1.1分类加法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理与分步乘法计数原理选修选修2 23 3第一课第一课时时思索：用一个大写的英文字母或一个思索：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共可以编出多少种不同的号码？共可以编出多少种不同的号码？261036他能他能说说这个个问题的特征的特征吗？ 最重要特征是最重要特征是“或字的呈或字的呈现，每个，每个座位可以用一个英文字母或一个阿拉座位可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字伯数字编号号.由于英文字母、阿拉伯数由于英文字母、阿拉伯数字各不一字各不一样，所以其，所以其编出的号出的号码也不也不同同.从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车一从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车一天中，火车有天中，火车有3 3班，汽车有班，汽车有2 2班那么一天班那么一天中，乘这些交通工具从甲地到乙地，共有中，乘这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？多少种不同的走法？由于一天中乘火由于一天中乘火车有有3 3种走法，乘汽种走法，乘汽车有有2 2种走法，每种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3 32 25 5他能概括上述他能概括上述问题的共同特征的共同特征吗？ 分分类加法加法计数原理数原理完成一件事，有两类不同方案，在第完成一件事，有两类不同方案，在第1 1类方案中有类方案中有m m种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类方类方案中有案中有n n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事那么完成这件事共有：共有：种不同的方法种不同的方法两类不同方案中两类不同方案中的方法互不一样的方法互不一样例例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，生了解到，A、B两所大学各有一些本人两所大学各有一些本人感兴趣的强项专业，详细情况如下：感兴趣的强项专业，详细情况如下：A大学大学B大学大学生物学生物学 数学数学化学化学 会计学会计学医学医学 信息技术学信息技术学物理学物理学 法学法学工程学工程学假设这名同窗只能选一个专业，那么他共有多少种选择？假设这名同窗只能选一个专业，那么他共有多少种选择？完成一件事情完成一件事情指的是什么？指的是什么？一件事情是指一件事情是指选择一个一个专业？探求？探求假假设完成一件事情有完成一件事情有n n类不同方案，在不同方案，在第第1 1类方案中有方案中有m1m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类方案中有方案中有m2m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n n类方案中有方案中有mnmn种不同的方法，那么完种不同的方法，那么完成成这件事共有件事共有 种不同的方法？种不同的方法？思索思索:用一个大写的英文字母和一个阿拉伯用一个大写的英文字母和一个阿拉伯数字，以数字，以A0,A1,的方式的方式给教室里的座位教室里的座位编号，号，总共可以共可以编出多少个不同的号出多少个不同的号码？2610260这个个问题与前一个与前一个问题有什么不同？有什么不同？ 完成一件事指的是什么？完成一件事指的是什么？ 得到一个号得到一个号码必需必需经过先确定一个英先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步两个步骤. 他能列出一切号他能列出一切号码吗？ 穷举要有要有规律，要有序律，要有序 从甲地到乙地，从甲地选乘火车到丙地，再于从甲地到乙地，从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有3 3班，汽车有班，汽车有2 2班那么两天中，从甲地到乙地班那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法共有多少种不同的走法 ？ 这这个个问问题题与与前前一一个个问问题题不不同同在在前前一一个个问问题题中中，采采用用乘乘火火车车或或汽汽车车中中的的任任何何一一种种方方式式，都都可可以以从从甲甲地地到到乙乙地地；而而在在这这个个问问题题中中，必必需需经经过过先先乘乘火火车车、后后乘汽乘汽车车两个步两个步骤骤，才干从甲地到乙地，才干从甲地到乙地这里，由于乘火里，由于乘火车有有3 3种走法，乘汽种走法，乘汽车有有2 2种走法，所种走法，所以乘一次火以乘一次火车再接乘一次汽再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：从甲地到乙地，共有：32326 6种不同的走法种不同的走法 分步乘法分步乘法计数原理数原理完成一件事需求两个步骤，做第完成一件事需求两个步骤，做第1 1步有步有m m种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有n n种不同的种不同的方法，那么完成这件事共有：方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法无论第无论第1步采用哪种步采用哪种方法，都不影响第方法，都不影响第2步方法的选取步方法的选取.例例2.某商场有某商场有6个门，假设某人从其个门，假设某人从其中的恣意一个门进入商场，并且要求中的恣意一个门进入商场，并且要求从其他的门进来，共有多少种不同的从其他的门进来，共有多少种不同的进出商场的方式？进出商场的方式？假假设完成一件事情需求分成完成一件事情需求分成n n个步个步骤，做第，做第1 1步有步有m1m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m2m2种不种不同的方法，同的方法，做第，做第n n步有步有mnmn种不同的方法，种不同的方法，那么完成那么完成这件事共有件事共有 种不同的方法？种不同的方法？探求？探求分类计数原理与分步计数原理的分类计数原理与分步计数原理的区别与联络区别与联络: : 不同点：分不同点：分类计类计数原理与数原理与“分分类类有关，有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成都可以完成这这件事；分步件事；分步计计数原理与数原理与“分分步有关，各个步步有关，各个步骤骤相互依存，只需各个相互依存，只需各个步步骤骤都完成了，都完成了，这这件事才算完成件事才算完成 一一样点：分点：分类计数原理与分步数原理与分步计数原理都是数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的涉及完成一件事的不同方法的种数的问题. .例例3.书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算本不同的计算机书，第机书，第2层放有层放有3本不同的文艺书，本不同的文艺书，第第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.1从书架中任取从书架中任取1本书，有多少种本书，有多少种不同取法？不同取法？2从书架的第从书架的第1，2，3层各取层各取1本本书，有多少种不同取法？书，有多少种不同取法？例例4.要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3幅不同的画中选幅不同的画中选出出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？定位置，问共有多少种不同的挂法？小小 结结用两个用两个计数原理数原理处置置问题时，要仔，要仔细分析分析需求分需求分类还是分步是分步.分步要做到分步要做到“不重不漏不重不漏.分分类要做到要做到“不重不漏不重不漏.分分类后再分后再分别对每一每一类进展展计数，最后数，最后用分用分类加法加法计数原理求和，得到数原理求和，得到总数数.完成了一切步完成了一切步骤，恰好完成，恰好完成义务，且步与步之，且步与步之间要相互独立要相互独立.分步后再分步后再计算每一步的方法数，算每一步的方法数，最后根据分布乘法最后根据分布乘法计数原理，把完成每一步的数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到方法数相乘，得到总数数.集合集合A=-2，1，3，B=-3，4，5，-6，从，从A、B中各取一个元素分别作为中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，那么在第一、第二点的横、纵坐标，那么在第一、第二象限中的不同点共有多少个？象限中的不同点共有多少个？ 6个个设某班有男生设某班有男生30名，女生名，女生23名，现要名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参从中选出男、女生各一名代表班级参与竞赛，那么有多少种不同的选法？与竞赛，那么有多少种不同的选法？设某班有男生某班有男生30名，女生名，女生23名，名，现要要从中从中选出正、副出正、副组长各各1名，那么有多名，那么有多少种不同的少种不同的选法？法？1.1分类加法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理与分步乘法计数原理选修选修2 23 3第二课第二课时时分分类加法加法计数原理数原理完成一件事，有完成一件事，有n n类方法，在第方法，在第1 1类方法方法中有中有m1m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类方法中方法中有有m2m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n n类方法方法中有中有mnmn种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成这件事件事共有：共有：种不同的方法种不同的方法分步乘法分步乘法计数原理数原理完成一件事，需求分成完成一件事，需求分成n n个步个步骤，做第，做第1 1步有步有m1m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m2m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步有步有mnmn种不种不同的方法，那么完成同的方法，那么完成这件事共有：件事共有：种不同的方法种不同的方法练习练习1：乘积：乘积a1+a2+a3b1+b2+b3+b4c1+c2+c3+c4+c5展开后共有多少展开后共有多少项？项？练习2 2：要从甲、乙、丙：要从甲、乙、丙3 3名工人中名工人中选出出2 2名分名分别上日班和晚班，有多少上日班和晚班，有多少种不同的种不同的选法？法？ 例例5.给程序模块命名，需求用给程序模块命名，需求用3个字个字符，其中首字符要求用字母符，其中首字符要求用字母AG或或UZ，后两个要求用数字，后两个要求用数字19，问，问最多可以给多少个程序命名？最多可以给多少个程序命名？例例6.核糖核酸核糖核酸RNA分子是在生物细胞中发分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有总共有4种不同的碱基，分别用种不同的碱基，分别用A，C，G，U表示表示.在在一个一个RNA分子中，各种碱基可以以恣意次序呈分子中，各种碱基可以以恣意次序呈现，所以在恣意一个位置上的碱基与其他位置现，所以在恣意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关上的碱基无关.假设有一类假设有一类RNA分子由分子由100个碱个碱基组成，那么能有多少种不同的基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？分子？例例7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种形状，而这也是最容易控制的的高与低等两种形状，而这也是最容易控制的两种形状两种形状.因此计算机内部就采用了每一位只需因此计算机内部就采用了每一位只需0或或1两种数字的记数法，即二进制两种数字的记数法，即二进制.为了使计为了使计算机可以识别字符，需求对字符进展编码，每算机可以识别字符，需求对字符进展编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由字节由8个二进制位构成，问：个二进制位构成，问：1一个字一个字节8位最多可以表示多少个不位最多可以表示多少个不同的字符？同的字符？2计算机算机汉字国字国标码GB码包含了包含了6763个个汉字，一个字，一个汉字字为一个字符，要一个字符，要对这些些汉字字进展展编码，每个，每个汉字至少要用多少个字字至少要用多少个字节表示？表示？例例8.计算机编程人员在编写好程序以后需求对程序进计算机编程人员在编写好程序以后需求对程序进展测试展测试.程序员需求知道究竟有多少条执行途径即程序员需求知道究竟有多少条执行途径即程序从开场到终了的道路，以便知道需求提供多程序从开场到终了的道路，以便知道需求提供多少个测试数据少个测试数据.普通地，一个程序模块由许多子模块普通地，一个程序模块由许多子模块组成组成.如图，它是一个具有许多执行途径的程序模块如图，它是一个具有许多执行途径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行途径？问：这个程序模块有多少条执行途径？开场开场终了终了子模块子模块118条执行途径条执行途径子模块子模块245条执行途径条执行途径子模块子模块328条执行途径条执行途径子模块子模块438条执行途径条执行途径子模块子模块543条执行途径条执行途径为减少减少测试时间，该如何如何设计测试方法？方法？例例9.随着人们生活程度的提高，某城市家随着人们生活程度的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需求扩容求扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必需有照组成方法，每一个汽车牌照都必需有3个不反复的英文字母和个不反复的英文字母和3个不反复的阿拉个不反复的阿拉伯数字，并且伯数字，并且3个字母必需合成一组呈现，个字母必需合成一组呈现，3个数字也必需合成一组呈现，那么这种个数字也必需合成一组呈现，那么这种方法共能给多少辆汽车上牌照？方法共能给多少辆汽车上牌照？小小 结结用两个用两个计数原理数原理处置置问题时，要仔，要仔细分析分析需求分需求分类还是分步是分步.分步要做到分步要做到“不重不漏不重不漏.分分类要做到要做到“不重不漏不重不漏.分分类后再分后再分别对每一每一类进展展计数，最后数，最后用分用分类加法加法计数原理求和，得到数原理求和，得到总数数.完成了一切步完成了一切步骤，恰好完成，恰好完成义务，且步与步之，且步与步之间要相互独立要相互独立.分步后再分步后再计算每一步的方法数，算每一步的方法数，最后根据分布乘法最后根据分布乘法计数原理，把完成每一步的数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到方法数相乘，得到总数数.某某 局管辖范围内的局管辖范围内的 号码由八位数号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是后四位数字都是09之间的一个数字，之间的一个数字，那么这个那么这个 局不同的局不同的 号码最多有多号码最多有多少个？少个？例例. 把四封信恣意投入三个信箱中，不把四封信恣意投入三个信箱中，不同的投法种数是多少？同的投法种数是多少？集合集合A=a,b,c，集合，集合B=c,d,e,f，问：，问：1可以建立从集合可以建立从集合A到到B的不同映的不同映射的个数；射的个数；2可以建立从集合可以建立从集合B到到A的不同映的不同映射的个数射的个数.3名同窗分名同窗分别报别报名参与校数学、物理、名参与校数学、物理、化学、生物化学、生物竞赛辅导竞赛辅导，每人限，每人限报报其其中一中一门门，那么不同的，那么不同的报报法有多少种法有多少种？小小结:处置置“允允许反复反复陈列列问题要留意区分两要留意区分两类元素：一元素：一类元素可以反复元素可以反复.另一另一类不能反不能反复，把不能反复的元素看作复，把不能反复的元素看作“客，能反复的元素看作客，能反复的元素看作“店店，再利用乘法原理直接求解，再利用乘法原理直接求解的方法称的方法称为“住店法住店法.14名运发动争夺三项冠军无名运发动争夺三项冠军无并列不同的结果有多少种？并列不同的结果有多少种？ 24名运发动参与三项竞赛，每名运发动参与三项竞赛，每人限报一项，不同的报名方式有多人限报一项，不同的报名方式有多少种？少种？ 3 1200的自然数中，有多少的自然数中，有多少个各位数上都不含数字个各位数上都不含数字5的个数？的个数？ 1.1分类加法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理与分步乘法计数原理选修选修2 23 3第三课第三课时时用用0 0，1 1，2 2，9 9可可以以组组成成多多少少个个8 8位号位号码码； 用用0 0，1 1，2 2，9 9可以可以组组成多少个成多少个有反复数字的有反复数字的4 4位整数；位整数； 用用0 0，1 1，2 2，9 9可以可以组组成多少个无成多少个无反复数字的反复数字的4 4位整数；位整数；用用0 0，1 1，2 2，9 9可以可以组组成多少个成多少个8 8位整数；位整数；用用0 0，1 1，2 2，9 9可以可以组组成多少成多少个有两个反复数字的个有两个反复数字的4 4位整数等等位整数等等用用0 0，1 1，2 2，9 9可以可以组组成多少成多少个无反复数字的个无反复数字的4 4位奇数；位奇数；用用0 0，1 1，2 2，9 9可以可以组组成多少成多少个无反复数字的比个无反复数字的比5428154281小的五位数小的五位数问n元集合元集合A=a1,a2,an共有多少共有多少个不同的子集？个不同的子集？求满足条件求满足条件 的集合的集合A的个数的个数.阅读书本阅读书本1112页探求与发现页探求与发现.问题问题1：集合：集合 ，求满足条件的集合求满足条件的集合A，B的对数的对数.问题问题2：集合：集合 ，且且 ，求满足条件的，求满足条件的集合集合A，B的对数的对数. 例例. .在一切的三位数中，有且只需两个数字在一切的三位数中，有且只需两个数字一样的三位数共有多少个？一样的三位数共有多少个？例例. 某小某小组有有10人，每人至少会英人，每人至少会英语和日和日语中的一中的一门，其中，其中8人会英人会英语，5人会日人会日语，1从中任从中任选一个会外一个会外语的人，有多少的人，有多少种种选法？法？2从中从中选出会英出会英语与会日与会日语的各的各1人，人，有多少种不同的有多少种不同的选法？法？