB 三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线与这个平面的一条 斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直. ?求证: aBC 2、过点为连则则边点则0ABC所在平面外一P,作PO,垂足O,接PA,PB,PC.1).若PA =PB=PC, O是ABC的_心 .2).若PA =PB=PC, C =90 ,O是AB 的_.*3).若PA PB,PB PC, PC PA,O是ABC的_心.外 中 垂 巩固练习： 已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的三条侧棱的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？ P A B C O OA=OB=OC O为三角形ABC的外心 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？ P A B C O为三角形ABC的垂心 D O PADBCPPOPABCPOBCPA平面?已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？ P A B C O为三角形ABC的内心 O E F 典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为 O (1)P到三顶点距离相等 (3)P到三边AB、BC、AC距离相等 (2)侧棱两两垂直 外 垂 内 O是 ABC的 心 O是 ABC的 心 O是 ABC的 心 对棱两两垂直 例：四面体P-ABC中， ACPBBC,PA?AB?PC求证：若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直 O是垂心 垂 O是 ABC的 心 练习3.如果两直线垂直于同一个平面, ,那么这 两条直线平行 练习2.过一点只有一个平面和一条直线垂直 练习1.过一点只有一条直线和一个平面垂直 结论1. 结论2. 结论3. 常用结论发散常用结论发散 结论1：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。 结论2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。 结论3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。直线和平面垂直的判定直线和平面垂直的判定 例例 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ?bmmbbamama/已知： ， 。 ba/?a求证： 。 ?b证明：方法1 设是 内 的任意一条直线。 m?）（相垂直垂直，则这两条直线互另一条直线与这个平面）一条直线在平面内，（）（两条直线平行）垂直于同一个平面的（）（两个平面互相平行）垂直于同一条直线的（：判断下列命题是否正确练习：.3.2.1. 1._,. 2的位置关系是与，则且和平面已知直线?bababa?a?b ?bb或,/小试牛刀小试牛刀 线面垂直的性质定理： 符号语言： 图形语言： 垂直于同一平面的两直垂直于同一平面的两直线线互相平行互相平行. /abab?，a b ?abnm:m,n.?证明 在平面 内作两条相交直线a,.m an? 因为直线根据直线与平面垂直的定义知 a,.m bn? 又因为 b/a 所以 b,m n? 又因为m,n是两条相交直线 所以 b例2.如图，已知ab、a. 求证：b. （线面垂直 线线垂直） （线线垂直 线面垂直） 例2、如图，已知ab，a 。 求证：b 。 例题示范,巩固新知 分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。 a b ?阅读P66页的证明过程. 、判断下列命题的正误。 （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（ ） （3）平行于同一平面的两条直线互相平行（ ） （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（ ） （1）平行于同一直线的两条直线互相平行（ ） 五、五、过过程程设计设计 (三) 线面垂直性质定理的应用 (1)若PA=PB=PC ，则O是ABC的 . P A B C ? O 外心 例4.关于三角形的四心问题 设O为三棱锥PABC的顶点P在底面上的射影. 综合练习：综合练习： (2)若PA=PB=PC ,C=900,则O是AB的_点. 中 P A B C ? O 例4.4.关于三角形的四心问题 综合练习：综合练习： 垂心 E F P A B C ? O (3)若三条側棱两两互相垂直,则O是ABC的 . 例4.关于三角形的四心问题 综合练习：综合练习： E F P A B C ? O (5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是ABC的_. 外心 例4.关于三角形的四心问题 综合练习：综合练习： 例例1、已知直角ABC所在平面外有一点P，且，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，的中点， 求证：PD平面ABC. A B C P D 证明：PA=PB，D为为AB中点 PDAB，连接CD， D为为RtABC斜边的中点 CD=AD, 又又PAPC,PD=PD PADPCD 而而PDAB PDCD, CDAB = D PD平面ABC 例2、如图 平面、相交于PQ， 线段OA、OB分别垂直平面、， 求证：PQAB P Q O A B 证明：OA PQ OAPQ OB, PQ OBPQ 又OAOB=0 PQ平面OAB 而AB平面OAB PQAB SABCSBSBSC SCSA HABCSHABC?作业：如图 是所在平面外一点，SA， 是的垂心，求证；平面S A B C H SABCSBSBSCSCSAHABCSHABC?作业：如图是所在平面外一点，SA，是的垂心，求证；平面SASBSASCSASBCSBSCS?平面SA BC?AHBCSAAHA?BCSHA? 面S A B C H HABC?是的垂心ABSHBCABB?同理BCSH?SHABC? 面1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且 MA=MC 求证：AC平面BDM M A B C D O BD ACBDAC O?证明：连接，设，连接MOABCDACBD O?四边形是菱形ACBDOAC?是中点MOAC?ACBDBDMOO?MA MCAMC? ?是等腰ACMBD? 面A B C D 证明： E 2. 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD ， 求证：对角线AC BD。 ?CE AE E BD , , , 连接 的中点 取 AC BD ACE AC ? ? ? , 平面 Q ? ? ACE BD E CE AE ? ? , , 平面 又 Q BD CE DC BC ? ? ? , , Q BD AE AD AB ? ? ? , , Q P A B C O 3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC ?,解：（1）且又ABACABACAPAAC PAABPABCPABC?PACBCAACPAPABCACBC，ABOC面又得由为直径上一点为圆?QQ,1)2(?典例 平面内有一个三角形 ABC，平面外有一点 P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PAPBPC，若点O是ABC的外心，求证：PO平面ABC. ?【解】 如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE ，OD，OE. ?因为PAPBPC， ?所以PDAB，PE BC， ?因为O是ABC的外心， ?所以ODAB，OEBC， ?又因为PDDOD，OEPE E， ?所以AB平面PDO，BC平面PEO ， ?于是有ABPO，BCPO，ABBCB， ?从而推得PO平面ABC. ._,).3._,).2._,90,).1.,. 20心的是则若心的是则若点边的是则若连接为垂足作外一点所在平面过ABCOPAPCPCPBPBPAABCOPCPBPAABOCPCPBPAPCPBPAOPOPABC?中 外 垂 重心:三条中线的交点 垂心:三条高的交点 外心:三条垂直平分线的交点 (到三个顶点的距离相等 ) 内心:三角平分线的交点 中心:正的重心、垂心、内心、外心重合的点 巩固练习巩固练习 ._,).3._,).2._,90,).1.,. 20心的是则若心的是则若点边的是则若连接为垂足作外一点所在平面过ABCOPAPCPCPBPBPAABCOPCPBPAABOCPCPBPAPCPBPAOPOPABC?V A B C 例例 1 如图所示，在四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC 60，PAABBC，E 是 PC的中点 证明：(1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 直线与平面垂直的判定与性质 第(1)问通过 DC平面 PAC证明； 也可通过 AE平面 PCD得到结论； 第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线 PD 与平面 ABE内的两条相交直线垂直 解题分析: 证明证明 (1)由四棱锥 PABCD中， PA底面底面 ABCD，CD? 平面 ABCD， PACD.ACCD，PAACA， CD平面 PAC. 而 AE? 平面 PAC，CDAE. (2)由 PAABBC，ABC60， 可得 ACPA. E 是 PC的中点，AEPC. 由(1)，知 AECD，且 PCCDC， AE平面 PCD. 而 PD? 平面 PCD，AEPD. PA底面 ABCD，PAAB. 又ABAD 且 PAADA， AB平面 PAD，而 PD? 平面 PAD， ABPD.又ABAEA， PD平面 ABE. 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在 解题小结: 例例1 1 如图,在RtABC中,已知C=90o, AC=BC=1,PA面ABC,且PA= , 求(1)PB与面ABC所成的角 (2)PB与面PAC所成的角. 2B C A P 巩固练习巩固练习 1.平行四边形ABCD所在平面?外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD. C A B D O P 2019/2/16 例2：如图，在棱长为1的正方体中 (1)求B1D 与平面ABCD所成的角的正切； A B C D O A1 B1 C1 D1 (2)求A1C1 与平面ABC1D1所成的角； (3)求BB1 与平面A1BC1所成的角的正切 M H 2019/2/16 例5：ABC的定点在平面内，点A、C在平面 的同侧，AB、BC与所成角分别是300和 450若AB3，BC42，AC5，求AC 与平面所成的角 A B C A1 C1 E 2019/2/16 例6：如图，P是正方形ABCD所在平面外一点， PA平面ABCD，AE PD，PA3AB求 直线AC与平面ABE所成角的正弦值 P A B C D E 【5】如图】如图, AB为平面为平面的一条斜线的一条斜线, B为斜为斜足足,AO平面, 垂足为O, 直线BC在平面内内,已已知知ABC=60,OBC=45, 则斜线则斜线AB和平面和平面所成的角是所成的角是_. A C O D B 45 设设OB=2, 2,BD?则则2 2BA ?.Rt,BOA在中22cos,22 2ABO?45 .ABO?引课引课 我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢? 如图,若一条直线PA和一个平面 相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。 P A ?斜足 斜线 A1 B1 C1 D1 A B C D 例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 （1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。 （2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。 O 例题示范,巩固新知 分析:找出直线A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。 阅读教科书P67上的解答过程 A G F E D C B H HC与平面ABCD 所成的角是？ BG和EA与平面ABCD所成的角 分别是？ GBC与EAB HCD EC和EG与平面ABCD所成的角分别是？ ACE 练习:正方体ABCDEFGH 中 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B 巩固练习巩固练习 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B O 线段B1O 巩固练习 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B E 线段B1E 巩固练习 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B 线段C1D 巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 A1 D1 C1 B1 A D C B 0o 巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 A1 D1 C1 B1 A D C B 90o 巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 A1 D1 C1 B1 A D C B 45o 巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 A1 D1 C1 B1 A D C B E 30o 巩固练习巩固练习 1111线线垂直线线垂直 相交垂直（共面垂直）相交垂直（共面垂直） 异面垂直 1111