一、概率的统计定义一、概率的统计定义 第二节随机事件与概率2. 频率的性质 (1) 0fn(A)1; (2) fn()=1; (3)设A1，A2，. Am两两互不相容，则有 1.频率的定义 在相同条件下，将实验进行了n次，在这n次实验中，事件A发生的次数nA称为事件A的频数频数，比值nA/n称为事件A发生的频率频率，并记为fn(A)。观察：教材p6 表1-1。2概率的统计定义 由于当实验次数n较大时，频率fn(A)=nA/n会稳定于某一常数p，因此可将A的概率定义为:P(A)=p。结论：在大量实验中，随机事件发生的频率具有稳定性。分析: 当n充分大时， fn(A)稳定在某数p的附近，则将p作为P(A)是合理的。而因频率具有上述三性质，因而概率也具有类似的性质。 问题：n 很大时，频率值能否作为概率值？1 1定义定义 若试验E具有特点 （1）试验的样本空间的元素只有有限个比如n个，样本空间表示为 =e1,e2,en；（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同 则称试验E为古典概型（或等可能概型） 二、古典概型概率的定义二、古典概型概率的定义2性质（1）对于每一个事件A，有P(A)0；（2）P()=1；（3）设A1，A2，. Am是两两互不相容的事件，即对于ij , AiAj= , i, j=1,2,.m, 则有 概率的计算：概率的计算：若若A为试验为试验E的一事件，试验的一事件，试验E的样本空间的样本空间为为 ，且且A含有含有k个样本点则个样本点则事件事件A的概率的概率就是就是3 3自学例题自学例题例1例2例3小结：在古典概型中，求事件A的概率关键在于寻找基本事件的总数和事件A所含的基本事件个数。 这时，往往要利用乘法、加法原理及排列组合的知识。3 3例题例题例1：1-6数码，任取不同的两数码构成两位数,求这两个数都是偶数的概率。解：属于古典概型，与两数的顺序有关是排列。 A：取两个数都是偶数。则(一)取球问题 袋中共有袋中共有N个球，个球，N1白，白，N2红，采用摸后红，采用摸后“放回放回”“不放回不放回”两种方式任取出两种方式任取出a+b个球，试求这个球，试求这a+b个个球中恰含球中恰含a个白个白b个红的概率。个红的概率。解：不放回 试验从N个球中取出a+b个球，有两种理解（1）一次取出a+b个球；（2）一个一个取，不放回，取a+b次；三类问题：按(1):每取一次就做了一次试验，构成一个基本事件，只观察颜色不分顺序，按组合计算样本点总数：设A：a+b球中恰有a个白b个红，把A发生的过程分为串行的两步：在白球中取a个球，再在红球中取b个球按乘法原则所含样点是按（2）：一个一个取，每次记录下颜色和球的编号，不放回，取a+b个球是有顺序的，构成a+b个球的一个排列，样本点总数：A的发生可分解为如下过程： 在这a+b个球的位置上，选a个位置放白球，剩下的放红球，样本点数：因一个一个取与一次取出一样，因而又有如下方法： 放回抽样 一个一个取，故看为可重复的排列，样本空间的样本点数：Na+b 所以，所求概率为：由乘法、加法原理，A所含样本点数为:（分析同（2）袋中共有袋中共有N个球，个球，N1白，白，N2红，采用摸后红，采用摸后“放回放回”“不放不放回回”两种方式任取出两种方式任取出a+b个球，试求这个球，试求这a+b个球中恰含个球中恰含a个个白白b个红的概率。个红的概率。 n个球，随机的放入N个盒（n N），每盒容量不限，观察放法： (1)某指定的n个盒中各有一个球A1,求P(A1)； (2)恰有n个盒中各有一球2,求P(A2); (3)某指定的盒子中恰有k个球A3,求P(A3).(3) P(A3) =(2) P(A2) =(1) P(A1) =(二) 放球问题解: 试验: 一个一个放n个球入N个盒,每种方法构成了一种可重复的排列，于是例: 设每人的生日在一年的任一天是等可能的，求任意r个人生日各不相同的概率P(A). 解: 由放球模型 所以，至少两个人生日相同的概率为: p=1-P(A),计算如下： n 20 23 30 40 50 60 100 p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997例：1N个数字任取k个数字，一个一个的取，取后放回，求： （1）A：k个数字完全不同； （2）B：不含1，2，N中指定的r 个数字； （3）某指定的数字恰好出现m（ k）次; （4）k个数字中最大数恰好为M。 解：试验为从1，2，N个数中有放回地依次取k个数字，每k个数字的一个排列构成一个基本事件，因此基本事件总数为Nk。（三）随机取数(4) 在这k个数字中，最大数不大于M的取法有Mk种。而最大数不大于M-1的取法有(M-1)k种。（1）因k个数字完全不同，基本事件个数为：(2) 同理(3) 同理例：取球，袋中a个白，b个红球，一一取出，不放回，求事件Ak=第k次取出白球的概率。 解：试验为将a+b个球编号一一不放回取出，全部取出构成的全排列，为一基本事件，总样本点(a+b)!。 事件Ak的过程（串行）：先从a个白球中选一个放在第k个位置 种，再在a+b-1个球作任意排列:解法2 如果将球认为只有颜色的区别，放入a+b个盒中，则哪a个位置放白球，构成一基本事件，总数为 设事件A为“第k个位置是白球”，则A中含基本事件数为 于是n作业习题1.2 3，4，5 将古典概率的方法引申一下，便得到确定概率的“几何方法”。 满足下列条件的试验，称为“几何概型”：(1)样本空间是直线或二维、三维空间中的度量有限的区间或区域；(2)样本点在其上是均匀分布的。 定义定义：在几何概型中，若样本空间所对应区域的度量为L()(),且事件A的度量为L( (A) ) ，则A的概率为这里L（），可代表图形的长度，面积或体积等。三、几何概型三、几何概型 例1:（约会问题）：甲，乙两人约定中午1点到2点间在某地会面，约定先到者等候10分钟即离去，设想甲，乙两人各自随意地在1-2点之是选一个时刻到达约会点，问“甲，乙两人能约会”这一事件的概率为多少？解:以x, yx, y（单位：分钟）分别表示两个到达约会点的时刻，则 0x60 0x60，0y600y60，且能会面的充要条件为：|x-y|10|x-y|10，样本空间和事件A分别可表示为： =（x,yx,y）| 0x60, 0y60 | 0x60, 0y60 A=(x,y)| |x-y|10, (x,y) A=(x,y)| |x-y|10, (x,y) “甲，乙两人随意地1-2点之间选择一个时刻到达会面点”，可以理解为这个正方形内任一点出现都是等可能的。按约定，只有在点（x,y）落入图形阴影部分时，事件A才发生。这样易算得A的概率为：yx60601010x-y=-10x-y=100解 设M表示投下针的中点，x表示M与最近的平行线的距离，表示针与此线的夹角，从而 0x a/2, 0 这两个不等式决定的xo面上一矩形区域既是实验的样本空间。针与平行线相交的充要条件为 记事件A为针与平行线相交，则Mx例 (蒲丰投针问题)平面上有等距离为a的一些平行线，向平面上任意投一长为l 的针(l a),试求针与平行线相交的概率。于是xa/2 1. 定义 设为样本空间，称的一些子集所组成的集合 为的一个-代数，如果 满足下列条件： 例如，,为的一个-代数，它是的最小-代数，所有子集所组成的集合是的最大-代数。 设A为的一子集，则,A,为的一个-代数。四、概率的公理化定义四、概率的公理化定义 我们把的-代数F又称为的事件域并仅把 中的元素看成为事件。 -代数的定义中只要求对逆，可列并运算封闭，事实上这时-代数对交，差的运算也是封闭的。性质:若 为的一个-代数，则：2. 概率的公理化定义概率的公理化定义定义：设 为样本空间上的-代数，P是定义在上的实值集函数，如果它满足： 则称P为定义在, 的概率，P(A) 为事件A的概率，三元总体, ,P称为概率空间。称定义中的条件(3)为可列可加性。3. 概率的性质（1）P( )=0,(3)（4）若A B，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) P(A).(2)因为B=A(B-A)。由（。由（2）。）。（5）P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).因为 AB=B=A(B-AB),A(B-AB),A、(B-AB)(B-AB)互不相容 P(ABB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB).同理：P(A1A2A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)- P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)（6）概率的连续性：例1:设P(A)=1/3,P(B)=1/2,(1)若事件A，B互不相容，求P(BA);(2)若A真包含于B，求P(BA);(3)若P(AB)=1/8,求P(BA)。解:（1）若A,B互不相容，则 P(BA)=P(B) =1/2;(2)若A真包含于B，则因为BA=B-A,从而 P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6;(3)利用BA=B-A=B-AB,得：P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) =1/2-1/8=3/8 .例2: 在1 110001000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6 6整除，又不能被8 8整除的概率是多少？解: 设A A为事件“取到的数能被6 6整除”，B B为事件“取到的数能被8 8整除”则所求概率为 又由于一个数同时能被6 6与8 8整除，就能被2424整除，因此所求概率为 p=1-P(A)+P(B)-P(AB)p=1-P(A)+P(B)-P(AB) =1-166/1000-125/1000+41/1000 =1-166/1000-125/1000+41/1000 0.750.75 例3假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都等于1/365，那么随机选取n(365)个人，他们的生日各不相同的概率为:经计算可得下述结果:n 20 23 30 40p 0.411 0.507 0.706 0.891 n 50 64 100p 0.970 0.997 0.9999997因而，n个人中至少有两人生日相同的概率为例4: 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的问是否可以推断接待时间是有规定的 解: 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都在周二、周四的概率为 212/712=0.0000003， 即千万分之三，人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）现在概率很小（只有千万分之三）的事件在一次试验中竟然发生了因此有理由怀疑假定的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者即认为其接待时间有规定的例5. 考试时共有N张考签，n个同学参加考试(nN),被抽过的签立即放回，求在考试结束后，至少有一张考签未被抽到的概率。解：设考签编号为1,N，事件Ai=第i号考签未被抽到，i=1, ,N.则容易求得小结：求事件的古典概型应注意几点： (1) 选择适合解决该问题的实验与样本空间，正确计算样本空间的基本事件数，与所求事件所含的基本事件数，避免重复计算或漏算。 (2) 利用事件间的关系与运算，把所求概率的事件表示为容易求得其概率的一些事件的运算，在利用概率的性质计算出所要求的概率，是常用的方法。 (3) 其它方法。