教学内容: 正项级数的定义及其审敛方法教学重点: 比较判别法及比值判敛法 教学手段：教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合教学难点: p-级数 的敛散性教学时数: 2学时第二节 正项级数及其审敛法若级数的通项,则称为正项级数. 正项级数收敛的充分必要条件是有界. 定理1 例1证明级数是收敛的. 证即有界,故级数收敛.定理2 (正项级数的比较判别法)设项级数,且. 则 (1)若级数收敛,则级数也收敛. (2) 若级数发散, ,则级数也发散. 例2 讨论 p- 级数 的敛散性 解 当时, ,而是发散的,故发散. 当p1时， 是公比为的几何级数,它是收敛的,由正项级数的比值判别法知,此时是收敛的.综上:p-级数(p0)当时,发散;当p1时,收敛.譬如:级数级数,它是收敛的;级数是p=2的p-级数,它是收敛的.例3 判断级数的敛散性.解 因是收敛的,故是收敛的. 例4 判断级数的敛散性. 解 级数与级数具有相同的敛散性,是发散的,因此级数是发散的. 例5 判断级数的敛散性. 解 级数是收敛的.因此是收敛的. 例5 判断级数的敛散性. 定理3 (比值判别法) 设 为正项级数,若,则 (i)当时,级数收敛. (i)(ii)当时(或),级数发散.(iii)当时,级数的敛散性不定.(此法则失效). 注当正项级数的通项中包含或时,常常用比值判别法审敛.例6 判断的敛散性.解 通项 所以该级数是发散的。例7证明级数对任何x0都是收敛的证 x0，级数是正项级数。 所以级数对任何x0都是收敛的。 定理4 （根值判别法）设有正项级数，若，则（i）当0l1时，级数发散（iii）当 l =1时，级数可能收敛也可能发散。例8 判断级数的敛散性。 解 是收敛的注 当级数的通项中含有n次方幂时，常常考虑使用根值判别法。