5.3.25.3.2命题、定理、证明命题、定理、证明下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？断？哪些没有对事情作出判断？1 1、对顶角相等；、对顶角相等；2 2、画一个角等于已知角；、画一个角等于已知角；3 3、两直线平行，同位角相等；、两直线平行，同位角相等；4 4、a a、b b两条直线平行吗？两条直线平行吗？5 5、温柔的小明；、温柔的小明；6 6、玫瑰花是动物；、玫瑰花是动物；否是否否是是对事情作了判断的语句是否正确？对事情作了判断的语句是否正确？2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。不是命题。如：画线段如：画线段AB=CDAB=CD。判断一件事情的语句叫做判断一件事情的语句叫做命题命题。注意：注意：1、只要对一件事情作出了只要对一件事情作出了判断判断，不管正确与否，都是，不管正确与否，都是命题命题。如：相等的角是对顶角。如：相等的角是对顶角。命题是由命题是由题设题设和和结论结论两部分组成。两部分组成。题设题设是已知事项，是已知事项，结论结论是由已是由已知事项推出的事项知事项推出的事项。 两直线平行，两直线平行， 同位角相等。同位角相等。题设题设 结论结论命题的结构在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事分组成的题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成项这样的命题常可写成“如果如果，那么，那么”的形式的形式用用“如果如果”开始的部分就是题设，而用开始的部分就是题设，而用“那么那么”开始的部开始的部分就是结论分就是结论（1 1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；题设题设结论结论（2 2）如果两个角是直角，那么这两个角相等。）如果两个角是直角，那么这两个角相等。题设题设结论结论例例1 1 把命题把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形”改写改写成成“如果如果，那么，那么”的形式，并分别指出命题的题设的形式，并分别指出命题的题设与结论与结论 解解 这个命题可以写成这个命题可以写成“如果一个三角形的三条边都相如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形等，那么这个三角形是等边三角形”这个命题的题设是这个命题的题设是“一个三角形的三条边都相等一个三角形的三条边都相等”，结论是结论是“这个三角形是等边三角形这个三角形是等边三角形”注意：注意：添加添加“如果如果”、“那么那么”后，后，命题的意命题的意义不能改变义不能改变，改写的，改写的句子要完整句子要完整，语句要通顺语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，过程中，要适当增加词语，指出下列各命题的指出下列各命题的题设题设和和结论结论，并改写并改写成成“如果如果那么那么”的形式。的形式。1 1、对顶角相等；、对顶角相等；2 2、等角的补角相等等角的补角相等；3 3、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；4 4、正数与负数的和为正数与负数的和为0 0 ；5 5、平行于同一直线的两直线平行；、平行于同一直线的两直线平行；6 6、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形的两个锐角互余。有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立。而有些命题题设成立时，结论不一定成立。正确的命题叫正确的命题叫真命题真命题，错误的命题叫，错误的命题叫假命题假命题。如命题：如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补如果两个角互补，那么它们是邻补角角”就是一个就是一个错误错误的命题。的命题。如命题：如命题：“如果一个数能被如果一个数能被4整除，那么它也能整除，那么它也能被被2整除整除”就是一个就是一个正确正确的命题。的命题。确定一个命题真假的方法：确定一个命题真假的方法：利用已有的知识，通过利用已有的知识，通过观察观察、验证验证、推理推理、举举反例反例等方法。等方法。下列句子哪些是命题？是命题的，指出下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？是真命题还是假命题？ 1 1、猪有四只脚；、猪有四只脚； 2 2、内错角相等内错角相等； 3 3、画一条直线；、画一条直线； 4 4、四边形是正方形；、四边形是正方形； 5 5、你的作业做完了吗？你的作业做完了吗？ 6 6、同位角相等，两直线平行；、同位角相等，两直线平行； 7 7、对顶角相等；、对顶角相等； 8 8、垂直于同一直线的两条直线平垂直于同一直线的两条直线平行行； 是是真命题真命题否否是是假假命题命题是是假假命题命题否否是是真真命题命题是是真真命题命题是是假假命题命题1 1、数学中有些命题的正确性是数学中有些命题的正确性是人们在人们在长期实践长期实践中总结中总结出来的，并把它们出来的，并把它们作为判断其他命题真假作为判断其他命题真假的原始依据的原始依据，这样的真命题叫做，这样的真命题叫做公理公理。2 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理逻辑推理的方法判断它们是正确的，这样的真的方法判断它们是正确的，这样的真命题叫做命题叫做定理定理。公理公理和和定理定理都可作为判断其他命题真假的都可作为判断其他命题真假的依据依据。3 3、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明证明。命题命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？ 题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中 的一条；结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条（2）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？命题命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.已知：bc， ab 求证：ac（3）请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？已知：bc，ab 求证：ac证明： ab（已知）， 又 bc（已知）， 1=2（两直线平行，同位角相等）. 2=1=90（等量代换） 1=90 （垂直的定义） ac（垂直的定义）证证明中的每一步推理都要有根据，不能想明中的每一步推理都要有根据，不能想“当然当然”。命题2 相等的角是对顶角（2）判断这个命题的真假（1）这个命题题设和结论分别是什么？题设：两个角相等；结论：这两个角互为对顶角 我们知道假命题是在条件成立的前提下，结论不一定成立，你能否利用图形举出一个反例说明当两个角相等时它们不一定是对顶角的关系. 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。这种方法称为这种方法称为举反例举反例。课堂小结课堂小结1 1、命题：判断一件事情的语句叫、命题：判断一件事情的语句叫命题命题。2 2、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做命题真假的根据的命题，叫做公理公理。3 3、定理：经过推理论证为正确的命题叫、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理定理。也可作为继续推。也可作为继续推理的依据。理的依据。4 4、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做判断，这个推理过程叫做证明证明。 5 5、判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不、判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为成立就可以了，这种方法称为举反例举反例。（1 1）正确的命题称为）正确的命题称为真命题真命题，错误的命题称为，错误的命题称为假命题假命题。（2 2）命题的结构：命题由）命题的结构：命题由题设题设和和结论结论两部分构成，常可写成两部分构成，常可写成“如果如果，那么，那么”的形式。的形式。 3 3、公理举例：公理举例：经过两点有且只有一条直线。经过两点有且只有一条直线。2、线段公理：、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。两点的所有连线中，线段最短。4、平行线判定公理：、平行线判定公理：同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。5、平行线性质公理：、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。1、直线公理：、直线公理：3、平行公理：、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。直线与已知直线平行。同角或等角的补角相等。同角或等角的补角相等。2、余角的性质：、余角的性质：同角或等角的余角相等。同角或等角的余角相等。4、垂线的性质：、垂线的性质：过一点有且只有一条直线过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；与已知直线垂直；5、平行公理的推论：、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直直线平行，那么这两条直线也互相平行。线也互相平行。1、补角的性质：、补角的性质：3、对顶角的性质：、对顶角的性质：对顶角相等。对顶角相等。垂线段最短。垂线段最短。定理举例：定理举例：内错角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。6、平行线的判定定理：、平行线的判定定理：7、平行线的性质定理：、平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。定理举例：定理举例：作业1、24页12题