第6章 简单的超静定问题6.1超静定问题及其解法静定结构静定结构: : 仅靠静力仅靠静力平衡方程平衡方程就可以求出结构就可以求出结构的约束反力或内力的约束反力或内力FAB2AF1BaaC超静定结构超静定结构( (静不定结构静不定结构): ): 静力静力学学平衡方程平衡方程不能求解不能求解 超静定结构的未知力的数目多于超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的独立的平衡方程的数目；两者的差值称为差值称为超静定的次数超静定的次数BDCA132Faa FFCFBFABCAAFa a FFFN2N3N1yxBCAD习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约多余约束束，相应的约束反力称为，相应的约束反力称为多余未知力多余未知力。 超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。目。 从提高结构的从提高结构的强度和刚度强度和刚度的角度来说，多余约束往的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的往是必需的，并不是多余的 超静定的求解超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系得出需要的补充方程；则可求解超静定问物理关系得出需要的补充方程；则可求解超静定问题。题。 补充方程补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了：为求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未知力的数目。方程的数目等于多余未知力的数目。 根据变形几何相容条件，建立根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程变形几何相容方程，结合物理关系（结合物理关系（胡克定律），则可得出需要的补充方胡克定律），则可得出需要的补充方程。程。补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。行说明。6.2拉压超静定问题1拉压超静定问题解法例例两端固定的等直杆两端固定的等直杆AB，在，在C处承受轴向力处承受轴向力F如如图，杆的拉压刚度为图，杆的拉压刚度为EA，求杆的支反力，求杆的支反力.解解：一次超静定问题：一次超静定问题FBAFABablFC(1)(1)力：由节点力：由节点 A A 的平衡条的平衡条件列出杆轴线方向的件列出杆轴线方向的平衡方平衡方程程（2）变形：变形协调条件变形：变形协调条件( (求求补充方程补充方程) )可选取固定端可选取固定端B为多余约束，予以解除，在为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的该处的施加对应的约束反力约束反力FB，得到一个作用有原，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构荷载和多余未知力的静定结构 - -称为原超静定结构的称为原超静定结构的基本静定系基本静定系或或相当系统相当系统注意原注意原超静定结构的超静定结构的 B端端约束情况，相当系统要保持和约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在原结构相等，则相当系统在 B点的位移为零。点的位移为零。即得即得变形协调条件变形协调条件BFFBCA在在相当系统中求相当系统中求 B点的位移点的位移, ,按叠加原理，可得按叠加原理，可得 （3 3）胡克定理胡克定理( (物理关系物理关系) )（4 4）得出）得出补充方程补充方程得FB为正为正,表明其方向与图中所设一表明其方向与图中所设一致致.xFBCADBFxFBBADBB例例 设设l，2，3杆用铰连接如图，杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即横截面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2=A，E1=E2=E；3 3杆长度为杆长度为l3 ，横截面面积为，横截面面积为A3，弹性模，弹性模量为量为E3 , ,试求各杆的轴力。试求各杆的轴力。解解：一次超静定问题：一次超静定问题 (1)(1)力：由节点力：由节点A A的平衡条件列的平衡条件列出出平衡方程平衡方程BDCA132FAFaaFFFN2N3N1yx(2)(2)变形：变形协调条件变形：变形协调条件( (求求补充方程补充方程) )(3)(3)胡克定理胡克定理aaDlDl31B1aa32DCAA(4)(4)得出得出补充方程补充方程联立平衡方程、补充方程，求解得联立平衡方程、补充方程，求解得在超静定杆系中，各杆在超静定杆系中，各杆轴力的大小轴力的大小和该杆的和该杆的刚度刚度与与其它杆的刚度其它杆的刚度的的比值有关比值有关 增大或减少增大或减少1 1、2 2两杆的刚度，则它们的轴力也两杆的刚度，则它们的轴力也将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。这些将引起杆系各轴力的重新分配。这些特点特点在静定杆在静定杆系中是不存在的。系中是不存在的。归纳起来，求解超静定问题的步骤是：归纳起来，求解超静定问题的步骤是： (1) (1)根据分离体的根据分离体的平衡条件平衡条件，建立独立的平衡，建立独立的平衡方程；方程； (2) (2)建立建立变形协调条件变形协调条件，求，求补充方程补充方程 (3) (3)利用胡克定律，得到利用胡克定律，得到补充方程补充方程； (4). (4). 联立求解联立求解例例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用模量均分别相同，用A A、l l、E E 表示。设表示。设ACAC为一刚性横为一刚性横梁，试求在荷载梁，试求在荷载F F 作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力解解:(1):(1)受力分析受力分析-平衡方程平衡方程123laaa2BCADFFDABCFN1N2FN3F(2)(2)变形分析变形分析协调条件（求协调条件（求补充方程补充方程）(3) (3) 胡克定理胡克定理(4)(4)联立求解得联立求解得ABBCDDl1Dl2CDl3得出得出补充方程补充方程2 装配应力 温度应力(1) 装配应力装配应力 在在静静定定问问题题中中，只只会会使使结结构构的的几几何何形形状状略略有有改改变变，不不会会在在杆杆中中产产生生附附加加的的内内力力. .如如1杆杆较较设设计计尺寸过长，仅是尺寸过长，仅是A点的移动。点的移动。 在在超超静静定定问问题题中中，由由于于有有了了多余约束，就将产生附加的内力多余约束，就将产生附加的内力. . 附附加加的的内内力力称称为为装装配配内内力力, ,与与之之相相应应的的应应力力则则称称为为装装配配应应力力, ,装装配配应应力力是是杆杆在在荷荷载载作作用用以以前前已已经具有的应力，也称为经具有的应力，也称为初应力初应力。 3DBCAa AA1a 2De例例 两两铸铸件件用用两两钢钢杆杆1、2连连接接如如图图，其其间间距距为为l=200mm。现现需需将将制制造造得得过过长长 e的的铜铜杆杆3装装人人铸铸件件之之间间，并并保保持持三三杆杆的的轴轴线线平平行行且且有有等等间间距距a。试试计计算算各各杆杆内内的的装装配配应应力力。已已知知：钢钢杆杆直直径径d=10mm，铜铜杆杆横横截截面面为为20mm 30mm的的矩矩形形，钢钢的的弹弹性性模模量量E=210GPa，铜铜的的弹弹性性模模量量E=100GPa。铸铸件件很很厚厚，其其变变形形可可略略去去不不计。计。解解：画出结构装配简图，画出结构装配简图，并可确定装配后并可确定装配后3杆受杆受压，压，1、2杆受拉杆受拉BB1AA2CC3CC111aaDel1=Dl12DlACBBACB12111CADl3(1)列出列出平衡方程平衡方程, ,一次超静定问题一次超静定问题(2) 变形分析变形分析协调条件（求协调条件（求补充方程补充方程） 因因铸铸件件可可视视作作刚刚体体，其其变变形形相相容容条条件件是是三三杆杆变变形形后后的的端端点点须须在在同同一一直直线线上上。由由于于结结构构在在几几何和物性均对称于杆何和物性均对称于杆3 3，可得变形协调条件为，可得变形协调条件为(3) (3) 胡克定理胡克定理FN1N3FFN2aaACBx得出得出补充方程补充方程(4)(4)联立求解联立求解得得所得结果均为正，说明原先假定杆所得结果均为正，说明原先假定杆1，2为拉力为拉力和杆和杆3为压力是正确的。为压力是正确的。将已知数据代人，可得装配应力为将已知数据代人，可得装配应力为计算中注意单位计算中注意单位在在超超静静定定问问题题里里，杆杆件件尺尺寸寸的的微微小小误误差差，会会产产生生相相当当可可观观的的装装配配应应力力。这这种种装装配配应应力力既既可可能能引引起不利的后果，也可能带来有利的影响。起不利的后果，也可能带来有利的影响。土土建建工工程程中中的的预预应应力力钢钢筋筋混混凝凝土土构构件件，就就是是利利用装配应力来提高构件承载能力的例子。用装配应力来提高构件承载能力的例子。(2)(2) 温度应力温度应力静静定定问问题题：由由于于杆杆能能自自由由变变形形，由由温温度度所所引引起起的的变变形不会在杆中产生内力。形不会在杆中产生内力。超超静静定定问问题题：由由于于有有了了多多余余约约束束，杆杆由由温温度度变变化化所所引引起起的的变变形形受受到到限限制制，从从而而将将在在杆杆中中产产生生内内力力。这这种内力称为种内力称为温度内力温度内力。与之相应的应力则称为与之相应的应力则称为温度应力温度应力。杆杆的的变变形形包包括括两两部部分分：即即由由温温度度变变化化所所引引起起的的变变形形，以及与温度内力相应的弹性变形以及与温度内力相应的弹性变形。例例图图示示的的等等直直杆杆AB的的两两端端分分别别与与刚刚性性支支承承连连接接。设设两两支支承承间间的的距距离离(即即杆杆长长)为为l，杆杆的的横横截截面面面面积积为为A，材材料料的的弹弹性性模模量量为为E，线线膨膨胀胀系系数数为为 l。试试求求温温度升高度升高 t时杆内的温度应力。时杆内的温度应力。解解：一次超静定：一次超静定（1）变变形形：如如杆杆只只有有一一端端(A端端)固固定定，则则温温度度升升高高以以后，杆将自由伸长后，杆将自由伸长。现现因因刚刚性性支支承承B的的阻阻挡挡，使使杆杆不不能能伸伸长长，相相当当于于在在杆杆的的两两端端加加了了压压力力FN而而将将杆杆顶顶住住，而而保保持持B点的不动。点的不动。ABlABDltABFNDlF得到变形协调条件得到变形协调条件( (求求补充方程补充方程)使用胡克定理得使用胡克定理得温度引起的变形温度引起的变形得出得出补充方程补充方程解得解得温度应力温度应力以以上上计计算算表表明明，在在超超静静定定结结构构中中，温温度度应应力力是是一个不容忽视的因素。一个不容忽视的因素。在在铁铁路路钢钢轨轨接接头头处处、混混凝凝土土路路面面中中，通通常常都都留留有有空空隙隙；高高温温管管道道隔隔一一段段距距离离要要设设一一个个弯弯道道，都都为为考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。如如果果忽忽视视了了温温度度变变化化的的影影响响，将将会会导导致致破破坏坏或或妨碍结构物的正常工作。妨碍结构物的正常工作。如杆为钢杆，如杆为钢杆， l 10-5/(oC),E=210GPa,如温度如温度升高升高 t=40oC，杆内的温度应力为，杆内的温度应力为6.3 扭转超静定问题扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件建立建立补充方程。补充方程。例例两两端端固固定定的的圆圆截截面面杆杆AB，在在截截面面C处处受受一一扭扭转转力力偶偶矩矩Me作作用用如如图图。已已知知杆杆的的扭扭转转刚刚度度为为GIp，试试求杆两端的支反力偶矩。求杆两端的支反力偶矩。解解：一次超静定一次超静定设设想想固固定定端端B为为多多余余约约束束，解解除除后后加加上上相相应应的的多多余余未未知知力力偶偶矩矩MB，得得基基本静定系。本静定系。MeABablCIIIMeMACABIIIxBM变变形形协协调调条条件件：根根据据原原超超静静定定杆杆的的约约束束情情况况，基基本本静定系在静定系在B端的扭转角应等于零端的扭转角应等于零,即即变形协调条件为变形协调条件为 平衡方程平衡方程：设固定端设固定端A A的支反力偶为的支反力偶为MA , ,方向同方向同MB按叠加原理：按叠加原理： BB、 BM分别为分别为MB、Me引起的在杆端引起的在杆端B的扭转角。的扭转角。线弹性时，物理关系线弹性时，物理关系(胡克定理胡克定理) )为为代入上式代入上式可解得可解得MA可平衡方程求得可平衡方程求得。例例图图示示一一长长为为l的的组组合合杆杆，由由不不同同材材料料的的实实心心圆圆截截面面杆杆和和空空心心圆圆截截面面杆杆套套在在一一起起而而组组成成，内内、外外两两杆杆均均在在线线弹弹性性范范围围内内工工作作，其其扭扭转转刚刚度度分分别别为为GaIpa和和GbIpb。当当组组合合杆杆的的两两端端面面各各自自固固结结于于刚刚性性板板上上，并并在在刚刚性性板板处处受受一一对对扭扭转转力力偶偶矩矩Me作作用用时时，试试求求分分别别作用在内、外杆上的扭转力偶矩。作用在内、外杆上的扭转力偶矩。分析分析：画出受力及变形简图写出独立写出独立平衡方程平衡方程一次超静定问题一次超静定问题。ABljaMbMMeABMeeMrbarl变形协调条件变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一起，：原杆两端各自与刚性板固结在一起，故内、外杆的扭转变形相同。即故内、外杆的扭转变形相同。即变形协调条件为变形协调条件为代入物理关系代入物理关系(胡克定理胡克定理) )，与，与平衡方程联立，平衡方程联立，即可求得即可求得Ma和和Mb。 并可进一步求得杆中切并可进一步求得杆中切应力如图（内应力如图（内、外两杆、外两杆材料不同），一般材料不同），一般在两在两杆交界处的切应力是不杆交界处的切应力是不同的。同的。dDT1T1ttt2min1max2max216.4 简单超静定梁超静定问题平衡方程不能完全求解多余超静定问题平衡方程不能完全求解多余约束补充方程约束补充方程解除多余约束相当系统变形协调条件解除多余约束相当系统变形协调条件补充方程补充方程列变形协调条件：列变形协调条件：FBqABFAAMABqlAqBBqwAFBBwBq可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集中力作用下的挠度为中力作用下的挠度为得出补充方程补充方程为为解得解得也也可可以以取取支支座座A处处阻阻止止梁梁端端面面转转动动的的约约束束作作为为“多余多余”约束，解除后可得相当系统约束，解除后可得相当系统根根据据原原超超静静定定梁梁端端面面A的的转转角角应应等等于于零零的的变变形形相相容容条条件件，可可由由变变形形协协调调条条件件建建立立补补充充方方程程来来求求解。解。可从右向左作出剪力图和弯矩图可从右向左作出剪力图和弯矩图ql8ql81l18F图Sql82ql11282M图MAABql例例梁梁AC在在B、C处处分分别别为为固固定定铰铰支支座座和和可可动动铰铰支支座座，梁梁的的A端端用用一一钢钢杆杆AD与与梁梁AC铰铰接接。在在梁梁受受荷荷载载作作用用以以前前，杆杆AD内内没没有有内内力力。已已知知梁梁和和拉拉杆杆用用同同样样的的钢钢材材制制成成，材材料料的的弹弹性性模模量量为为E，梁梁横横截截面面的的惯惯性性矩矩为为I，拉拉杆杆横横截截面面的的面面积积为为A，其其余余尺尺寸寸见见图图。试试求求钢钢杆杆AD内的拉力内的拉力FN。解解：一次超静定问题一次超静定问题变形协调条件（求变形协调条件（求补补充方程充方程）：）：(1)将杆与梁的连接铰将杆与梁的连接铰A看作多余约束看作多余约束(切开切开)，相应的多余未知力为相应的多余未知力为FN(一一对对)，得，得相当系统相当系统如图。如图。BACqa2alD2qFNBFCF2qqBCwADADFNA1l(2)求求wA:外伸梁在荷载外伸梁在荷载与拉力与拉力FN共同作用下，按叠共同作用下，按叠加原理，加原理，A端挠度端挠度wAq可按叠加法求得可按叠加法求得BC2qqBCwAqFNwAF类似的叠加法，对类似的叠加法，对FN作用下梁的挠度作用下梁的挠度杆杆AD的伸长的伸长最后，最后，补充方程补充方程为为解得解得