一、曲一、曲线运运动的的发生条件生条件F合外力方向与速度方向不在不断合外力方向与速度方向不在不断线二、曲二、曲线运运动的特点的特点速度方向一定速度方向一定变化化切向力改切向力改动速度大小速度大小法向力改法向力改动速度方向速度方向vFnFt三、求解曲三、求解曲线运运动问题的运的运动学根本方法学根本方法矢量的合成与分解矢量的合成与分解微元法微元法 曲线运动的加速度曲线运动的加速度质点的瞬点的瞬时加速度定加速度定义为 AvAvB为求普通的做曲求普通的做曲线运运动质点在任一点在任一点的瞬点的瞬时加速度，通常将其分解加速度，通常将其分解为法向加速度法向加速度anan与切向加速度与切向加速度at atOA点曲率圆点曲率圆A点曲率圆半径点曲率圆半径B 在离水面高度为在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉的岸边，有人用绳子拉船靠岸，假设人收绳的速率恒为船靠岸，假设人收绳的速率恒为v0，试求船在离岸边，试求船在离岸边s间隔间隔处时的速度与加速度的大小各为多少？处时的速度与加速度的大小各为多少？ 专题7-例例1根据根据实践运践运动效果分解船的运效果分解船的运动：v0Avvnhsvt船及与船相系的船及与船相系的绳端端A的的实践运践运动是程度向左的，是程度向左的，这可看作是可看作是绳之之A端一方面沿端一方面沿绳方向向方向向“前方滑前方滑轮处“收短，同收短，同时以滑以滑轮为圆心心转动而成，即将而成，即将实践速度践速度v分解成沿分解成沿绳方向方向“收短的分速度收短的分速度vn和垂直和垂直于于绳方向的方向的转动分速度分速度vt; 留意到留意到绳子是不可伸子是不可伸长的，人收的，人收绳的速的速率率v0也就是也就是绳端端A点沿点沿绳方向挪方向挪动速率速率vn: 由由图示示v、vt、vn矢量关系及位置的几何关系易得：矢量关系及位置的几何关系易得： 求船的速度求船的速度续解解求船的加速度求船的加速度在一小段在一小段时间t内内,船船头位置位置从从A移移A，绳绕滑滑轮转过一小一小角度角度0:Avv0vtv0读题由加速度定由加速度定义得：得： 由几何关系得：由几何关系得： 质点沿点沿圆周做速度大小、方向均周做速度大小、方向均变化化的运的运动每个瞬每个瞬时的加速度均可分解的加速度均可分解为切向加速度切向加速度at与法向加速度与法向加速度an，前者反，前者反映映质点速率点速率变化快慢，后者反映化快慢，后者反映质点速点速度方向度方向变化快慢化快慢 如下如下图，质点从点从O点由静止开点由静止开场沿半径沿半径为R的的圆周做速率均匀增大的运周做速率均匀增大的运动，到达，到达A点点时质点的加速点的加速度与速度方向度与速度方向夹角角为，质点点经过的弧的弧s所所对的的圆心角心角为，试确定确定与与间的关系的关系专题7-例例2vAaAOsatan由由题给条件条件而而又又 如下图，质点沿一圆周运动，过如下图，质点沿一圆周运动，过MM点时速度大小为点时速度大小为v v，作加速度矢量与圆相交成弦作加速度矢量与圆相交成弦MA=lMA=l，试求此加速度的大小，试求此加速度的大小 将将M点加速度沿切向与法向点加速度沿切向与法向进展分解展分解!vaMAlOatan法向加速度法向加速度 如下如下图，曲柄，曲柄OAOA长40 cm,40 cm,以等角速度以等角速度=0.5rad/s=0.5rad/s绕O O轴反反时针方向方向转动由于曲柄的由于曲柄的A A端推端推进程度板程度板B B而使滑杆而使滑杆C C沿沿竖直方直方向上升，求当曲柄与程度向上升，求当曲柄与程度线夹角角=30=30时，滑杆，滑杆C C的加速度的加速度 杆杆A与与B板接触点有一板接触点有一样沿沿竖直方向的加速度直方向的加速度 !杆上杆上A点加速度点加速度OABCaAaAyaC此即滑杆此即滑杆C的加速度的加速度代入数据得滑杆代入数据得滑杆C的加速度的加速度 有一只狐狸以不有一只狐狸以不变的速度的速度v1v1沿着直沿着直线ABAB逃跑，一逃跑，一猎犬以不犬以不变的速率的速率v2v2追追击，其运，其运动方向一直方向一直对准狐狸某准狐狸某时辰狐狸在辰狐狸在F F处，猎犬在犬在D D处，FDABFDAB，且，且FDFDL L，如，如图试求此求此时猎犬的加速犬的加速度的大小度的大小 设t时间内，内，v2方向方向变化化, 0时: FLABDv1v2v2v2v2由加速度定由加速度定义，猎犬犬 加速度加速度 赛车在公路的平直段上以尽能够大的加速度行驶，赛车在公路的平直段上以尽能够大的加速度行驶，在在0.1 s0.1 s内速度由内速度由10.0m10.0ms s加大到加大到10.5 m10.5 ms s，那么该赛车在半径为，那么该赛车在半径为30 m30 m的环形公路段行驶中，要到达同样大的速度需求多少时间？当环形的环形公路段行驶中，要到达同样大的速度需求多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度就不能够增大到超越公路段的半径为多少时，赛车的速度就不能够增大到超越10 m/s10 m/s？公路的路面是程度的公路的路面是程度的 直直线加速加速时车的加速度的加速度 : 在在环形公路上，法向加速度形公路上，法向加速度 切向加速度切向加速度 代入数据代入数据当当轨道半径令法向加速度大小等于道半径令法向加速度大小等于a0:无切向加速度，无切向加速度，赛车速率不会添加速率不会添加 质点沿半径为质点沿半径为R R的圆周运动，初速度的大小为的圆周运动，初速度的大小为v0v0在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间间T T质点的速度质点的速度v v 设速率从速率从v0添加添加,取运取运动过程中第程中第i个极短个极短时间t，由，由题意有意有此此题用微元法用微元法假假设速率从速率从v0减小减小, 有有y 质点的运点的运动是是质点相点相对槽的运槽的运动及与槽一同及与槽一同转动两者之合运两者之合运动 如下如下图，圆盘半径半径为R，以角速度，以角速度绕盘心心O转动，一，一质点沿径向槽以恒定速度点沿径向槽以恒定速度u自自盘心向外运心向外运动，试求求质点的加速度点的加速度 专题7-例例3AO此此题讨论中介参考系以中介参考系以匀速匀速转动时，质点加速度的构成点加速度的构成 u 设某一瞬某一瞬时质点沿槽运点沿槽运动到与到与O O相距相距r r的位置的位置A AyBxOAuru 经t时间，质点沿槽运点沿槽运动到与到与盘心心O相距相距r+ut 的的位置位置B ，盘转过了角度了角度t，故，故质点点实践践应在位置在位置B在在tt时间内，内，质点沿点沿y y方向速度增量方向速度增量为在在tt时间内，内，质点沿点沿x x方向速度增量方向速度增量为留意到留意到t0时 续解解读题方向与方向与x x成成牵连加速度加速度相相对中介参考系的加速度中介参考系的加速度 牵连加速度加速度 yxOA由于参考系由于参考系转动及及质点点对参考系有相参考系有相对运运动而而产生的，方向指向生的，方向指向u u沿沿 方向方向转过9090的方向的方向前往前往试手手 如下如下图, ,一等腰直角三角形一等腰直角三角形OABOAB在其本身平面内以在其本身平面内以等角速度等角速度 绕顶点点O O转动，某一点，某一点MM以等相以等相对速度沿速度沿ABAB边运运动，当三，当三角形角形转了一周了一周时，MM点走点走过了了ABAB，如知，如知ABABb b，试求求MM点在点在A A时的速的速度与加速度度与加速度 求求质点的速度点的速度OABM引入中介参照系引入中介参照系- -三角形三角形OABOAB质点点对轴O的速度相的速度相对速度速度三角形三角形A点点对轴的速度的速度牵连速度速度质点点对轴O的速度的速度绝对速度速度vMvMAvA三速度关系三速度关系为vM方向与方向与ABAB夹角角续解解求求质点的加速度点的加速度相相对中介参考系的加速度中介参考系的加速度 牵连加速度加速度OABMaAa科科aM方向与方向与AOAO夹角角规律律 曲线运动轨迹的曲率曲线运动轨迹的曲率曲曲线的弯曲程度用曲率描画的弯曲程度用曲率描画 曲曲线上某点的曲率定上某点的曲率定义为圆周上各点曲率一周上各点曲率一样: : 曲曲线上各点上各点对应的半径的半径为该点点曲率倒数曲率倒数1/K1/K的的圆称称为曲率曲率圆, ,该圆圆心称曲心称曲线该点的曲率中心点的曲率中心! !M1 用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径率半径,知长半轴与短半轴为知长半轴与短半轴为a和和b.专题7-例例4设质点在点在M平面内沿平面内沿椭圆轨道以速率道以速率v运运动，这个运个运动在在M1平面的一个分运平面的一个分运动轨道恰成半径道恰成半径为b的的圆，那么两平面，那么两平面间夹角角对椭圆长轴端的端的A点点:A1aA1对A点投影点投影A1点点:椭圆短短轴端端B点的曲率半径由点的曲率半径由B1vvMAaABvaBaB 用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径.专题7-例例5yxOp设质点以速度点以速度v0做平抛运做平抛运动平抛平抛规律律消去消去t得得对轨迹上的迹上的P点点:式中式中抛物抛物线上上x=p/2点点试手手 旋旋转半径半径为r r、螺距、螺距为h h的等距螺旋的等距螺旋线，曲率半径，曲率半径处处一一样试用运用运动学方法求解曲率半径学方法求解曲率半径 值 设物体以物体以v0做匀速率的做匀速率的圆周运周运动、同、同时以以vh沿垂直于沿垂直于v0方向做匀速直方向做匀速直线运运动，每前每前进一个螺距，完成一次一个螺距，完成一次圆周，即有周，即有 设螺旋螺旋线上任一点的曲率半径上任一点的曲率半径为hr受恒力作用受恒力作用力与初速度垂直力与初速度垂直轨迹迹为半支抛物半支抛物线匀匀变速曲速曲线运运动物体在物体在时辰辰t的位置的位置物体在物体在时辰辰t的速度的速度程度方向匀速运程度方向匀速运动与与竖直直方向自在落体运方向自在落体运动的合成的合成前往前往平抛初速大小不同平抛初速大小不同,落在斜面上落在斜面上时速度方向一速度方向一样!Hv0g空中空中飞行行时间距斜面最大高度距斜面最大高度沿斜面方向的匀加速运沿斜面方向的匀加速运动与垂与垂直斜面方向的上抛运直斜面方向的上抛运动之合成之合成! 如下图，小冰球从高为如下图，小冰球从高为H H的光滑坡顶由静止开场下的光滑坡顶由静止开场下滑，这个坡的末端形如程度跳板当跳板高滑，这个坡的末端形如程度跳板当跳板高h h为何值时，冰球飞过的为何值时，冰球飞过的间隔间隔s s最远？它等于多少？最远？它等于多少？ HhAB物体从坡末端物体从坡末端B程度程度飞出后做平抛运出后做平抛运动:由根本不等式性由根本不等式性质 两个质点以加速度两个质点以加速度g g在均匀重力场中运动开场时在均匀重力场中运动开场时两个质点位于同一点，且其中一个质点具有程度速度两个质点位于同一点，且其中一个质点具有程度速度v1v13.0 m3.0 ms s；另一个质点程度速度另一个质点程度速度v2v24.0 m4.0 ms s，方向与前者相反求当两个质点，方向与前者相反求当两个质点的速度矢量相互垂直时，它们之间的间隔的速度矢量相互垂直时，它们之间的间隔 当两当两质点速度相互垂直点速度相互垂直时，速度矢量关系如速度矢量关系如图示示:v1vyv1tv2tv2vy由矢量由矢量图得得 如图，一仓库高如图，一仓库高25 m25 m，宽，宽40 m40 m今在仓库前今在仓库前l ml m、高、高5 m5 m的的A A处抛一石块，使石块抛过屋顶，问间隔处抛一石块，使石块抛过屋顶，问间隔l l为多大时，初速度为多大时，初速度v0v0之值最小？之值最小？g g取取10 m/s210 m/s2 hSv0lvB A HB过B点点时速度方向与程速度方向与程度成度成45时，可以最小，可以最小的的vB越越过40m仓库顶 !从从A到到B竖直方向分运直方向分运动有有从从A到到B程度方向分运程度方向分运动有有x岸岸 木排停靠在河上，到岸的间隔木排停靠在河上，到岸的间隔L L60 m60 m流水速度流水速度同离岸的间隔成比例地增大，在岸边同离岸的间隔成比例地增大，在岸边u0=0u0=0，而在木排边流速，而在木排边流速uL=2 uL=2 m/sm/s小汽船分开岸驶向木排船对水的速度小汽船分开岸驶向木排船对水的速度v=7.2 km/hv=7.2 km/h问驾驶员问驾驶员在起航前应该使船指向何方，使以后无须校正船速就能靠上与起航在起航前应该使船指向何方，使以后无须校正船速就能靠上与起航处正对面的木排？这时船航行多少时间？处正对面的木排？这时船航行多少时间？ V0=v流水速度流水速度为船的合速度船的合速度为在岸在岸边船的合速度大小船的合速度大小V0=v方向如示方向如示 !中中间时辰船合速度沿辰船合速度沿x方向方向,航航线如如 示示vu中中VVvuL经过L的的时间 如下如下图，一个完全，一个完全弹性小球自在下落，性小球自在下落，经5m5m碰到斜碰到斜面上的面上的A A点同点同时斜面正以斜面正以V V10m10ms s在程度面上做匀速运在程度面上做匀速运动，斜面，斜面与程度面的与程度面的倾角角为4545问在离在离A A点多点多远处，小球将与斜面，小球将与斜面发生第二生第二次碰撞？次碰撞？ 球以球以v=10 m/sv=10 m/s入射，与斜面的接近速度入射，与斜面的接近速度 vAV球与斜面的分球与斜面的分别速度速度 球从与斜面分球从与斜面分别到再次碰撞到再次碰撞历时g留意到球沿斜面体方向初速度留意到球沿斜面体方向初速度为零，加速度零，加速度gsin45 球再与斜面碰撞球再与斜面碰撞处距距A A 如下如下图，一人站在一平滑的山坡上，山坡与程度面，一人站在一平滑的山坡上，山坡与程度面成角度成角度 他与程度成他与程度成 仰角扔出的石子落在斜坡上仰角扔出的石子落在斜坡上间隔隔为L L，求其抛，求其抛出出时初速度初速度v0v0及以此大小初速度抛出的石子在斜坡上可以到达的最及以此大小初速度抛出的石子在斜坡上可以到达的最大大间隔隔 v0g石子沿山坡方向做匀加速运石子沿山坡方向做匀加速运动 石子沿垂直山坡方向做匀加速运石子沿垂直山坡方向做匀加速运动 设抛出石子的仰角抛出石子的仰角为 小球以恒定速度小球以恒定速度v v沿程度面运沿程度面运动，在，在A A点点坠落于半径落于半径为r r和深和深为的的竖直直圆柱形井中小球速度柱形井中小球速度v v与与过点井的直径成点井的直径成 ，俯俯视如如图问v v、H H、r r、 之之间关系如何，才干使小球与井壁和井底关系如何，才干使小球与井壁和井底弹性碰撞后，可以从井里性碰撞后，可以从井里“跳出来不跳出来不计摩擦摩擦 vAr小球运小球运动轨迹的俯迹的俯视图如示如示 小球两次与壁相碰点小球两次与壁相碰点间程度射程程度射程为 历时 从从进入至与底碰撞入至与底碰撞历时 为使小球与井壁和井底使小球与井壁和井底弹性碰撞后，可以从井里性碰撞后，可以从井里“跳出来跳出来(n、k均均为正整数正整数) 小球在小球在竖直方向做自在下直方向做自在下落或碰底上抛至速度落或碰底上抛至速度为零零小球在程度方向以小球在程度方向以v v匀速运匀速运动, ,碰壁碰壁“反射反射 如图，一位网球运发动用拍朝程度方向击球，第一如图，一位网球运发动用拍朝程度方向击球，第一只球落在本人一方场地上后弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场地只球落在本人一方场地上后弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场地处第二只球直接擦网而过，也落在处球与地面的碰撞是完处第二只球直接擦网而过，也落在处球与地面的碰撞是完全弹性的，且空气阻力不计，试求运发动击球高度为网高的多少倍全弹性的，且空气阻力不计，试求运发动击球高度为网高的多少倍？ BACOH设C点高度点高度为h，由，由题意球意球1运运动时间为由由题意球意球2运运动时间为程度射程一程度射程一样x 初速度为初速度为v0 v0 的炮弹向空中射击，不思索空气阻力，的炮弹向空中射击，不思索空气阻力，试求出空间平安区域的边境的方程试求出空间平安区域的边境的方程 这个个问题可可笼统为一个求射出炮一个求射出炮弹在空中能在空中能够轨迹的包迹的包络线方程方程问题，包，包络线以外即以外即为平安区域平安区域 如如图，在空，在空间三三维坐坐标中，中，设初速度方向与初速度方向与xyxy平面成平面成 角，由抛体运角，由抛体运动规律可建立律可建立时间t t的三个参数方程的三个参数方程 xzyOv0vxvyvz续解解这是是发射角射角各不一各不一样的炮的炮弹的空的空间轨迹方程迹方程此方程式有解此方程式有解时，必，必满足足 包包络线方程方程为 这里我里我们运用了曲运用了曲线簇的包簇的包络线的数学模的数学模型型处置了一个有置了一个有实践运用背景的物理践运用背景的物理问题 整理整理该包包络线方程方程为所求平安区域的所求平安区域的边境方程境方程 读题 机车以等速率机车以等速率v0v0沿直线轨道行驶机车车轮半径为沿直线轨道行驶机车车轮半径为r r如车轮只滚动不滑动，将轮缘上的点如车轮只滚动不滑动，将轮缘上的点MM在轨道上的起点位置取为在轨道上的起点位置取为坐标原点，并将轨道取为坐标原点，并将轨道取为x x轴，如下图，求轴，如下图，求MM点的运动轨迹方程以及点的运动轨迹方程以及轨迹的曲率半径，并求当轨迹的曲率半径，并求当MM点所在的车轮直径在程度位置时，该点的点所在的车轮直径在程度位置时，该点的速度与加速度速度与加速度 yxOMAMM点的两个分运点的两个分运动与与轮心一心一样的匀速运的匀速运动对轮心的匀速心的匀速圆周运周运动Oyx续解解MM点的点的轨迹方程迹方程为求求轨迹方程：迹方程：M读题MM点速度矢量与加速度矢量关系如示点速度矢量与加速度矢量关系如示 求求轨迹的曲率半径迹的曲率半径：vMaMatv0v0M点加速度即点加速度即法向分量法向分量续解解M求当求当M M点所在的点所在的车轮直径在程度直径在程度位置位置时，该点的速度与加速度：点的速度与加速度：vMaMatv0v0方向与方向与x x轴成成45 45 方向方向+x+x